「選言導入の規則」と「含意の定義」。

（01）
① 　Ｐ＝太陽が西から昇る。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」であって、それ故、
② ～Ｐ＝太陽は西から昇らない。
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
然るに、
（02）
③ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「論理式」は、
③ ～Ｐ か、または、Ｑ の、少なくとも一方は「真（本当）」である。
といふ「意味」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
② ～Ｐ＝太陽は西から昇らない。
といふ「命題」が、「真（本当）」であるが故に、
③ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
１（１）～Ｐ　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ（選言導入）
といふ「計算（選言導入）」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
　―「含意の定義」の「証明」―
（ⅲ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（８）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（９）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（ア）　　Ｑ＆～Ｑ　　　８９＆Ｉ
　　　７　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　（ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　Ｑ　　　エＤＮ
１　　　　　（コ）　　Ｐ→　Ｑ　　　エケＣＰ
（ⅳ）
１　　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
１２　　（ウ）　　　　　　Ｑ　　　１７ＭＰＰ
１２　　（エ）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　イウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２エＤＮ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　オＤＮ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ 　Ｐ→Ｑ
に於いて、
③＝④ である（含意の定義）。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
１（１）～Ｐ　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ（選言導入）
１（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義
といふ「計算（選言導入・含意の定義）」は、「妥当」である。
従って、
（07）により、
（08）
１　（１）～Ｐ　　　Ａ
１　（２）～Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
１　（３）　Ｐ→Ｑ　２含意の定義
　２（４）　Ｐ　　　Ａ（１とは矛盾する）
１２（５）　　　Ｑ　３４ＭＰＰ
といふ「命題計算」は、「妥当」である。
従って、
（08）により、
（09）
① 　Ｐ＝太陽が西から昇る。
② ～Ｐ＝太陽は西から昇らない。
③ 　Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
④ ～Ｑ＝バカボンのパパは天才ではない。
として、
（ⅰ）「太陽が西から昇る。」といふ「命題（Ｐ）」が、「偽（ウソ）」であるならば、
（ⅱ）「太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。」といふ「含意（Ｐ→Ｑ）」は、「真（本当）」である。
然るに、
（09）により、
（10）
（ⅰ）「太陽が西から昇る。」といふ「命題（Ｐ）」が、「偽（ウソ）」である以上、
（ⅱ）「太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。」といふ「含意（Ｐ→Ｑ）」は、「真（本当）」であるとしても、
（ⅲ）「バカボンのパパは天才である。」といふ「命題（Ｑ）」は、「真（本当）」にはならない。
然るに、
（11）
１　　（１）　Ｐ⇔Ｑ　　　　　　　　Ａ
１　　（２）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）　１Ｄｆ.⇔
１　　（３）　　　　　　　Ｑ→Ｐ　　２＆Ｅ
　４　（４）　　　　　　　　～Ｐ　　Ａ
１４　（５）　　　　　　～Ｑ　　　　３４ＭＴＴ
１　　（６）　　　　　～Ｐ→～Ｑ　　４５ＣＰ
　　７（７）　　　　　～Ｐ　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　　～Ｑ　　６７ＭＰＰ
従って、
（11）により、
（12）
① 　Ｐ＝太陽が西から昇る。
② ～Ｐ＝太陽は西から昇らない。
③ 　Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
④ ～Ｑ＝バカボンのパパは天才ではない。
として、
（ⅰ）「太陽が西から昇る。」　　といふ「命題（　Ｐ）」が、「偽（ウソ）」であるとしても、すなはち、
（〃）「太陽は西から昇らない。」といふ「命題（～Ｐ）」が、「真（本当）」であるならば、　その上で、
（ⅱ）「太陽が西から昇るならば（、そのときに限って）、バカボンのパパは天才である。」といふ「相互含意（Ｐ⇔Ｑ）」が、「真（本当）」であるならば、
（ⅲ）「バカボンのパパは天才ではない。」といふ「命題（～Ｑ）」は、「真（本当）」である。
従って、
（12）により、
（13）
（ⅰ）「太陽は西から昇らない。」といふ「命題（～Ｐ）」が「真（本当）」であるということを、「前提」とした、
（ⅱ）「太陽が西から昇るならば（、そのときに限って）、バカボンのパパは天才である。」といふ「命題（Ｐ⇔Ｑ）」は、
（ⅲ）「バカボンのパパは天才ではない。」といふ「命題（～Ｑ）」の、「婉曲的な表現」である。
従って、
（10）（13）により、
（14）
（ⅱ）「太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。」
（〃）「太陽が西から昇るならば（、そのときに限って）、バカボンのパパは天才である。」
に於いて
（ⅱ）＝（〃） であるならば、そのときに限って、
（ⅱ）「太陽が西から昇るならば、バカボンのパパは天才である。」
といふ「命題（Ｐ⇔Ｑ）」は、
（ⅲ）「バカボンのパパは天才ではない。」といふ「命題（～Ｑ）」の、「婉曲的な表現」である。
令和０３年１０月０３日、毛利太。