「排他的選言」と「選言三段論法」について。

（01）
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に取り決められている。
それは論理学の体系がよりシンプルなものになるからである。とりわけ、
∨を両立的選言に決めておけば、排他的選言の方は∨と＆と～によって 簡単に表現できる―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―。
（昭和堂刊、論理学の基礎、1994年、１１頁）
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
といふ「選言」、すなはち、
①（Ｐか、または、Ｑである）が、（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）といふことはない。
といふ場合の「選言」を、「排他的選言」といふ。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　　（１）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
１　　　　（２）　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　　１＆Ｅ
　３　　　（３）　　　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
　　４　　（４）　　　　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　３４　　（５）　　　　　　　　Ｐ＆Ｑ　　　３４＆Ｉ
１３４　　（６）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ）　　２５＆Ｉ
１３　　　（７）　　　　　　　　　～Ｑ　　　４６ＲＡＡ
１　　　　（８）　　　　　　　Ｐ→～Ｑ　　　３７ＣＰ
１　　　　（９）（Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　１＆Ｅ
　　　ア　（ア）　Ｐ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　ア　（イ）　　　　　　　　　～Ｑ　　　８アＭＰＰ
１　　ア　（ウ）　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　アイ＆Ｉ
１　　ア　（エ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　ウ∨Ｉ
　　　　オ（オ）　　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　オ（カ）　～～Ｑ　　　　　　　　　　オＤＮ
１　　　オ（キ）　　　　　　～Ｐ　　　　　　８カＭＴＴ
１　　　オ（ク）　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　　　　オキ＆Ｉ
１　　　オ（ケ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　ク∨Ｉ
１　　　　（コ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　１アエオケ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　Ａ
　２　　（２）（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　２　　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　（４）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　　３∨Ｉ
　　５　（５）　　　　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　Ａ
　　５　（６）　　　　　　　　Ｑ　　　　　５＆Ｅ
　　５　（７）　　　　　　Ｐ∨Ｑ　　　　　６∨Ｉ
１　　　（８）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　　１２４５７∨Ｅ
　　　９（９）　　　　　　　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　　　９（ア）　　　　　　　　　　　Ｑ　　９＆Ｅ
　２　　（イ）　　　～Ｑ　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　９（ウ）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　　　　アイ＆Ｉ
　２　　（エ）　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　９ウＲＡＡ
　　　９（オ）　　　　　　　　Ｐ　　　　　９＆Ｅ
　　５　（カ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　５＆Ｅ
　　５９（キ）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　オカ＆Ｉ
　　５　（ク）　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　９キＲＡＡ
１　　　（ケ）　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　１２エ５ク∨Ｅ
１　　　（コ）（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆　Ｑ）　８ケ＆Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　２　（２）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　２ド・モルガンの法則
　２　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　３含意の定義
　２　（５）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　６ド・モルガンの法則
　　６（８）　　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　７含意の定義
　　６（９）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　８∨Ｉ
１　　（ア）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　１２５６９∨Ｅ
１　　（イ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆　（Ｑ→Ｐ）｝　ア、ド・モルガンの法則
１　　（ウ）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　イＤｆ.⇔
（ⅲ）
１　　（１）　～（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
１　　（２）～｛（Ｐ→Ｑ）＆　（Ｑ→Ｐ）｝　１Ｄｆ.
１　　（３）　～（Ｐ→Ｑ）∨～（Ｑ→Ｐ）　　２ド・モルガンの法則
　４　（４）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　　４含意の定義
　４　（６）　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　４　（７）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　　　～（Ｑ→Ｐ）　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　～（～Ｑ∨Ｐ）　　８含意の定義
　　８（ア）　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　９ド・モルガンの法則
　　８（イ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　ア∨Ｉ
１　　（ウ）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）　　１４７８イ∨Ｅ
従って、
（05）により、
（06）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（04）（06）により、
（07）
①（Ｐ∨　Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（Ｑ＆～Ｐ）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
に於いて、すなはち、
①（Ｐか、または、Ｑである）が、（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）といふことはない。
②（Ｐであって、Ｑでない）か、または、（Ｑであって、Ｐではない）。
③（ＰとＱが同時に真になること、並びに、ＰとＱが同時に偽になること）はない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（01）（07）により、
（08）
④ ＰとＱの内の、どちらか一方だけが、真である。
といふ場合の、
④ ＰかＱ。
を、「排他的選言」といふ。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　（１）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　Ａ
１　（２）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　１ＤＮ
１　（３）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　２含意の定義
　４（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１４（５）　　　　Ｑ　　　　　　　　　３４ＭＰＰ
（ⅱ）
１　（１）　（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）　Ａ
１　（２）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　（３）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　２ＤＮ
１　（４）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　　３含意の定義
　５（５）　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
１５（６）　　　　Ｑ　　　　　　　　　４５ＭＰＰ
従って、
（09）により、
（10）
①（Ｐ∨Ｑ），　　　　　　　～Ｐ├ Ｑ
②（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ），～Ｐ├ Ｑ
といふ「連式」は、「両方」とも、「妥当」である。
従って、
（01）（07）～（10）により、
（11）
「Ｐか、または、Ｑであるが、Ｐではない。故に、Ｑである。」
といふ「推論（選言三段論法・消去法）」は、「両立的選言」に於いても、「排他的選言」に於いても、「両方」とも、「妥当」である。
令和５年５月３１日、毛利太。