返り点に対する「括弧」の用法。

2020年12月31日木曜日

「鼻は象が長い」の「述語論理」の「説明」（Ⅳ）。

（01）（ⅰ）１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝　Ａ１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝　１ＵＥ　３　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　Ａ　３　　　（４）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ　３　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　３＆Ｅ　３　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ａｂ＆～象ｂ）∨～長ａ　　５含意の定義　　７　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ａｂ＆～象ｂ）　　　　　　Ａ　　７　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ∨～～象ｂ　　　　　　　７ド・モルガンの法則　　７　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～鼻ａｂ　　　　　　　８交換法則　　７　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～鼻ａｂ　　　　　　　９含意の定義　　７　　（イ）　　　　　　　　　　　　～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ）　　　　　　ア∨Ｉ　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　Ａ　　　ウ　（エ）　　　　　　　　　　　　～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ）　　　　　　ウ∨Ｉ　３　　　（オ）　　　　　　　　　　　　～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ）　　　　　　３７イウエ∨Ｅ　３　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　長ａ→（～象ｂ→～鼻ａｂ）　　　　　　オ含意の定義　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆長ａ　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　キ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ　３　　キ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～鼻ａｂ　　　　　　　カクＭＰＰ　　　　キ（コ）　　　　　　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ　３　　キ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ　　　　　　　ケコＭＰＰ　３　　　（シ）　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ　　　　　　　キサＣＰ　３　　　（ス）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ　　３シ＆Ｉ　３　　　（セ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ａ）→～鼻ａｙ｝　スＥＩ１　　　　（ソ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ａ）→～鼻ａｙ｝　１３セＥＥ１　　　　（タ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝　ソＵＩ（ⅱ）１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝　Ａ１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ａｙ｝　１ＵＥ　３　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ　　Ａ　３　　　（４）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ　３　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ　　３＆Ｅ　３６　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　Ａ　３６　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～鼻ａｂ　　６ＤＮ　３６　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆長ａ）　　　　　　　５７ＭＴＴ　３６　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～長ａ　　　　　　　　８ド・モルガンの法則　３６　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～長ａ　　　　　　　　９含意の定義　３　　　（イ）　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ→（～象ｂ→～長ａ）　　　　　　　６アＣＰ　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ＆　～象ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ　　　ウ　（エ）　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ　３　ウ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～長ａ　　　　　　　　イエＭＰＰ　　　ウ　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ　３　ウ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　　オカＭＰＰ　３　　　（ク）　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　　　　　　　ウキＣＰ　３　　　（ケ）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　４ク＆Ｉ　３　　　（コ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝　ケＥＩ１　　　　（サ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝　１３コＥＥ１　　　　（シ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝　サＵＩ従って、（01）により、（02） ① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ ② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝に於いて、すなはち、 ① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。 ② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘは、ｙの鼻でない｝。に於いて、 ①＝② である。然るに、（03） ①｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長い。｝といふことは、 ①｛ｙ（象）の鼻である所のｘは、長い。｝といふことである。従って、（04） ①｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。｝といふことは、 ①｛ｙ（象）以外の鼻である所のｘは、長くない。｝といふことである。従って、（03）（04）により、（05） ① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。といふことは、 ① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。といふことである。然るに、（06） ②｛ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘは、ｙの鼻でない。｝といふことは、 ②｛象以外（ｙ）の体で長い部分（ｘ）があるとすれば、鼻以外である。｝といふことである。従って、（05）（06）により、（07） ② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘは、ｙの鼻でない｝。といふことは、 ② 象の鼻は長く、象以外で、長い部分が有るとしたら、鼻以外である。といふことである。従って、（01）～（07）により、（08） ① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝ ② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝に於いて、すなはち、 ① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。 ② 象の鼻は長く、象以外で、長い部分が有るとしたら、鼻以外である。に於いて、 ①＝② である。然るに、（09）（ⅰ）｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝（ⅱ）｛兎の耳、象の耳、馬の耳｝（ⅲ）｛馬の顔、象の顔、兎の顔｝であるならば、 ① 象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くない。 ② 象の鼻は長く、象以外（兎や馬）で、長い部分が有るとしたら、鼻以外（耳や顔）である。然るに、（10）（ⅰ）｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝（ⅱ）｛兎の耳、象の耳、馬の耳｝（ⅲ）｛馬の顔、象の顔、兎の顔｝であるならば、（ⅰ）｛鼻は、象が長い。｝（ⅱ）｛耳は、兎が長い。｝（ⅲ）｛顔は、馬が長い。｝従って、（08）（09）（10）により、（11） ① 鼻は象が長い。⇔ ① 象の鼻は長く、象以外（兎や馬）の鼻は長くない。⇔ ① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔ ① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。といふ「等式」が、成立する。令和０２年１２月３１日、毛利太。

