「ド・モルガンの法則」の「証明（２通り）」。

（01）
①「１」は「素数」ではなく、「偶数」でもない。
②「２」は「素数」であって、「偶数」である。
③「３」は「素数」であって、「偶数」ではない。
④「４」は「素数」ではなく、「偶数」である。
従って、
（01）により、
（02）
Ｓ＝素数である。
Ｇ＝偶数である。
とするならば、
① １＝～Ｓ＆～Ｇ
② ２＝　Ｓ＆　Ｇ
③ ３＝　Ｓ＆～Ｇ
④ ４＝～Ｓ＆　Ｇ
然るに、
（03）
｛①、②、③、④｝を｛変域（ドメイン）｝とすると、
① でない。⇔ ② か、③ か、④ である。
② でない。⇔ ① か、③ か、④ である。
③ でない。⇔ ① か、② か、④ である。
④ でない。⇔ ① か、② か、③ である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～１＝～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ＆　Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ）
② ～２＝～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ）
③ ～３＝～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆　Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ）
④ ～４＝～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆　Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）
然るに、
（05）
①（Ｓ＆Ｇ）∨（Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆Ｇ）
といふ「式」は、「真理表（Truth table）」が示す所により、
（ⅰ）Ｓ＝真，Ｇ＝真
（ⅱ）Ｓ＝真，Ｇ＝偽
（ⅲ）Ｓ＝偽，Ｇ＝真
である際に、「真」になり、
（ⅳ）Ｓ＝偽，Ｇ＝偽
である際に、「偽」になるが、
① 　Ｓ∨　Ｇ
といふ「式」もさうである。
（06）
②（～Ｓ＆～Ｇ）∨（Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆Ｇ）
といふ「式」は、「真理表（Truth table）」が示す所により、
（ⅰ）Ｓ＝偽，Ｇ＝偽
（ⅱ）Ｓ＝真，Ｇ＝偽
（ⅲ）Ｓ＝偽，Ｇ＝真
である際に、「真」になり、
（ⅳ）Ｓ＝真，Ｇ＝真
である際に、「偽」になるが、
② ～Ｓ∨～Ｇ
といふ「式」もさうである。
（07）
③（～Ｓ＆～Ｇ）∨（Ｓ＆Ｇ）∨（～Ｓ＆Ｇ）
といふ「式」は、「真理表（Truth table）」が示す所により、
（ⅰ）Ｓ＝偽，Ｇ＝偽
（ⅱ）Ｓ＝真，Ｇ＝真
（ⅲ）Ｓ＝偽，Ｇ＝真
である際に、「真」になり、
（ⅳ）Ｓ＝真，Ｇ＝偽
である際に、「偽」になるが、
③ ～Ｓ∨　Ｇ
といふ「式」もさうである。
（08）
④（～Ｓ＆～Ｇ）∨（Ｓ＆Ｇ）∨（Ｓ＆～Ｇ）
といふ「式」は、「真理表（Truth table）」が示す所により、
（ⅰ）Ｓ＝偽，Ｇ＝偽
（ⅱ）Ｓ＝真，Ｇ＝真
（ⅲ）Ｓ＝真，Ｇ＝偽
である際に、「真」になり、
（ⅳ）Ｓ＝偽，Ｇ＝真
である際に、「偽」になるが、
④ Ｓ∨～Ｇ
といふ「式」もさうである。
従って、
（04）～（08）により、
（09）
① ～１＝～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ＆　Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ）
② ～２＝～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ）
③ ～３＝～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆　Ｇ）∨（～Ｓ＆　Ｇ）
④ ～４＝～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）∨（　Ｓ＆　Ｇ）∨（　Ｓ＆～Ｇ）
といふ「等式」は、
① ～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ∨　Ｇ）
② ～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ∨～Ｇ）
③ ～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ∨　Ｇ）
④ ～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（　Ｓ∨～Ｇ）
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」に、「等しい」。
然るに、
（10）
例へば
（ⅳ）
１　　　（１）　～（～Ｓ＆　Ｇ）　　Ａ
　２　　（２）　～（　Ｓ∨～Ｇ）　　Ａ
　　３　（３）　　　　Ｓ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　　Ｓ∨～Ｇ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（　Ｓ∨～Ｇ）＆
　　　　　　　　　（　Ｓ∨～Ｇ）　　１４＆Ｉ
　２　　（６）　　　～Ｓ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（８）　　　　　　～Ｇ　　　Ａ
　　　７（９）　　　　Ｓ∨～Ｇ　　　８∨Ｉ
　２　７（ア）　～（　Ｓ∨～Ｇ）＆
　　　　　　　　　（　Ｓ∨～Ｇ）　　１９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｇ　　　７アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｇ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　～Ｓ＆　Ｇ　　　６ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（～Ｓ＆　Ｇ）＆
　　　　　　　　　（～Ｓ＆　Ｇ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（　Ｓ∨～Ｇ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　（　Ｓ∨～Ｇ）　　カＤＮ
（ⅴ）
１　　　（１）　　（　Ｓ∨～Ｇ）　　Ａ
　２　　（２）　　　～Ｓ＆　Ｇ　　　Ａ
　　３　（３）　　　　Ｓ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　～Ｓ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　　Ｓ＆～Ｓ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（～Ｓ＆　Ｇ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｇ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｇ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｇ＆Ｇ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（～Ｓ＆　Ｇ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　～（～Ｓ＆　Ｇ）　　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（10）により、
（11）
④ ～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（　Ｓ∨～Ｇ）
といふ「等式」が成立し、「同じ計算」により、
① ～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ∨　Ｇ）
② ～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ∨～Ｇ）
③ ～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ∨　Ｇ）
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
「真理表（Truth table）」と、
「命題計算（propositional calculus）」の「両方」により、
① ～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ∨～Ｇ）
② ～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ∨　Ｇ）
③ ～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（　Ｓ∨～Ｇ）
④ ～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ∨　Ｇ）
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」を、「確認」することが、出来る。
従って、
（12）により、
（13）
「左辺」と「右辺」を「逆」にして、
「両辺」を「否定」すると、「２重否定」により、
⑤ ～（～Ｓ∨～Ｇ）⇔ ～～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（　Ｓ＆　Ｇ）
⑥ ～（～Ｓ∨　Ｇ）⇔ ～～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ＆～Ｇ）
⑦ ～（　Ｓ∨～Ｇ）⇔ ～～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ＆　Ｇ）
⑧ ～（　Ｓ∨　Ｇ）⇔ ～～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」を、「確認」することが、出来る。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ～（　Ｓ＆　Ｇ）⇔（～Ｓ∨～Ｇ）
② ～（　Ｓ＆～Ｇ）⇔（～Ｓ∨　Ｇ）
③ ～（～Ｓ＆　Ｇ）⇔（　Ｓ∨～Ｇ）
④ ～（～Ｓ＆～Ｇ）⇔（　Ｓ∨　Ｇ）
⑤ ～（～Ｓ∨～Ｇ）⇔（　Ｓ＆　Ｇ）
⑥ ～（～Ｓ∨　Ｇ）⇔（　Ｓ＆～Ｇ）
⑦ ～（　Ｓ∨～Ｇ）⇔（～Ｓ＆　Ｇ）
⑧ ～（　Ｓ∨　Ｇ）⇔（～Ｓ＆～Ｇ）
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」を、「確認」することが、出来る。
令和０２年１２月１５日、毛利太。