「象も動物である」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１（１）　∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆（～象ｘ→～動物ｘ）｝　Ａ
１（２）　　　　（象ａ→動物ａ）＆（～象ａ→～動物ａ）　　１ＵＥ
１（３）　　　　（象ａ→動物ａ）　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　３ＵＩ
１（５）　　　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　２＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　　　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　４６＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　（象ａ→動物ａ）　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
１（４）　　　　　　　　　　　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　　　　（～象ａ→～動物ａ）　　４ＵＥ
１（６）　　　　（象ａ→動物ａ）＆（～象ａ→～動物ａ）　　３５＆Ｉ
１（７）　∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆（～象ｘ→～動物ｘ）｝　６ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
「普遍量記号（∀ｘ）は連言の仲間である（E.J.レモン ）」といふ「理由」により、
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　　（～象ｘ→～動物ｘ）｝
② 　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１（１）　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　Ａ
１（２）　　　　～象ａ→～動物ａ　　１ＵＥ
１（３）　　　～～象ａ∨～動物ａ　　２含意の定義
１（４）　　～（～象ａ＆　動物ａ）　３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（～象ａ＆　動物ａ）　４ＵＩ
１（６）～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　５量化子の関係
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ～（～象ｘ＆　動物ｘ）　１量化子の関係
１（３）　　～（～象ａ＆　動物ａ）　２ＵＥ
１（４）　　　～～象ａ∨～動物ａ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　～象ａ→～動物ａ　　４含意の定義
１（６）　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　５ＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
② 　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　　　（～象ｘ→～動物ｘ）｝
② 　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
③ 　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）　∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　Ａ
１（２）　　　　（象ａ→動物ａ）＆～（～象ａ→～動物ａ）　　１ＵＥ
１（３）　　　　（象ａ→動物ａ）　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　　３ＵＩ
１（５）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　２＆Ｅ
１（６）　　　　　　　　　　　∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　４６＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　（象ａ→動物ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
１（４）　　　　　　　　　　　∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　　１＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　　　　～（～象ａ→～動物ａ）　　４ＵＥ
１（６）　　　　（象ａ→動物ａ）＆～（～象ａ→～動物ａ）　　３５＆Ｉ
１（７）　∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝　６ＵＩ
従って、
（02）（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　　～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
② 　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　Ａ
１（２）　　～（～象ａ→～動物ａ）　１ＵＥ
１（３）　　　～（象ａ∨～動物ａ）　２含意の定義
１（４）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　４ＥＩ
（ⅲ）
１　（１）　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　Ａ
　２（３）　　　～（象ａ∨～動物ａ）　２ド・モルガンの法則
　２（４）　　～（～象ａ→～動物ａ）　３含意の定義
　２（５）∃ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　１２５ＥＥ（であるため）、
１　（〃）∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　４ＵＩ（はマチガイである）。
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
③ 　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
②＝③ ではないが、
②⇒③ である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　　～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
② 　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
③ 　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
①＝② であるが、
②＝③ ではなくて、
②⇒③ である。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１　（１）～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　Ａ
１　（２）∃ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　１量化子の関係
　３（３）　　～（～象ａ→～動物ａ）　Ａ
　３（４）　　　～（象ａ∨～動物ａ）　３含意の定義
　３（５）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　５ＥＩ
１　（７）　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　２３６ＥＥ
（ⅲ）
１　（１）　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）　Ａ
　２（２）　　　　～象ａ＆　動物ａ　　Ａ
　２（３）　　　～（象ａ∨～動物ａ）　２ド・モルガンの法則
　２（４）　　～（～象ａ→～動物ａ）　３含意の定義
　２（５）∃ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）　１２５ＥＥ
１　（７）～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）　６量化子の関係
従って、
（11）により、
（12）
② ～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
③ 　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　　～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
② 　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
③ 　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、
①≠② であるが、
②＝③ である。
従って、
（05）（10）（13）により、
（14）
いづれにせよ、
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　　　（～象ｘ→～動物ｘ）｝
② 　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
③ ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　　～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
④ 　∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆　∃ｘ（～象ｘ＆　動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛（ｘが象であるならば、ｘは動物であって）、（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）｝。
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。あるｘが（象ではなくて、動物である）といふことはない。
③ すべてのｘについて｛（ｘが象であるならば、ｘは動物である）が、（ｘが象でないならば、ｘは動物ではない）といふことない｝。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。あるｘは（象ではなくて、動物である）。
に於いて、
① ならば、② であり、
③ ならば、④ である。
然るに、
（15）
①｛象、机、車、花｝
③｛象、兎、犬、馬｝
であれば、
① 象が動物である。
③ 象も動物である。
然るに、
（16）
②｛象、机、車、花｝
④｛象、兎、犬、馬｝
であれば、
② すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。あるｘが（象ではなくて、動物である）といふことはない。
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。あるｘは（象ではなくて、動物である）。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
① 象が動物である。
③ 象も動物である。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆　（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛（象ｘ→動物ｘ）＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「述語論理式」に、「相当」する。
従って、
（14）（17）により、
（18）
② 象が動物である。
④ 象も動物である。
といふ「日本語」の「主語」は、「象と、象以外」である。
令和５年５月１８日、毛利太。