「排中律」と（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）と「常識」（Ⅲ）。

―「昨日（令和０３年１０月３０日）の記事」を書き直します。―
（01）
① 真→真
② 真→偽
③ 偽→真
④ 偽→偽
に於いて、
② だけが、「偽」である。
従って、
（01）により、
（02）
「番号」を付け直すと、
① 真→真
② 偽→真
③ 偽→偽
は、３つとも「真」である。
従って、
（02）により、
（03）
「番号」を付け直すと、
① □→真
② 偽→□
であれば、２つとも、「真」である。
従って、
（03）により、
（04）
① □→真
② 偽→□
であれば、２つとも、「真」である、が故に、
① Ｐ→Ｑ
② Ｑ→Ｒ
に於いて、
③ Ｑが「真」であれば、① が「真」であり、
④ Ｑが「偽」であれば、② が「真」である。
然るに、
（05）
「排中律」により、
③ Ｑは「真」であるか、
④ Ｑは「偽」であるかの、いづれかである。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ｐ→Ｑ
② Ｑ→Ｒ
に於いて、
① が「真」であるか、
② が「真」であるかの、いづれかである。
従って、
（06）により、
（07）
① Ｐ→Ｑ
② Ｑ→Ｒ
に於いて、
① または、② が「真」である。
然るに、
（08）
① Ｐ→Ｑ
② Ｑ→Ｒ
に於いて、
① または、② が「真」である。
といふことが、　「真」である。
といふことを、
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ風に書く。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「論理式」は、「恒真式」である。
然るに、
（10）
練習問題５：１０個の原始的規則だけを用いて、つぎの連式を証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁改）
〔私による解答〕
（ｂ）├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
１　　　　　　　　　　　　　（１）　～（Ｑ∨～Ｑ）　　　　Ａ
　２　　　　　　　　　　　　（２）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　　　　　　　（３）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　２∨Ｉ
１２　　　　　　　　　　　　（４）　～（Ｑ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ∨～Ｑ）　　　　１３＆Ｉ
１　　　　　　　　　　　　　（５）　　～Ｑ　　　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　　　　　　　　　　　　（６）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　５∨Ｉ
１　　　　　　　　　　　　　（７）　～（Ｑ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ∨～Ｑ）　　　　１６＆Ｉ
　　　　　　　　　　　　　　（８）～～（Ｑ∨～Ｑ）　　　　１７ＲＡＡ
　　　　　　　　　　　　　　（９）　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　８ＤＮ
　　ア　　　　　　　　　　　（ア）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ（９の選言項左）
　　ア　　　　　　　　　　　（イ）～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　ア∨Ｉ
　　　ウ　　　　　　　　　　（ウ）Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　　　エ　　　　　　　　　（エ）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ（イの選言項左）
　　　ウ　　　　　　　　　　（オ）Ｐ　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　ウエ　　　　　　　　　（カ）～Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　エオ＆Ｉ
　　　　エ　　　　　　　　　（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　ウカＲＡＡ
　　　　　ク　　　　　　　　（ク）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ（イの選言項右）
　　　ウ　　　　　　　　　　（ケ）　　～Ｑ　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　ウ　ク　　　　　　　　（コ）Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　クケ＆Ｉ
　　　　　ク　　　　　　　　（サ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　ウコＲＡＡ
　　ア　　　　　　　　　　　（シ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　アエキクサ∨Ｅ
　　　　　　ス　　　　　　　（ス）　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　セ　　　　　　（セ）　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　　スセ　　　　　　（ソ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　スセ＆Ｉ
　　ア　　　スセ　　　　　　（タ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　シソ＆Ｉ
　　ア　　　ス　　　　　　　（チ）　　　～～Ｑ　　　　　　セタＲＡＡ
　　ア　　　ス　　　　　　　（ツ）　　　　　Ｑ　　　　　　チＤＮ
　　ア　　　　　　　　　　　（テ）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　スツＣＰ
　　ア　　　　　　　　　　　（ト）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　テ∨Ｉ
　　　　　　　　ナ　　　　　（ナ）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ（９の選言項右）
　　　　　　　　ナ　　　　　（ニ）　　　　　～Ｑ∨Ｒ　　　ナ∨Ｉ
　　　　　　　　　ヌ　　　　（ヌ）　　　　　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　　　　　　　　　　ネ　　　（ネ）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ（ニの選言項左）
　　　　　　　　　ヌ　　　　（ノ）　　　　　Ｑ　　　　　　ヌ＆Ｅ
　　　　　　　　　ヌネ　　　（ハ）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　ネノ＆Ｉ
　　　　　　　　　　ネ　　　（ヒ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　ヌハＲＡＡ
　　　　　　　　　　　フ　　（フ）　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ（ニの選言項右）
　　　　　　　　　ヌ　　　　（ヘ）　　　　　　　～Ｒ　　　ヌ＆Ｅ
　　　　　　　　　ヌ　フ　　（ホ）　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　フヘ＆Ｉ
　　　　　　　　　　　フ　　（マ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　ヌホＲＡＡ
　　　　　　　　ナ　　　　　（ミ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）　　ナネヒフマ∨Ｅ
　　　　　　　　　　　　ム　（ム）　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　　　　メ（メ）　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　　　　　　　　　　　ムメ（モ）　　　　　Ｑ＆～Ｒ　　　ムメ＆Ｉ
　　　　　　　　ナ　　　ムメ（ヤ）　　　～（Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｒ）　　ミモ＆Ｉ
　　　　　　　　ナ　　　ム　（イ）　　　　　　～～Ｒ　　　メヤＲＡＡ
　　　　　　　　ナ　　　ム　（ユ）　　　　　　　　Ｒ　　　イＤＮ
　　　　　　　　ナ　　　　　（エ）　　　　　　Ｑ→Ｒ　　　ムユＣＰ
　　　　　　　　ナ　　　　　（ヨ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　エ∨Ｉ
　　　　　　　　　　　　　　（ラ）（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）　＿アトナヨ∨Ｅ
従って、
（09）（10）により、
（11）
果たして、
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「論理式」は、「恒真式」である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① 真→真
② 真→偽
③ 偽→真
④ 偽→偽
に於いて、
② だけが、「偽」である。
とした「結果」として、
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＤＮ
従って、
（13）により、
（14）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
①  Ｐであるならば、Ｑである。
②（Ｐであって、Ｑでない）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（15）により、
（16）
①  Ｐが真であるならば、Ｑも真である。
②（Ｐが真であって、Ｑが偽である）といふことは偽である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（17）
①  Ｐが真であるならば、Ｑも真である。
②（Ｐが真であって、Ｑが偽である）といふことは偽である。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
① 真→真
② 真→偽
③ 偽→真
④ 偽→偽
に於ける、
② が、「偽」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（12）（17）により、
（18）
① 真→真
② 真→偽
③ 偽→真
④ 偽→偽
に於ける、
② だけが「偽」であるが故に、
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
といふ「論理式」は、「恒真式」である。
従って、
（19）
③（Ｐ→Ｑ）∨（Ｑ→Ｒ）
に於いて、例へば、
Ｐ＝東洋人である。
Ｑ＝日本人である。
Ｒ＝男性である。
として、
③（東洋人であるならば、日本人であるか、）または、（日本人であるならば、男性である。）
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
令和０３年１０月０１日、毛利太。