2020年12月30日水曜日

「鼻は象が長い」の「述語論理」の「説明」（其の？）。

（01）１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝　Ａ１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ　　１ＵＥ　３　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　Ａ　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　＆Ｅ　　５　　（５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　６　（６）　　∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　７（７）　　　　　兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　７（８）　　　　　兎ｂ＆　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ　　　　７（９）　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ　　　　７（ア）　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ　　　　７（イ）　　　　　　　　鼻ａｂ＆～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　９ア＆Ｉ　３　　７（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　４イＭＰＰ　３　　７（エ）　　　　　兎ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８ア＆Ｉ　３　　７（オ）　　　　　兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　ウエ＆Ｉ　３　　７（カ）　　∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　オＥＩ　３　６　（キ）　　∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　６７カＥＥ　３　６　（ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　キＥＩ　３５　　（ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　５６クＥＥ１　５　　（コ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　２３ケＥＥ従って、（01）により、（02）（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝。然るに、（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）。従って、（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）。といふ「推論」、すなはち、（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。（ⅱ）　あるｘと、あるｙについて（ｙは兎であって、象ではなく。ｘはｙの鼻である）。従って、（ⅲ）　あるｘと、あるｙについて（ｙは兎であって、ｘはｙの鼻であって、ｘは長くない）。といふ「推論」は、「妥当」である。然るに、（03）（ⅰ）｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝（ⅱ）｛兎の耳、象の耳、馬の耳｝（ⅲ）｛馬の顔、象の顔、兎の顔｝であるならば、（ⅰ）｛鼻は、象が長い。｝（ⅱ）｛耳は、兎が長い。｝（ⅲ）｛顔は、馬が長い。｝然るに、（04）（ⅰ）｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝（ⅱ）｛兎の耳、象の耳、馬の耳｝（ⅲ）｛馬の顔、象の顔、兎の顔｝であるならば、 ① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。 ② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの耳であって、ｙが兎であるならば、ｘは長く、ｘがｙの耳であって、ｙが兎でないならば、ｘは長くない｝。 ③ すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの顔であって、ｙが馬であるならば、ｘは長く、ｘがｙの顔であって、ｙが馬でないならば、ｘは長くない｝。従って、（01）～（04）により、（05）（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、（ⅱ）ある兎は象ではないが、鼻が有る。従って、（ⅲ）ある兎の鼻は長くない。といふ「推論」は、「妥当」である。従って、（02）～（05）により、（06） ① 鼻は象が長い。⇔ ① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔ ① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。といふ「等式」が、成立する。令和０２年１２月３０日、毛利太。

