誰もが知ってゐる「ド・モルガンの法則」と「選言三段論法」。

（01）
①  Ｐか、Ｑの、少なくとも一方は、真（本当）である。
②（Ｐが、真（本当）ではなく、その上、Ｑも、真（本当）ではない。）といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（02）
②（Ｐが、真（本当）ではなく、その上、Ｑも、真（本当）ではない。）といふことはない。
③　Ｐが、真（本当）でないならば、　　Ｑは、真（本当）である。
といふ「日本語」に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
①  Ｐか、Ｑの、少なくとも一方は、真（本当）である。
②（Ｐが、真（本当）ではなく、その上、Ｑも、真（本当）ではない。）といふことはない。
③　Ｐが、真（本当）でないならば、　　Ｑは、真（本当）である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（04）
（ⅰ）Ｐが、真（本当）でないならば、Ｑは、真（本当）である。　然るに、
（ⅱ）Ｐは、真（本当）ではない。　従って、
（ⅲ）Ｑは、Ｑは、真（本当）である。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）Ｐか、Ｑの、少なくとも一方は、真（本当）である。　然るに、
（ⅱ）Ｐは、真（本当）ではない。　従って、
（ⅲ）Ｑは、真（本当）である。
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
「記号」で書くと、
（ⅰ）　Ｐ∨Ｑ　然るに、
（ⅱ）～Ｐ　　　従って、
（ⅲ）　　　Ｑ
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
１　　　　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　　（２）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　　（４）　　～Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　２　　　　（６）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　　（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　　（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　　（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　　（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ）　　１２６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　　（ウ）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ　（エ）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ　（オ）　　～Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ　（カ）～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　（～Ｐ＆～Ｑ）　　６オ＆Ｉ
１　　　ウ　　（キ）　　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　　（ク）　　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　　（ケ）　　～Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
　　　　　　コ（コ）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　　　　　コ（サ）　　　　　　Ｑ　　　ケコＭＰＰ
従って、
（07）により、
（08）
果たして、「記号」で書くと、
（ⅰ）　Ｐ∨Ｑ　然るに、
（ⅱ）～Ｐ　　　従って、
（ⅲ）　　　Ｑ
といふ「推論（選言三段論法）」は、「命題計算」として「妥当」である。
従って、
（05）～（08）により、
（09）
（ⅰ）　Ｐ∨Ｑ　然るに、
（ⅱ）～Ｐ　　　従って、
（ⅲ）　　　Ｑ
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）Ｐか、Ｑの、少なくとも一方は、真（本当）である。　然るに、
（ⅱ）Ｐは、真（本当）ではない。　従って、
（ⅲ）Ｑは、真（本当）である。
といふ「推論（選言三段論法）」は、
「 日本語 」としても、
「命題計算」としても、「妥当」である。
然るに、
（10）
５　練習問題５：１０個の原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁）
（ｌ）～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ
〔私による解答〕
１　　　　（１）　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ∨Ｑ　Ａ
　　３　　（３）　　　　Ｐ　　　Ａ（３の選言項・左）
　　３　　（４）～～Ｑ∨Ｐ　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　～Ｑ→Ｐ　　　４含意の定義
