E.J.レモンの「練習問題５（ｂ）」他。

　―「先程（令和０３年１０月０２日）の記事を書き直します。―
（01）
練習問題５：１０個の原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、８０頁）
（ｄ）～Ｑ├ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
〔私による解答〕
１（１）　　　～Ｑ　　　　Ａ
１（２）　　　～Ｑ∨Ｒ　　１∨Ｉ
１（３）　　　　Ｑ→Ｒ　　２含意の定義
１（４）～Ｐ∨（Ｑ→Ｒ）　３∨Ｉ
１（５）　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　４含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
（ｄ）～Ｑ├ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
といふ「連式」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２　（２）　　　Ｑ　　　　Ａ
　　３（３）Ｐ　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　Ｑ→Ｒ　　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　　　　Ｒ　　２４ＭＰＰ
１２　（６）　　　Ｐ→Ｒ　　３５ＣＰ
１　　（７）Ｑ→（Ｐ→Ｒ）　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）Ｑ→（Ｐ→Ｒ）　Ａ
　２　（２）　　　Ｐ　　　　Ａ
　　３（３）Ｑ　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　Ｐ→Ｒ　　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　　　　Ｒ　　２４ＭＰＰ
１２　（６）　　　Ｑ→Ｒ　　３５ＣＰ
１　　（７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　２６ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
① ～Ｑ├ Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
② ～Ｑ├ Ｑ→（Ｐ→Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１　（１）Ｑ→（Ｐ→Ｒ）　Ａ
　２（２）Ｑ＆　Ｐ　　　　Ａ
　２（３）Ｑ　　　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　Ｐ→Ｒ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　Ｐ　　　　２＆Ｅ
１２（６）　　　　　Ｒ　　４５ＭＰＰ
１　（７）　Ｑ＆Ｐ→Ｒ　　２６ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　Ｑ＆Ｐ→Ｒ　　Ａ
　２　（２）　Ｑ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｐ　　　　Ａ
　２３（４）　Ｑ＆Ｐ　　　　２３＆Ｉ
１２３（５）　　　　　Ｒ　　１４ＭＰＰ
１２　（６）　　　Ｐ→Ｒ　　３５ＣＰ
１　　（７）Ｑ→（Ｐ→Ｒ）　２６ＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
② ～Ｑ├  Ｑ→（Ｐ→Ｒ）
③ ～Ｑ├（Ｑ＆Ｐ）→Ｒ
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１　　（１）　（Ｑ＆Ｐ）→Ｒ　Ａ
１　　（２）～（Ｑ＆Ｐ）∨Ｒ　１含意の定義
　３　（３）～（Ｑ＆Ｐ）　　　Ａ
　３　（４）　～Ｑ∨～Ｐ　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　Ｒ　Ａ
　　６（７）　　　　～Ｐ∨Ｒ　６∨Ｉ
　　６（８）　～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ　７∨Ｉ
１　　（９）　～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ　２３５６８∨Ｅ
（ⅳ）
１　　（１）　～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ　　Ａ
１　　（２）（～Ｑ∨～Ｐ）∨Ｒ　１結合法則
　３　（３）（～Ｑ∨～Ｐ）　　　Ａ
　３　（４）～（Ｑ＆Ｐ）　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）～（Ｑ＆Ｐ）∨Ｒ　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　Ｒ　Ａ
　　６（７）～（Ｑ＆Ｐ）∨Ｒ　　６∨Ｉ
１　　（８）～（Ｑ＆Ｐ）∨Ｒ　　２３５６７∨Ｅ
従って、
（07）により、
（08）
③ ～Ｑ├ （Ｑ＆Ｐ）→Ｒ
④ ～Ｑ├ ～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（04）（06）（08）により、
（09）
① ～Ｑ├ 　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
② ～Ｑ├　 Ｑ→（Ｐ→Ｒ）
③ ～Ｑ├ （Ｑ＆Ｐ）→Ｒ
④ ～Ｑ├ ～Ｑ∨～Ｐ∨Ｒ
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
① Ｑではない。従って、　Ｐならば、（ＱならばＲである）。
② Ｑではない。従って、　Ｑならば、（ＰならばＲである）。
③ Ｑではない。従って、（Ｑであって、Ｐである）ならばＲである。
④ Ｑではない。従って、（Ｑでないか、Ｐでないか、Ｒである。）
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（11）
（ⅰ）（Ｑでないか、Ｐでないか、Ｒである。）然るに、
（ⅱ）（Ｑであって、Ｐである。）従って、
（ⅲ）　　　　　　　　　　　　　Ｒである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（12）
（ⅰ）（Ｑであって、Ｐである）ならばＲである。然るに、
（ⅱ）　Ｑである。
（ⅲ）　　　　　　　Ｐである。従って、
（ⅳ）　　　　　　　　　　　　　　　Ｒである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
（13）
（ⅰ）Ｑならば、（ＰならばＲである）。然るに、
（ⅱ）　　　　　　Ｐである。
（ⅲ）Ｑである。従って、
（ⅳ）　　　　　　　　　　Ｒである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
令和０３年１０月０２日、毛利太。