2020年12月29日火曜日

「象が動物である」と、その「対偶」の「述語論理」。

2020年12月28日月曜日

「象は鼻が長い」と、その「対偶」の「述語論理」。

（01）１　　（１）　∀ｘ（象ｘ→動ｘ）　　Ａ１　　（２）　　　　象ａ→動ａ　　　１ＵＥ　３　（３）　　　　　　～動ａ　　　Ａ　　４（４）　　　　象ａ　　　　　　Ａ１　４（５）　　　　　　　動ａ　　　２４ＭＰＰ１３４（６）　　　～動ａ＆動ａ　　　３５＆Ｉ１３　（７）　　　～象ａ　　　　　　４６ＲＡＡ１　　（８）　　　～動ａ→～象ａ　　３７ＣＰ１　　（９）∀ｘ（～動ｘ→～象ｘ）　８ＵＩ（ⅱ）１　　（１）∀ｘ（～動ｘ→～象ｘ）　Ａ１　　（２）　　　～動ａ→～象ａ　　１ＵＥ　３　（３）　　　　　　　　象ａ　　Ａ　　４（４）　　　～動ａ　　　　　　Ａ１　４（５）　　　　　　　～象ａ　　２４ＭＰＰ１３４（６）　　　　象ａ＆～象ａ　　３５＆Ｉ１３　（７）　　～～動ａ　　　　　　４６ＲＡＡ１３　（８）　　　　動ａ　　　　　　７ＤＮ１　　（９）　　　　象ａ→動ａ　　　３８ＣＰ１　　（ア）　∀ｘ（象ｘ→動ｘ）　　９ＵＩ従って、（01）により、（02） ① ∀ｘ（象ｘ→ 動ｘ） ② ∀ｘ（～動ｘ→～象ｘ）に於いて、すなはち、 ① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。 ② すべてのｘについて（ｘが動物以外ならば、ｘは象ではない）。に於いて、 ①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。従って、（02）により、（03） ① 象は動物である。 ② 動物でなければ象ではない。に於いて、 ①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。然るに、（04）（ⅰ）１　　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　Ａ１　　　　　　（２）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　１ＵＥ　３　　　　　（３）　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　Ａ　　４　　　　（４）　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　４　　　　（５）　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　４ＵＥ　　４　　　　（６）　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　５含意の定義　　４　　　　（７）　　　　　　～（鼻ｂａ＆　長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　６ド・モルガンの法則　　４　　　　（８）　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　７ＵＩ　　４　　　　（９）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　８量化子の関係　　４　　　　（ア）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　９∨Ｉ　　　イ　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　Ａ　３　　　　　（ウ）　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　３４アイウ∨Ｅ　　　　エ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　Ａ　　　　　オ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　Ａ　　　　　オ　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（　鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　オ、ド・モルガンの法則　　　　　オ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ→～長ｂ）　　　カ含意の定義　　　　　オ　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ＥＩ　　　　エ　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　エオクＥＥ　　　　エ　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ケ量化子の関係　　　　エ　　（サ）　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　コ∨I 　　　　　シ　（シ）　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　シ　（ス）　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　シ∨I 　３　　　　　（セ）　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ウエサシス∨Ｅ　３　　　　　（ソ）　　～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　　サ、ド・モルガンの法則１３　　　　　（タ）　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ソＭＴＴ１　　　　　　（チ）　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ　　３タＣＰ１　　　　　　（ツ）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝　チＵＩ（ⅱ）１　　　　　　（１）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ａ｝　Ａ１　　　　　　（２）　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ　　１ＵＥ　２　　　　　（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　象ａ　　Ａ　２　　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ａ　　３ＤＮ１２　　　　　（５）　～｛∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨　∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）｝　　　　４ＭＴＴ１２　　　　　（６）　　～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　５ド・モルガンの法則１２　　　　　（７）　　～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ１２　　　　　（８）　　∃ｙ～（鼻ｙａ→～長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　７量化子の関係　　９　　　　（９）　　　　～（鼻ｂａ→～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　９　　　　（ア）　　　～（～鼻ｂａ∨～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　９含意の定義　　９　　　　（イ）　　　　　　鼻ｂａ＆　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア、ド・モルガンの法則　　９　　　　（ウ）　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　イＥＩ１２　　　　　（エ）　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　８９ウＥＥ１２　　　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　６＆Ｅ１２　　　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ～（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　オ量化子の関係１２　　　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　　カＵＥ１２　　　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　キ、ド・モルガンの法則１２　　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　ク含意の定義１２　　　　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　　ケＵＩ１２　　　　　（サ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　エコ＆Ｉ１　　　　　　（シ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　２サＣＰ１　　　　　　（ス）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　　シＵＩ従って、（04）により、（05） ① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ② ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝に於いて、すなはち、 ① すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝ ② すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）か、あるｚが（ｘの鼻以外で、長い）ならば、ｘは象ではない。｝に於いて、 ①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。従って、（05）により、（06） ① 象は鼻が長く、　鼻以外は長くない。 ② 鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。に於いて、 ①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。然るに、（07）１　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆　長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ１　　　（２）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝　１対偶１　　　（３）　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ　２ＵＥ　４　　（４）∀ｘ｛馬ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝　　　　　　　　　　　　　　Ａ　４　　（５）　　　馬ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　４ＵＥ　　６　（６）　　　馬ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　４６　（７）　　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　５６ＭＰＰ　４６　（８）　　　　　　∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　７量化子の関係　４６　（９）　　　　　　　　～（鼻ｂａ＆長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　８ＵＥ　４６　（ア）　　　　　　　　～鼻ｂａ∨～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　９ド・モルガンの法則　４６　（イ）　　　　　　　　　鼻ｂａ→～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　ア含意の定義　４６　（ウ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｂ）　　　　　　　　　　　　　　　イＵＩ　４６　（エ）　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｂ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　ウ∨I １４６　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ａ　　３エＭＰＰ１４　　（カ）　　　馬ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６オＣＰ１４　　（キ）∀ｘ（馬ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カＵＩ従って、（07）により、（08）（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、（ⅱ）∀ｘ｛馬ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、（ⅲ）∀ｘ（馬ｘ→～象ｘ）。といふ「推論」、すなはち、（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝然るに、（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが馬ならば、あるｙが（ｘの鼻であって、長い）といふことは無い。｝従って、（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは象ではない。）といふ「推論」は、「正しい」。従って、（08）により、（09）（ⅰ）「象は鼻が長く、鼻以外は長くない。」然るに、（ⅱ）「馬の鼻は長くない。」従って、（ⅲ）「馬は象ではない。」といふ「推論」は、「正しい」。然るに、（10）１　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ　２　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ　　３　　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ１　　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ　２　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ　　　６　　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　６　　（７）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ　　　６　　（８）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ１　　６　　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４８ＭＰＰ　２　６　　（ア）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５７ＭＰＰ１　　６　　（イ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　９＆Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　２　６　　（エ）　　　　　　∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　耳ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ　　　　　オ（カ）　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ　２　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ　２　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　キＵＥ　２　６　オ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　オクＭＰＰ１　　６　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　ア＆Ｅ１　　６　　（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　コＵＥ１２　６　オ（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　ケサＭＰＰ　　　　　オ（ス）　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　オ＆Ｅ１２　６　オ（セ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　シス＆Ｉ１２　６　　（ソ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　エオセＥＥ１２３　　　（タ）　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　３６ソＥＥ１２　　　　（チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３タＲＡＡ１２　　　　（ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ量化子の関係１２　　　　（テ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＥ１２　　　　（ト）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テ、ド・モルガンの法則１２　　　　（ナ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ト含意の定義１２　　　　（ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ナＵＩ従って、（10）により、（11）（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。といふ「推論」、すなはち、（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝　　　然るに、（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎ならば、あるｙは（ｘの耳であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない）。｝従って、（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎ならば、ｘは象ではない。）といふ「推論」は、「正しい」。従って、（11）により、（12）（ⅰ）「象は鼻が長く、鼻以外は長くない。」　　然るに、（ⅱ）「兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。」従って、（ⅲ）「兎は象ではない。」といふ「推論」は、「正しい」。従って、（07）（09）（10）（12）により、（13） ① 象は鼻が長い。 ② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝に於いて、 ①＝② であるならば、そのときに限って、（α）象は鼻が長い。然るに、馬の鼻は長くない。従って、馬は象ではない。（β）象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。といふ「推論」は、「正しい」。然るに、（14）（α）象は鼻が長い。然るに、馬の鼻は長くない。従って、馬は象ではない。（β）象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。といふ「推論」は、「正しい」。従って、（13）（14）により、（15） ① 象は鼻が長い。⇔ ② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔ ③ すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。令和０２年１２月２８日、毛利太。