１　３　　（６）　　　　Ｐ　　　１５ＭＰＰ
　　　７　（７）　　　　　　Ｑ　Ａ（３の選言項・右）
　　　７　（８）　　　　～～Ｑ　７ＤＮ
　　　７　（９）～～Ｑ∨Ｐ　　　８∨Ｉ
　　　７　（ア）　～Ｑ→Ｐ　　　９含意の定義
１　　　　（イ）　～Ｑ→Ｐ　　　２３５７ア∨Ｅ
１２　　　（ウ）　　　　Ｐ　　　１イ
１　　　　（エ）Ｐ∨Ｑ→Ｐ　　　２ウＣＰ
　　　　オ（オ）Ｐ　　　　　　　Ａ
　　　　オ（カ）Ｐ∨Ｑ　　　　　オ∨Ｉ
　　　　　（キ）Ｐ→Ｐ∨Ｑ　　　オカＣＰ
１　　　　（ク）Ｐ∨Ｑ→Ｐ＆
　　　　　　　　Ｐ→Ｐ∨Ｑ　　　エキ＆Ｉ
１　　　　（ケ）Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ　　クＤｆ.⇔
従って、
（10）により、
（11）
（ｌ）～Ｑ├ Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ
（〃）Ｑではないので、（Ｐであるか、または、Ｑである）といふことは、Ｐに等しい。
といふ「連式（推論）」は、「命題計算」として、「妥当」である。
然るに、
（12）
（ｍ）├（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ→Ｐ
１　　　　（１）　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　Ａ
　　３　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ（３の選言項・左）
　　３　　（４）～～Ｑ∨Ｐ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　～Ｑ→Ｐ　　　　　　４含意の定義
１　３　　（６）　　　　Ｐ　　　　　　１５ＭＰＰ
　　　７　（７）　　　　　　Ｑ　　　　Ａ（３の選言項・右）
　　　７　（８）　　　　～～Ｑ　　　　７ＤＮ
　　　７　（９）～～Ｑ∨Ｐ　　　　　　８∨Ｉ
　　　７　（ア）　～Ｑ→Ｐ　　　　　　９含意の定義
１　　　　（イ）　～Ｑ→Ｐ　　　　　　２３５７ア∨Ｅ
１２　　　（ウ）　　　　Ｐ　　　　　　１イ
１　　　　（エ）Ｐ∨Ｑ→Ｐ　　　　　　２ウＣＰ
　　　　　（オ）～Ｑ→（Ｐ∨Ｑ→Ｐ）　１エＣＰ
　　　　カ（カ）（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ　　　Ａ
　　　　カ（キ）～Ｑ　　　　　　　　　カ＆Ｅ
　　　　カ（ク）　　　（Ｐ∨Ｑ→Ｐ）　オキＭＰＰ
　　　　カ（ケ）　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　カ＆Ｅ
　　　　カ（コ）　　　　　　　　Ｐ　　クケＭＰＰ
　　　　　（サ）（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ→Ｐ　カコＣＰ
従って、
（12）により、
（13）
（ｍ）├（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ→Ｐ
（〃）Ｐか、Ｑの、少なくとも一方は、本当であるとして、Ｑが、本当ではないならば、Ｐは本当である。
といふ「連式（選言三段論法）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（14）
（ｍ）Ｐか、Ｑの、少なくとも一方は、本当であるとして、Ｑが、本当ではないならば、Ｐは本当である。
といふ「論理」が「正しい」といふことは、「孩提之童（二、三才の幼児）」であっても、知ってゐる。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
「二、三才の幼児（孩提之童）」であっても、あるいは、
（ｍ）├（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ→Ｐ
１　　　　（１）　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　Ａ
　　３　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ（３の選言項・左）
　　３　　（４）～～Ｑ∨Ｐ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　～Ｑ→Ｐ　　　　　　４含意の定義
１　３　　（６）　　　　Ｐ　　　　　　１５ＭＰＰ
　　　７　（７）　　　　　　Ｑ　　　　Ａ（３の選言項・右）
　　　７　（８）　　　　～～Ｑ　　　　７ＤＮ
　　　７　（９）～～Ｑ∨Ｐ　　　　　　８∨Ｉ
　　　７　（ア）　～Ｑ→Ｐ　　　　　　９含意の定義
１　　　　（イ）　～Ｑ→Ｐ　　　　　　２３５７ア∨Ｅ
１２　　　（ウ）　　　　Ｐ　　　　　　１イ
１　　　　（エ）Ｐ∨Ｑ→Ｐ　　　　　　２ウＣＰ
　　　　　（オ）～Ｑ→（Ｐ∨Ｑ→Ｐ）　１エＣＰ
　　　　カ（カ）（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ　　　Ａ
　　　　カ（キ）～Ｑ　　　　　　　　　カ＆Ｅ
　　　　カ（ク）　　　（Ｐ∨Ｑ→Ｐ）　オキＭＰＰ
　　　　カ（ケ）　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　カ＆Ｅ
　　　　カ（コ）　　　　　　　　Ｐ　　クケＭＰＰ
　　　　　（サ）（Ｐ∨Ｑ）＆～Ｑ→Ｐ　カコＣＰ
といふ「命題計算（Prpositional calculus）」が、知ってゐるのかも知れない。
令和０３年１０月１３日、毛利太。