（３） 数表現の記号化
「＝」の導入によってこれまで表現できなかった命題が記号化できるようになる。
すでに明らかなように、「少なくとも一つのＦがある」は、「∃ｘＦｘ」であるが、
「少なくとも二つのＦがある」は、「＝」を使って、
∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
（飯田賢一・中才敏郎・中谷隆雄 著、論理学の基礎、1994年、１７６頁）
（02）
いま三つのもの ａ、ｂ、ｃ がＦであると思ったとしよう。しかし、
「たかだか二つのものがＦである」が真であるとすれば、同じ対象を二回重複して数えたことになる。
つまり、ａ＝ｂか、または、ａ＝ｃか、または、ｂ＝ｃ である。それゆえ、「たかだか二つのものがＦである」は、
次のように形式かできる。
∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝
（飯田賢一・中才敏郎・中谷隆雄 著、論理学の基礎、1994年、１７７頁）
然るに、
（03）
「少なくとも二つのモノＦがある」として、その上、
「たかだか、二つのモノがＦである」とするならば、
「ちょうど、二つのモノがＦである」。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝であって、その上、
∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝であるならば、
「ちょうど、二つのモノがＦである」。
従って、
（04）により、
（05）
① ちょうど、二つのモノがＦである。
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
「ちょうど、二つのモノがＦである」は次のようになる。
∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝
（飯田賢一・中才敏郎・中谷隆雄 著、論理学の基礎、1994年、１７７頁）
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ちょうど、二つのモノがＦである。
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝。
③ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
「述語計算（Predicate calculus）」をしてみると、
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ １＆Ｅ
３ （３） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ Ａ
４ （４） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） Ａ
４ （５） Ｆａ＆Ｆｂ ４＆Ｅ
４ （６） （ａ≠ｂ） ４＆Ｅ
１ （７） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ １＆Ｅ
１ （８） ∀ｙ∀ｚ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ａ＝ｙ）∨（ａ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ ７ＵＥ
１ （９） ∀ｚ｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ→（ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）｝ ８ＵＥ
１ （ア） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ→（ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ９ＵＥ
イ（イ） Ｆｃ Ａ
４イ（ウ） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ ５ウ＆Ｉ
１ ４イ（エ） （ａ＝ｂ）∨ （ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） アウＭＰＰ
１ ４イ（オ） （ａ＝ｂ）∨｛（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ）｝ エ結合法則
１ ４イ（カ） ～（ａ≠ｂ）∨｛（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ）｝ オＤＮ
１ ４イ（キ） （ａ≠ｂ）→｛（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ）｝ カ含意の定義
１ ４イ（ク） （ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ６キＭＰＰ
１ ４ （ケ） Ｆｃ→（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） イクＣＰ
１ ４ （コ） ∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）］ ケＵＩ
１ ４ （サ） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）］ ４コ＆Ｉ
１ ４ （シ） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ サＥＩ
１３ （ス） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ ３４シＥＥ
１３ （セ）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ スＥＩ
１ （ソ）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ １３セＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
３ （３） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）］ Ａ
３ （４） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） ３＆Ｅ
３ （５） ∀ｚ［Ｆｚ→（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）］ ４＆Ｅ
３ （６） Ｆｃ→（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ５ＵＥ
７（７） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ Ａ
７（８） Ｆｃ ７＆Ｅ
３７（９） （ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ６８ＭＰＰ
３７（ア） （ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ９∨Ｉ
３ （イ） Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ→（ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｃ）∨（ｂ＝ｃ） ７ア
３ （ウ） ∀ｚ｛Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｚ→（ａ＝ｂ）∨（ａ＝ｚ）∨（ｂ＝ｚ）｝ イＵＩ
３ （エ） ∀ｙ∀ｚ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ａ＝ｙ）∨（ａ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ ウＵＩ
３ （オ） ∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ エＵＩ
３ （カ） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ オＥＩ
２ （キ） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ ２３カＥＥ
２ （ク）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ キＥＩ
１ （ケ）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ １２クＥＥ
１ （コ）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝ オケ＆Ｉ
従って、
（07）（08）により、
（09）
果たして、
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝。
③ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
藤子 不二雄（ふじこ ふじお）は、日本の漫画家。藤本弘（ふじもと ひろし）と安孫子素雄（あびこ もとお）の共同ペンネーム。1951年コンビ結成。コンビ解消後の1988年以降はそれぞれ藤子・F・不二雄、藤子 不二雄Ⓐと名乗った。代表作は『オバケのQ太郎』（合作）、『ドラえもん』（藤本）、『パーマン』（藤本、コンビ解消後はF名義となったが旧作は合作）、『忍者ハットリくん』（安孫子）、『怪物くん』（安孫子）など多数。
1976年に執筆された『オバケのQ太郎』の読切作品（合作）を最後に、1987年にコンビ解消を表明するまでの約12年間は、ほぼ全作品をそれぞれ単独で描き、藤子不二雄名義で発表していた。 （ウィキペディア）
従って、
（10）
（11）
『オバＱ』は、「藤本弘と安孫子素雄」による「二人の合作」であり、そのため、
『オバＱ』の「作者」は、「二人いて、二人しかゐない」。
従って、
（07）（09）（11）により、
（12）
③ ∃ｘ∃ｙ｛オバＱの作者ｘ＆オバＱの作者ｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［オバＱの作者ｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
③ あるｘとあるｙについて｛ｘはオバＱの作者であって、ｙもオバＱの作者であって、（ｘとｙは別人であり）、すべてのｚについて［ｚがオバＱの作者であるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである）］｝。
といふ「命題」は「真」である。
令和５年５月４日、毛利太。
（09）
果たして、
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝＆∀ｘ∀ｙ∀ｚ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆Ｆｚ→（ｘ＝ｙ）∨（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）｝。
③ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
藤子 不二雄（ふじこ ふじお）は、日本の漫画家。藤本弘（ふじもと ひろし）と安孫子素雄（あびこ もとお）の共同ペンネーム。1951年コンビ結成。コンビ解消後の1988年以降はそれぞれ藤子・F・不二雄、藤子 不二雄Ⓐと名乗った。代表作は『オバケのQ太郎』（合作）、『ドラえもん』（藤本）、『パーマン』（藤本、コンビ解消後はF名義となったが旧作は合作）、『忍者ハットリくん』（安孫子）、『怪物くん』（安孫子）など多数。
1976年に執筆された『オバケのQ太郎』の読切作品（合作）を最後に、1987年にコンビ解消を表明するまでの約12年間は、ほぼ全作品をそれぞれ単独で描き、藤子不二雄名義で発表していた。 （ウィキペディア）
従って、
（10）
（11）
『オバＱ』は、「藤本弘と安孫子素雄」による「二人の合作」であり、そのため、
『オバＱ』の「作者」は、「二人いて、二人しかゐない」。
従って、
（07）（09）（11）により、
（12）
③ ∃ｘ∃ｙ｛オバＱの作者ｘ＆オバＱの作者ｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［オバＱの作者ｚ→（ｘ＝ｚ）∨（ｙ＝ｚ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
③ あるｘとあるｙについて｛ｘはオバＱの作者であって、ｙもオバＱの作者であって、（ｘとｙは別人であり）、すべてのｚについて［ｚがオバＱの作者であるならば、ｘがｚであるか、または、ｙがｚである）］｝。
といふ「命題」は「真」である。
令和５年５月４日、毛利太。
0 件のコメント:
コメントを投稿