2020年12月27日日曜日

三上章の「第一・第二名詞文」。

（01） ① 犬は動物である（が、犬以外にも、動物はゐる）。 ② 犬は最古の家畜である（が、犬以外に、最古の家畜はゐない）。然るに、（02）Ａ⊆Ｂ：集合Ａは、集合Ｂの真部分集合である。Ａ＝Ｂ：集合Ａと、集合Ｂは等しい（２つの集合の要素が同じである）。従って、（01）（02）により、（03）「集合」の「記号」を用ひるならば、 ① 犬⊆動物 ② 犬＝最古の家畜といふ、ことになる。従って、（04） ① 犬は動物である。 ② 犬は最古の家畜である。といふ「日本語」は、「文型」としては、両方とも、 ① ＡはＢである。 ② ＡはＢである。であるものの、 ① Ａ⊆Ｂ ② Ａ＝Ｂといふ風に、「区別」出来る。然るに、（05）｛犬、猫、馬｝であるならば、 ① 犬は動物である。 ② 猫も動物である。 ③ 馬も動物である。然るに、（06）｛犬、机、桜｝であるならば、 ① 犬は動物である。 ② 机は動物ではない。 ③ 桜は植物である。従って、（06）により、（07）｛犬、机、桜｝であれば、 ① 何が動物であるか。と言へば、 ① 犬が動物である。然るに、（08）｛犬、机、桜｝であれば、｛犬｝以外＝｛机、桜｝は、動物ではない。従って、（07）（08）により、（09） ① 犬が動物である。 ③ 犬以外は動物ではない。に於いて、 ①＝③ である。然るに、（10） ② 動物は犬である。 ③ 犬以外は動物ではない。に於いて、 ②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。ｃｆ. （ⅱ）１　　（１）　∀ｘ（動ｘ→犬ｘ）　　Ａ１　　（２）　　　　動ａ→犬ａ　　　１ＵＥ　３　（３）　　　　　　～犬ａ　　　Ａ　　４（４）　　　　動ａ　　　　　　Ａ１　４（５）　　　　　　　犬ａ　　　２４ＭＰＰ１３４（６）　　　～犬ａ＆犬ａ　　　３５＆Ｉ１３　（７）　　　～動ａ　　　　　　４６ＲＡＡ１　　（８）　　　～犬ａ→～動ａ　　３７ＣＰ１　　（９）∀ｘ（～犬ｘ→～動ｘ）　８ＵＩ（ⅲ）１　　（１）∀ｘ（～犬ｘ→～動ｘ）　Ａ１　　（２）　　　～犬ａ→～動ａ　　１ＵＥ　３　（３）　　　　　　　　動ａ　　Ａ　　４（４）　　　～犬ａ　　　　　　Ａ１　４（５）　　　　　　　～動ａ　　２４ＭＰＰ１３４（６）　　　　動ａ＆～動ａ　　３５＆Ｉ１３　（７）　　～～犬ａ　　　　　　４６ＲＡＡ１３　（８）　　　　犬ａ　　　　　　７ＤＮ１　　（９）　　　　動ａ→犬ａ　　　３８ＣＰ１　　（ア）　∀ｘ（動ｘ→犬ｘ）　　９ＵＩ従って、（09）（10）により、（11） ① 犬が動物である。 ② 動物は犬である。 ③ 犬以外は動物ではない。に於いて、 ①＝②＝③ である。然るに、（12）｛犬、桜｝であるならば、 ① 動物が犬であり、 ② 植物が犬である。従って、（11）（12）により、（13）｛犬、桜｝であるならば、 ① 動物が犬である。 ② 犬は動物である。 ③ 動物以外（植物）は犬ではなく、桜である。従って、（13）により、（14）｛犬、桜｝を、｛対象｝とするならば、 ① 動物が犬である。 ② 犬は動物である。 ③ 動物以外（植物）は犬ではなく、桜である。といふ「日本語」に、「不都合」は無い。然るに、（15）　どれが君の傘です？　私が幹事です。　この犬が昨夜吠えたのです。　誰が猫にえさをやっているのです。これらのセンテンスには、「Ⅹは」が含まれてはいませんが、無題文と呼ぶわけにはいきません。語順をひっくり返すと「Ⅹは」が隠れていると見て、陰題文と呼ばれています。それに対して、「Ⅹは」が現れている方は、顕題文です。このように、隠題文と表裏を成している顕題文つまり有題文を、三上は第二名詞文としています。第二名詞文は、第一名詞文、たとえば、　犬は動物である。のような名詞文（措定）と区別しなければなりません。「犬は動物である。」をひっくり返した「動物が犬である」は、意味を成さないからです。（山崎紀美子、日本語基礎講座、三上文法入門、2003年、５６頁）従って、（14）（15）により、（16）「犬は動物である。」をひっくり返した、「動物が犬である」は、意味を成さない。といふ言ふものの、｛犬、桜｝を｛対象｝とする限り、 ① 動物が犬である。 ② 犬は動物である。 ③ 動物以外（植物）は犬ではなく、桜である。といふ「日本語」に、「不都合」は無い。然るに、（16）により、（17）第二名詞文は、第一名詞文、たとえば、　犬は動物である。のような名詞文（措定）と区別しなければなりません。従って、（01）（03）（16）（17）により、（18）三上章先生が言ふ所の、 ① 犬は動物である（第一名詞文）。に於ける、 ①「は」は、「⊆」に「相当」し、 ② 犬は最古の家畜である（第二名詞文）。に於ける、 ②「は」は、「＝」に「相当」する。然るに、（19）「何が動物であるか。」といふ「問ひ」に対しては、「一言では、答へようが無い」が、「何が最古の家畜か。」といふ「問ひ」に対しては、「犬が最古の家畜である。」といふ風に、「答へること」が、出来る。従って、（18）（19）により、（20） ②「＝」に「相当」する「は」は、 ②「が」に「置き換へ」ることが、出来る。然るに、（21）よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、　理事長は、私です。と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、　タゴール記念会は、私が理事長です。と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）従って、（20）（21）により、（22） ② 私＝タゴール記念会の理事長。 ② タゴール記念会の理事長＝私。といふ「等式」が、成立する。令和０２年１２月２７日、毛利太。

