（01）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→動ｘ） Ａ
１ （２） 象ａ→動ａ １ＵＥ
３ （３） ～動ａ Ａ
４（４） 象ａ Ａ
１ ４（５） 動ａ ２４ＭＰＰ
１３４（６） ～動ａ＆動ａ ３５＆Ｉ
１３ （７） ～象ａ ４６ＲＡＡ
１ （８） ～動ａ→～象ａ ３７ＣＰ
１ （９）∀ｘ（～動ｘ→～象ｘ） ８ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（～動ｘ→～象ｘ） Ａ
１ （２） ～動ａ→～象ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
４（４） ～動ａ Ａ
１ ４（５） ～象ａ ２４ＭＰＰ
１３４（６） 象ａ＆～象ａ ３５＆Ｉ
１３ （７） ～～動ａ ４６ＲＡＡ
１３ （８） 動ａ ７ＤＮ
１ （９） 象ａ→動ａ ３８ＣＰ
１ （ア） ∀ｘ（象ｘ→動ｘ） ９ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（ 象ｘ→ 動ｘ）
② ∀ｘ（～動ｘ→～象ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが動物以外ならば、ｘは象ではない）。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① 象は動物である。
② 動物でなければ象ではない。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
４ （４） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
４ （５） 鼻ｂａ→～長ｂ ４ＵＥ
４ （６） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ５含意の定義
４ （７） ～（鼻ｂａ＆ 長ｂ） ６ド・モルガンの法則
４ （８） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ７ＵＩ
４ （９） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ８量化子の関係
４ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９∨Ｉ
イ （イ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
３ （ウ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ３４アイウ∨Ｅ
エ （エ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
オ （オ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
オ （カ） ～（ 鼻ｂａ∨～長ｂ） オ、ド・モルガンの法則
オ （キ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） カ含意の定義
オ （ク） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ＥＩ
エ （ケ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） エオクＥＥ
エ （コ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ケ量化子の関係
エ （サ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） コ∨I
シ （シ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） Ａ
シ （ス） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） シ∨I
３ （セ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウエサシス∨Ｅ
３ （ソ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ サ、ド・モルガンの法則
１３ （タ） ～象ａ ２ソＭＴＴ
１ （チ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ ３タＣＰ
１ （ツ）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝ チＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ａ｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ １ＵＥ
２ （３） 象ａ Ａ
２ （４） ～～象ａ ３ＤＮ
１２ （５） ～｛∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）｝ ４ＭＴＴ
１２ （６） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ５ド・モルガンの法則
１２ （７） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ６＆Ｅ
１２ （８） ∃ｙ～（鼻ｙａ→～長ｙ） ７量化子の関係
９ （９） ～（鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
９ （ア） ～（～鼻ｂａ∨～長ｂ） ９含意の定義
９ （イ） 鼻ｂａ＆ 長ｂ ア、ド・モルガンの法則
９ （ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） イＥＩ
１２ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ８９ウＥＥ
１２ （オ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ６＆Ｅ
１２ （カ） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆長ｚ） オ量化子の関係
１２ （キ） ～（～鼻ｂａ＆長ｂ） カＵＥ
１２ （ク） 鼻ｂａ∨～長ｂ キ、ド・モルガンの法則
１２ （ケ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ク含意の定義
１２ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ケＵＩ
１２ （サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） エコ＆Ｉ
１ （シ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２サＣＰ
１ （ス）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ） シＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝
② すべてのｘについて｛すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）か、あるｚが（ｘの鼻以外で、長い）ならば、ｘは象ではない。｝
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（05）により、
（06）
① 象は鼻が長く、 鼻以外は長くない。
② 鼻が長くないか、鼻以外が長いならば、象ではない。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（07）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ｛∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～象ｘ｝ １対偶
１ （３） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～象ａ ２ＵＥ
４ （４）∀ｘ｛馬ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
４ （５） 馬ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４ＵＥ
６ （６） 馬ａ Ａ
４６ （７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５６ＭＰＰ
４６ （８） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆長ｙ） ７量化子の関係
４６ （９） ～（鼻ｂａ＆長ｂ） ８ＵＥ
４６ （ア） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ９ド・モルガンの法則
４６ （イ） 鼻ｂａ→～長ｂ ア含意の定義
４６ （ウ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｂ） イＵＩ
４６ （エ） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｂ）∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ウ∨I
１４６ （オ） ～象ａ ３エＭＰＰ
１４ （カ） 馬ａ→～象ａ ６オＣＰ
１４ （キ）∀ｘ（馬ｘ→～象ｘ） カＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛馬ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（馬ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが馬ならば、あるｙが（ｘの鼻であって、長い）といふことは無い。｝従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが馬ならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論」は、「正しい」。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）「象は鼻が長く、鼻以外は長くない。」然るに、
（ⅱ）「馬の鼻は長くない。」従って、
（ⅲ）「馬は象ではない。」
といふ「推論」は、「正しい」。
然るに、
（10）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝ 然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎ならば、あるｙは（ｘの耳であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない）。｝従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎ならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論」は、「正しい」。
従って、
（11）により、
（12）
（ⅰ）「象は鼻が長く、鼻以外は長くない。」 然るに、
（ⅱ）「兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。」従って、
（ⅲ）「兎は象ではない。」
といふ「推論」は、「正しい」。
従って、
（07）（09）（10）（12）により、
（13）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
①＝② であるならば、そのときに限って、
（α）象は鼻が長い。然るに、馬の鼻は長くない。従って、馬は象ではない。
（β）象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
といふ「推論」は、「正しい」。
然るに、
（14）
（α）象は鼻が長い。然るに、馬の鼻は長くない。従って、馬は象ではない。
（β）象は鼻が長い。然るに、兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、兎は象ではない。
といふ「推論」は、「正しい」。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① 象は鼻が長い。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて｛ｘが象ならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）。｝
といふ「等式」を、「否定」することは、出来ない。
令和０２年１２月２８日、毛利太。
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