「少なくとも２つ」の「述語論理」の「説明」。

（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）
１　（１）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２（２）　　　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　２（３）　　　　　Ｆａ＆Ｆａ　　２＆Ｉ
　２（４）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　３ＥＩ
　２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　１２５ＥＥ
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年）
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）
１　（１）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２（２）　　　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　２（３）　　　　　Ｆａ＆Ｆａ　　２＆Ｉ
　２（４）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　３ＥＩ
　２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　１２５ＥＥ
（ⅱ）
１　（１）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２（２）　　　　　Ｆｂ　　　　　Ａ
　２（３）　　　　　Ｆｂ＆Ｆｂ　　２＆Ｉ
　２（４）　　∃ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ）　３ＥＩ
　２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　１２５ＥＥ
（ⅲ）
１　（１）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２（２）　　　　　Ｆｃ　　　　　Ａ
　２（３）　　　　　Ｆｃ＆Ｆｃ　　２＆Ｉ
　２（４）　　∃ｙ（Ｆｃ＆Ｆｙ）　３ＥＩ
　２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　１２５ＥＥ
然るに、
（03）
（ⅰ）
① 　 Ｆａ
②　（Ｆａ＆Ｆａ）
③　（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）
④｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
①⇒②⇒③⇒④ である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
から、
②（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
②（Ｆｃ＆Ｆｃ）
を「除く」と、
②｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
②｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）により、
（07）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
を「否定」すると、すなはち、
②｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
を「否定」すると、「ド・モルガンの法則」により、
②～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
然るに、
（08）
（ⅱ）
１　（１）～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝　Ａ
１　（２）～（Ｆａ＆Ｆｂ）＆～（Ｆａ＆Ｆｃ）　　１ド・モルガンの法則
１　（３）～（Ｆａ＆Ｆｂ）　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　（４）～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　　　　　　３ド・モルガンの法則
１　（５）　Ｆａ→～Ｆｂ　　　　　　　　　　　　４含意の定義
１　（６）　　　　　　　　　～（Ｆａ＆Ｆｃ）　　２＆Ｅ
１　（７）　　　　　　　　　～Ｆａ∨～Ｆｃ　　　６ド・モルガンの法則
１　（８）　　　　　　　　　　Ｆａ→～Ｆｃ　　　７含意の定義
　９（９）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１９（ア）　　　　～Ｆｂ　　　　　　　　　　　　５９ＭＰＰ
１９（イ）　　　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　８９ＭＰＰ
１９（ウ）　　　　～Ｆｂ＆～Ｆｃ　　　　　　　　アイ＆Ｉ
１　（エ）　Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）　　　　　　９ウＣＰ
（ⅲ）
１　（１）　Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）　　　　　　Ａ
　２（２）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１２（３）　　　　　～Ｆｂ＆～Ｆｃ　　　　　　　１２＆Ｉ
１２（４）　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１２（５）　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　　　　　３＆Ｅ
１　（６）　Ｆａ→～Ｆｂ　　　　　　　　　　　　２４ＣＰ
１　（７）～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　　　　　　６含意の定義
１　（８）～（Ｆａ＆Ｆｂ）　　　　　　　　　　　７ド・モルガンの法則
１　（９）　　　　　　Ｆａ→～Ｆｃ　　　　　　　２５ＣＰ
１　（ア）　　　　　～Ｆａ∨～Ｆｃ　　　　　　　９含意の定義
１　（イ）　　　　　～（Ｆａ＆Ｆｃ）　　　　　　ア、ド・モルガンの法則
１　（ウ）　～（Ｆａ＆Ｆｂ）＆～（Ｆａ＆Ｆｃ）　８イ＆Ｉ
１　（エ）～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝　ウ、ド・モルガンの法則
従って、
（08）により、
（09）
② ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝
③ 　　　Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ～∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
② ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝＆～｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝
③　　 ｛Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝　  ＆　　｛Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝　　＆　　｛Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（07）（10）により、
（11）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、
①｛Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に「等しい」。
然るに、
（12）
①｛Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
②　Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
③　Ｆａ＆Ｆｂ
④　Ｆａ＆Ｆｃ
⑤　Ｆｂ＆Ｆｃ
⑥　Ｆａ
⑦　Ｆｂ
⑧　Ｆｃ
に於いて、
①＆② は、「矛盾」し、
①＆③ は、「矛盾」し、
①＆④ は、「矛盾」し、
①＆⑤ は、「矛盾」し、
①＆⑥ は、「矛盾」せず、
①＆⑦ は、「矛盾」せず、
①＆⑧ は、「矛盾」しない。
然るに、
（13）
「含意の定義」により、
①｛　Ｆａ→（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛　Ｆｂ→（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛　Ｆｃ→（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
②｛～Ｆａ∨（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｂ∨（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｃ∨（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
②｛～Ｆａ∨（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｂ∨（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｃ∨（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
⑥ Ｆａ＝「偽」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
⑥ ～Ｆａ＝「真」
⑦ ～Ｆｂ＝「真」
⑧ ～Ｆｃ＝「真」
であるため、
②｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝
であるが、
②｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝＆｛真∨（真＆真）｝
であれば、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
であって、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
は、「真」である。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ＝「偽」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、「真」である。
然るに、
（16）
②｛～Ｆａ∨（～Ｆｂ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｂ∨（～Ｆａ＆～Ｆｃ）｝＆｛～Ｆｃ∨（～Ｆａ＆～Ｆｂ）｝
に於いて、
⑥ Ｆａ＝「真」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
②｛～真∨（～偽＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝
である。
然るに、
（16）により、
（17）
～真＝偽
～偽＝真
であるため、
②｛～真∨（～偽＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝＆｛～偽∨（～真＆～偽）｝
であるならば、
②｛偽∨（真＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝
である。
然るに、
（18）
（真＆真）＝真
（偽＆真）＝偽
であるため、
②｛偽∨（真＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝＆｛真∨（偽＆真）｝
であるならば、
②｛偽∨（真）｝＆｛真∨（偽）｝＆｛真∨（偽）｝
であるものの、
②｛偽∨（真）｝＆｛真∨（偽）｝＆｛真∨（偽）｝
であれば、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
であって、
②｛真｝＆｛真｝＆｛真｝
は、「真」である。
従って、
（11）（16）（17）（18）により、
（19）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
⑥ Ｆａ＝「真」
⑦ Ｆｂ＝「偽」
⑧ Ｆｃ＝「偽」
であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、「真」である。
従って、
（12）（15）（19）により、
（20）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「０個」が「真」であるか、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「１個」が「真」であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」は、「真」である。
従って、
（20）により、
（21）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「２個か３個」が「真」であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「否定」ではなく、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「肯定」は、「真」である。
従って、
（21）により、
（22）
｛変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
として、
⑥ Ｆａ
⑦ Ｆｂ
⑧ Ｆｃ
の内の、「少なくとも、２つ」が「真」であるならば、
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
の「肯定」は、「真」である。
従って、
（22）により、
（23）
性質Ｆをもつ「すくなくとも２つの相異なる対象が存在する」ということを表現するするためには、われわれは符号を必要とする。
すなわち、
　　∃ｘ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆～（ｘ＝ｙ）｝
― どちらもＦをもつ同一でないｘとｙが存在する。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１０頁）
といふ『説明』は、「正しい」。
令和５年５月２日、毛利太。