2020年12月21日月曜日

「同一命題」としての「私が理事長である」。

（01） ① ＡはＢである。 ② ＡならばＢである。に於いて、 ①＝② である。（02） ② ＡならばＢである。 ③（Ａであって、Ｂない。）といふことはない。に於いて、 ②＝③ である。（03） ③（Ａであって、Ｂない。）といふことはない。 ④（ＢでなくてＡである。）といふことはない。に於いて、 ③＝④ である。（04） ④（ＢでなくてＡである。）といふことはない。 ⑤ Ｂでないならば、Ａでない。に於いて、 ④＝⑤ である。（05） ⑤ Ｂでないならば、Ａでない。 ⑥ Ｂ以外は、Ａでない。に於いて、 ⑤＝⑥ である。従って、（01）～（05）により、（06） ① ＡはＢである。 ② ＡならばＢである。 ③（Ａであって、Ｂない。）といふことはない。 ④（ＢでなくてＡである。）といふことはない。 ⑤ Ｂでないならば、Ａでない。 ⑥ Ｂ以外は、　　　Ａでない。といふ「日本語」に於いて、 ①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。従って、（06）により、（07）「番号」を付け直すと、 ① ＡはＢである。 ② Ｂ以外は、Ａでない。といふ「日本語」に於いて、 ①＝② である。といふ「等式」は、「正しい」。然るに、（08）（ⅰ）１　　　（１）　　Ａ→　Ｂ　　　仮定　２　　（２）　　Ａ＆～Ｂ　　　仮定　２　　（３）　　Ａ　　　　　　２＆Ｅ　２　　（４）　　　　～Ｂ　　　２＆Ｅ１２　　（５）　　　　　Ｂ　　　１３ＭＰＰ１２　　（６）　　～Ｂ＆Ｂ　　　４５＆Ｉ１　　　（７）～（Ａ＆～Ｂ）　　２６ＲＡＡ　　８　（８）　　　　～Ｂ　　　仮定　　　９（９）　　Ａ　　　　　　仮定　　８９（ア）　　Ａ＆～Ｂ　　　８９＆Ｉ１　８９（イ）～（Ａ＆～Ｂ）＆　　　　　　　　（Ａ＆～Ｂ）　　７ア＆Ｉ１　８　（ウ）　～Ａ　　　　　　９イＲＡＡ１　　　（エ）　～Ｂ→～Ａ　　　８ウＣＰ（ⅱ）１　　　（１）　　～Ｂ→～Ａ　　　仮定　２　　（２）　　～Ｂ＆　Ａ　　　仮定　２　　（３）　　～Ｂ　　　　　　２＆Ｅ　２　　（４）　　　　　　Ａ　　　２＆Ｅ１２　　（５）　　　　　～Ａ　　　１３ＭＰＰ１２　　（６）　　　Ａ＆～Ａ　　　４５＆Ｉ１　　　（７）～（～Ｂ＆　Ａ）　　２６ＲＡＡ　　８　（８）　　　　　　Ａ　　　仮定　　　９（９）　　～Ｂ　　　　　　仮定　　８９（ア）　　～Ｂ＆　Ａ　　　８９＆Ｉ１　８９（イ）～（～Ｂ＆　Ａ）＆　　　　　　　　（～Ｂ＆　Ａ）　　７ア＆Ｉ１　８　（ウ）　～～Ｂ　　　　　　９イＲＡＡ１　８　（エ）　　　Ｂ　　　　　　ウＤＮ１　　　（オ）　　　Ａ→　Ｂ　　　８エＣＰ従って、（08）により、（09） ① 　Ａ→　Ｂ ② ～Ｂ→～Ａに於いて、 ①＝② である。従って、（09）により、（10） ① ＡならばＢである。 ② ＢでないならばＡでない。に於いて、すなはち、 ① ＡはＢである。 ② Ｂ以外は、Ａでない。に於いて、 ①＝② である。従って、（07）～（11）により、（11）『日本語』で「思考」しても、『論理学』で「計算」しても、いづれにせよ、 ① ＡはＢである。 ② Ｂ以外は、Ａでない。に於いて、 ①＝② といふ「等式（Contraposition）」は、「正しい」。従って、（11）により、（12）Ａ＝理事長Ｂ＝私として、 ① 理事長は私である。 ② 私以外は、理事長でない。に於いて、 ①＝② といふ「等式（Contraposition）」は、「正しい」。然るに、（12）により、（13） ① 理事長は私である。 ② 私以外は、理事長でない。といふ「命題」は、 ① 私は理事長である。 ② 私は理事長である。といふ「命題」を、「含意」する。従って、（12）（13）により（14） ① 私は理事長であり、理事長は私である。 ② 私は理事長であり、私以外は、理事長でない。に於いて、 ①＝② といふ「等式」は、「正しい」。然るに、（15）よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、　理事長は、私です。と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、　タゴール記念会は、私が理事長です。と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）従って、（14）（15）により、（16） ① 私が理事長です。 ② 私は理事長であり、理事長は私である。 ③ 私は理事長であり、私以外は、理事長でない。に於いて、 ①＝②＝③ といふ「等式」は、「正しい」。然るに、（16）により、（17） ① 私が理事長です。 ② 私は理事長であり、理事長は私である。 ③ 私は理事長であり、私以外は、理事長でない。に於いて、 ①＝②＝③ である。といふことは、要するに、 ④「私」と「理事長」が、「同一人物（The same person）」である。といふことに、他ならない。従って、（17）により、（18） ① 私が理事長です。 ② 私は理事長であり、理事長は私である。 ③ 私は理事長であり、私以外は、理事長でない。 ④ 私と理事長は、「同一」である。に於いて、 ①＝②＝③＝④ である。然るに、（19） ⑤ 昨夜吠えたのはこの犬だ。 ⑥ 犬は動物である。に於いて、 ⑤「昨夜吠えた犬」と「この犬」は、「同一」であるが、 ⑥「犬」と「動物」は、「同一」ではない。ｃｆ. ⑤ Ａ＝Ｂ（Ａ⇔Ｂ） ⑥ Ａ≠Ｂ（Ａ⊂Ｂ）然るに、（20）９　私が幹事です（陰題と顕題）話を名詞文に戻します。名詞文の中には、特殊な名詞文があります。指定を表す名詞文です。　君の傘はどれです？　幹事は私です。　昨夜吠えたのはこの犬だ。　猫にえさをやっているのは誰だ？これらの名詞文は、指定を表していますが、語順を変えて、指定以前のセンテンスに戻すことができます。　どれが君の傘です？　私が幹事です。　この犬が昨夜吠えたのです。　誰が猫にえさをやっているのです。これらのセンテンスには、「Ⅹは」が含まれてはいませんが、無題文と呼ぶわけにはいきません。語順をひっくり返すと「Ⅹは」が隠れていると見て、陰題文と呼ばれています。それに対して、「Ⅹは」が現れている方は、顕題文です。このように、隠題文と表裏を成している顕題文つまり有題文を、三上は第二名詞文としています。第二名詞文は、第一名詞文、たとえば、　犬は動物である。のような名詞文（措定）と区別しなければなりません。「犬は動物である。」をひっくり返した「動物が犬である」は、意味を成さないからです。（山崎紀美子、日本語基礎講座、三上文法入門、2003年、５６頁）従って、（19）（20）により、（21） ⑤ 昨夜吠えたのは（＝）この犬だ。 ⑥ 犬は（⊂）動物である。といふ「日本語の違ひ」を説明する際に「必要」なのは、「同一（同値）」といふ「用語」であって、「陰題と顕題」といふ「用語」ではない。（22） ① ２は偶素数である。 ② ３は奇素数である。であるため、 ① ２＝偶素数。 ② ３∈奇素数。である。（23） ① ２＝偶素数。であるならば、 ② ２が偶素数であり、 ③ ２は偶素数であり、偶素数は２であり、 ④ ２は偶素数であり、２以外は、偶素数でない。従って、（23）により、（24）最も、簡単に言ふと、「が」といふ「助詞」は、「＝（⇔）」といふ「等号」に、相当する。令和０２年１２月２１日、毛利太。

2020年12月15日火曜日

「ド・モルガンの法則」の「証明（２通り）」。

（01） ①「１」は「素数」ではなく、「偶数」でもない。 ②「２」は「素数」であって、「偶数」である。 ③「３」は「素数」であって、「偶数」ではない。 ④「４」は「素数」ではなく、「偶数」である。従って、（01）により、（02）Ｓ＝素数である。Ｇ＝偶数である。とするならば、 ① １＝～Ｓ＆～Ｇ ② ２＝　Ｓ＆　Ｇ ③ ３＝　Ｓ＆～Ｇ ④ ４＝～Ｓ＆　Ｇ然るに、（03）｛①、②、③、④｝を｛変域（ドメイン）｝とすると、 ① でない。⇔ ② か、③ か、④ である。 ② でない。⇔ ① か、③ か、④ である。 ③ でない。⇔ ① か、② か、④ である。 ④ でない。⇔ ① か、② か、③ である。従って、（02）（03）により、（04） ① ～１＝～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ＆　Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ） ② ～２＝～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ） ③ ～３＝～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆　Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ） ④ ～４＝～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆　Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）然るに、（05） ①（Ｓ＆Ｇ）∨（Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆Ｇ）といふ「式」は、「真理表（Truth table）」が示す所により、（ⅰ）Ｓ＝真，Ｇ＝真（ⅱ）Ｓ＝真，Ｇ＝偽（ⅲ）Ｓ＝偽，Ｇ＝真である際に、「真」になり、（ⅳ）Ｓ＝偽，Ｇ＝偽である際に、「偽」になるが、 ① 　Ｓ∨　Ｇといふ「式」もさうである。（06） ②（～Ｓ＆～Ｇ）∨（Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆Ｇ）といふ「式」は、「真理表（Truth table）」が示す所により、（ⅰ）Ｓ＝偽，Ｇ＝偽（ⅱ）Ｓ＝真，Ｇ＝偽（ⅲ）Ｓ＝偽，Ｇ＝真である際に、「真」になり、（ⅳ）Ｓ＝真，Ｇ＝真である際に、「偽」になるが、 ② ～Ｓ∨～Ｇといふ「式」もさうである。（07） ③（～Ｓ＆～Ｇ）∨（Ｓ＆Ｇ）∨（～Ｓ＆Ｇ）といふ「式」は、「真理表（Truth table）」が示す所により、（ⅰ）Ｓ＝偽，Ｇ＝偽（ⅱ）Ｓ＝真，Ｇ＝真（ⅲ）Ｓ＝偽，Ｇ＝真である際に、「真」になり、（ⅳ）Ｓ＝真，Ｇ＝偽である際に、「偽」になるが、 ③ ～Ｓ∨　Ｇといふ「式」もさうである。（08） ④（～Ｓ＆～Ｇ）∨（Ｓ＆Ｇ）∨（Ｓ＆～Ｇ）といふ「式」は、「真理表（Truth table）」が示す所により、（ⅰ）Ｓ＝偽，Ｇ＝偽（ⅱ）Ｓ＝真，Ｇ＝真（ⅲ）Ｓ＝真，Ｇ＝偽である際に、「真」になり、（ⅳ）Ｓ＝偽，Ｇ＝真である際に、「偽」になるが、 ④ Ｓ∨～Ｇといふ「式」もさうである。従って、（04）～（08）により、（09） ① ～１＝～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ＆　Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ） ② ～２＝～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ） ③ ～３＝～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆　Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ） ④ ～４＝～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆　Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）といふ「等式」は、 ① ～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ∨　Ｇ） ② ～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ∨～Ｇ） ③ ～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ∨　Ｇ） ④ ～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（　Ｓ∨～Ｇ）といふ「等式（ド・モルガンの法則）」に、「等しい」。然るに、（10）例へば（ⅳ）１　　　（１）　～（～Ｓ＆　Ｇ）　　Ａ　２　　（２）　～（　Ｓ∨～Ｇ）　　Ａ　　３　（３）　　　　Ｓ　　　　　　Ａ　　３　（４）　　　　Ｓ∨～Ｇ　　　３∨Ｉ　２３　（５）　～（　Ｓ∨～Ｇ）＆　　　　　　　　　（　Ｓ∨～Ｇ）　　１４＆Ｉ　２　　（６）　　　～Ｓ　　　　　　３５ＲＡＡ　　　７（８）　　　　　　～Ｇ　　　Ａ　　　７（９）　　　　Ｓ∨～Ｇ　　　８∨Ｉ　２　７（ア）　～（　Ｓ∨～Ｇ）＆　　　　　　　　　（　Ｓ∨～Ｇ）　　１９＆Ｉ　２　　（イ）　　　　　～～Ｇ　　　７アＲＡＡ　２　　（ウ）　　　　　　　Ｇ　　　イＤＮ　２　　（エ）　　　～Ｓ＆　Ｇ　　　６ウ＆Ｉ１２　　（オ）　～（～Ｓ＆　Ｇ）＆　　　　　　　　　（～Ｓ＆　Ｇ）　　１エ＆Ｉ１　　　（カ）～～（　Ｓ∨～Ｇ）　　２オＲＡＡ１　　　（キ）　　（　Ｓ∨～Ｇ）　　カＤＮ（ⅴ）１　　　（１）　　（　Ｓ∨～Ｇ）　　Ａ　２　　（２）　　　～Ｓ＆　Ｇ　　　Ａ　　３　（３）　　　　Ｓ　　　　　　Ａ　２　　（４）　　　～Ｓ　　　　　　２＆Ｅ　２３　（５）　　　　Ｓ＆～Ｓ　　　３４＆Ｉ　　３　（６）　～（～Ｓ＆　Ｇ）　　２５ＲＡＡ　　　７（７）　　　　　　～Ｇ　　　Ａ　２　　（８）　　　　　　　Ｇ　　　２＆Ｅ　２　７（９）　　　　～Ｇ＆Ｇ　　　７８＆Ｉ　　　７（ア）　～（～Ｓ＆　Ｇ）　　２９ＲＡＡ１　　　（イ）　～（～Ｓ＆　Ｇ）　　１３６７ア∨Ｅ従って、（10）により、（11） ④ ～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（　Ｓ∨～Ｇ）といふ「等式」が成立し、「同じ計算」により、 ① ～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ∨　Ｇ） ② ～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ∨～Ｇ） ③ ～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ∨　Ｇ）といふ「等式」が、成立する。従って、（01）～（11）により、（12）「真理表（Truth table）」と、「命題計算（propositional calculus）」の「両方」により、 ① ～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ∨～Ｇ） ② ～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ∨　Ｇ） ③ ～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（　Ｓ∨～Ｇ） ④ ～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ∨　Ｇ）といふ「等式（ド・モルガンの法則）」を、「確認」することが、出来る。従って、（12）により、（13）「左辺」と「右辺」を「逆」にして、「両辺」を「否定」すると、「２重否定」により、 ⑤ ～（～Ｓ∨～Ｇ）⇔ ～～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（　Ｓ＆　Ｇ） ⑥ ～（～Ｓ∨　Ｇ）⇔ ～～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ＆～Ｇ） ⑦ ～（　Ｓ∨～Ｇ）⇔ ～～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ＆　Ｇ） ⑧ ～（　Ｓ∨　Ｇ）⇔ ～～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）といふ「等式（ド・モルガンの法則）」を、「確認」することが、出来る。従って、（12）（13）により、（14） ① ～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ∨～Ｇ） ② ～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ∨　Ｇ） ③ ～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（　Ｓ∨～Ｇ） ④ ～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ∨　Ｇ） ⑤ ～（～Ｓ∨～Ｇ）⇔（　Ｓ＆　Ｇ） ⑥ ～（～Ｓ∨　Ｇ）⇔（　Ｓ＆～Ｇ） ⑦ ～（　Ｓ∨～Ｇ）⇔（～Ｓ＆　Ｇ） ⑧ ～（　Ｓ∨　Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）といふ「等式（ド・モルガンの法則）」を、「確認」することが、出来る。令和０２年１２月１５日、毛利太。　

2020年12月14日月曜日

「ルカジェヴィッツの公理（１）」と「パースの法則」の、「読み方」。

（01） ① Ｐ→Ｐ ② Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐに於いて、 ① を、「同一律」といひ、 ② を、「ルカジェヴィッツの公理（１）」といひ、 ③ を、「パースの方法」といふ。（02）　―「含意の定義」の「証明」。― （ⅰ）１　　（１）　　　　Ｐ→Ｑ　　Ａ　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　３∨Ｉ　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２４＆Ｉ　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ１２　（８）　　　　　　Ｑ　　１７ＭＰＰ１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　８∨Ｉ１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　２９＆Ｉ１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　２アＲＡＡ１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　イＤＮ（ⅱ）１　　　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ　　３　　　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ　２３　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　ウエ＆Ｉ１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　エカＲＡＡ１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ従って、（02）により、（03） ② 　Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである） ③ ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）に於いて ②＝③ である（含意の定義）。然るに、（04）（ⅰ）１（１）　　　Ｐ　　　　Ａ１（２）～Ｑ∨Ｐ　　　　１∨Ｉ１（３）　Ｑ→Ｐ　　　　２含意の定義　（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　１３ＣＰ（ⅱ）１　　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ　２　　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　Ａ　２　　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　　３含意の定義１２　　　（４）　　　　　　　　Ｐ　　　　１３ＭＰＰ１　　　　（５）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　　　　２４ＣＰ１　　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　　５含意の定義　　７　　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　Ａ　　　８　（８）　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ　　　８　（９）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　８∨Ｉ　　７８　（ア）～（～Ｐ∨Ｑ）＆　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　７９＆Ｉ　　７　　（イ）　～～Ｐ　　　　　　　　　８アＲＡＡ　　７　　（ウ）　　　Ｐ　　　　　　　　　イＤＮ　　　　エ（エ）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ１　　　　（オ）　　　Ｐ　　　　　　　　　６７ウエエ∨Ｅ　　　　　（カ）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１オＣＰ従って、（04）により、（05） ②├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ③├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐとい「連式（Sequents）」は「妥当」である。然るに、（06） ① Ｐ├ Ｐ ② Ｐ├（Ｑ→Ｐ） ③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）├ Ｐといふ「連式（Sequents）」に対して、 ①├ Ｐ→Ｐ ②├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ③├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐとい「連式（Sequents）」を、「恒真式（トートロジー）」と言ふ。然るに、（07）「恒真式（トートロジー）」は、「恒に、真」であって、「偽」であることが無い。従って、（06）（07）により、（08）例へば、 ②├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）であれば、すなはち、「ルカジェヴィッツの公理（１）」であれば、 ②├ 真→（真→真） ②├ 真→（偽→真）は、「両方とも、真である」。然るに、（09） ②├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）に於いて、 ②├ 真→（真→真） ②├ 真→（偽→真）の、「両方が真である」。といふことは、 ②├ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）に於いて、Ｐが「真」であるならば、Ｑが「真」であらうと、Ｑが「偽」であらうと、いづれにせよ、Ｐは「真」である。といふことを、「意味」してゐる。従って、（09）により、（10） ② Ｐ→（Ｑ→Ｐ）といふ「式（トートロジー）」は、 ② Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである）。といふ「意味」になる。従って、（06）～（10）により、（11） ③├（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐの場合も、 ③　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ「式（トートロジー）」は、 ③（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）Ｐならば）Ｐである。といふ「意味」になる。然るに、（12） ② 　Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ「式」は、 ②　Ｐならば（ＱならばＰである）。 ③（（ＰならばＱならば）Ｐならば）Ｐである。と「読む」のが、「普通」である。従って、（10）（11）（12）により、（13） ② 　Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ「式（トートロジー）」は、 ② Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである）。 ③（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）Ｐならば）Ｐである。といふ「意味」であるにも拘らず、 ② Ｐならば（ＱならばＰである）。 ③（（ＰならばＱならば）Ｐならば）Ｐである。といふ風に、「読まれる」ことになる。従って、（13）により、（14） ② 　Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ「式（トートロジー）」には、「意味と読み」に於いて、「齟齬」が有る。といふ、ことにない。従って、（13）（14）により、（15）「その意味」を考慮する限り、 ② 　Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ「式（トートロジー）」を、 ② Ｐならば（ＱならばＰである）。 ③（（ＰならばＱならば）Ｐならば）Ｐである。といふ風に、「読む」ことは、「間違ひ」であると、言はざるを得ない。すなはち、（16） ② 　Ｐ→（Ｑ→Ｐ） ③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐといふ「式（トートロジー）」は、 ② Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなからうと、Ｐである）。 ③（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）Ｐならば）Ｐである。といふ風に、「読む」のが、「正しい」。令和０２年１２月１４日、毛利太。

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