「Ｐは（が）Ｑである」と、 Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ→Ｑ）∨（Ｐ⇔Ｑ）。

（01）
（ⅰ）
　　１（１）（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　Ａ
　　１（２）（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　１∨Ｉ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　Ａ
　２　（２）（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　Ａ
　２　（３）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）　２Ｄｆ．⇔
　２　（４）（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　３＆Ｅ
　　５（５）　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　Ａ
１　　（６）（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　１２４５５∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐ→Ｑ）
②（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式（Sequent）」は「妥当」である。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）～Ｑ∨Ｐ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（４）　Ｑ→Ｐ　　　　　　　　３含意の定義
１２　（５）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）　１４＆Ｉ
１２　（６）（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　５Ｄｆ．⇔
１２　（７）（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ　　　　　６∨Ｉ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ　　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ⇔Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）　２Ｄｆ．⇔
　２　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３＆Ｅ
　　５（５）　　　　　　　　　Ｑ　　Ａ
　　５（６）　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　５∨Ｉ
　　５（７）　　　　　　　Ｐ→Ｑ　　６含意の定義
１　　（８）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　１２４５７∨Ｅ
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ，Ｐ→Ｑ ├  （Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ
②　　 Ｐ→Ｑ ┤  （Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は「妥当」であるが、
③ 　　Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ
といふ「連式（Sequent）」は「妥当」ではない。
然るに、
（06）
５　原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて証明せよ。
（ａ）├ Ｐ∨（Ｐ→Ｑ）
　― 中略、―
（ｊ）Ｐ→Ｑ ┤├ （Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ
　― 後略、―
（論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８０頁）
ｃｆ.
「論理学初歩、E.J.レモン」には「解答」が載ってゐないので、「練習問題（Exercise）」は、自分で、解くことになる。
従って、
（05）（06）により、
（07）
「練習問題（Exercise）」に挙げられてゐる以上、
③ Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ
といふ「連式（Sequent）」は「妥当」ではない。
は、「間違ひ」であって、
③ Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ
といふ「連式（Sequent）」は「妥当」でなければ、ならない。
然るに、
（08）
（ⅲ）
１　　　　（１）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　　（２）　　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　　　ＴＩ（定理導入の規則：排中律）
　３　　　（３）　　　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ　　　　　２∨Ｉ
　　５　　（５）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　　　　４∨Ｉ
　　５　　（７）　　　　　　　Ｑ→Ｐ　　　　　５含意の定義
１　５　　（８）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）　　　　１７＆Ｉ
１　５　　（９）　　　　Ｐ⇔Ｑ　　　　　　　　８Ｄｆ.⇔
１　５　　（ア）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ　　　　　９∨Ｉ
１　　　　（イ）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ　　　　　２３４５ア∨Ｅ
　　　ウ　（ウ）　　　（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　Ａ
　　　ウ　（エ）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ウ∨Ｉ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｑ　　　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　カ含意の定義
　　　　オ（ク）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　キ∨Ｉ
１　　　　（ケ）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　イウエオク∨Ｅ
（ⅳ）
１　　（１）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ　　Ａ
　２　（２）　　　　Ｐ⇔Ｑ　　　　　Ａ
　２　（３）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）　２Ｄｆ．⇔
　２　（４）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３＆Ｅ
　　５（５）　　　　　　　　　Ｑ　　Ａ
　　５（６）　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　５∨Ｉ
　　５（７）　　　　　　　Ｐ→Ｑ　　６含意の定義
１　　（８）　Ｐ→Ｑ　　　　　　　　１２４５７∨Ｅ
従って、
（08）により、
（09）
果たして、
「ＴＩ（定理導入の規則：排中律）」により、
③  Ｐ→Ｑ
④（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
ｃｆ.
（ⅰ）
③ 真→真
④ 真∨｛（真→真）＆（真→真）｝
∴ ③＝④ である。
（ⅱ）
③ 真→偽
④ 偽∨｛（真→偽）＆（偽→真）｝
∴ ③＝④ である。
（ⅲ）
③ 偽→真
④ 真∨｛（偽→真）＆（真→偽）｝
∴ ③＝④ である。
（ⅳ）
③ 偽→偽
④ 偽∨｛（偽→偽）＆（偽→偽）｝
∴ ③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
「ＴＩ（定理導入の規則：排中律）」により、
③ Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ
といふ「連式（Sequent）」は「妥当」でなければ、ならない。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１　　　　（１）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　　（２）　　　　Ｑ∨～Ｑ　　　　　　　ＴＩ（定理導入の規則：排中律）
　３　　　（３）　　　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ　　　　　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　　　　～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　　　　４∨Ｉ
　　５　　（７）　　　　　　　Ｑ→Ｐ　　　　　５含意の定義
１　５　　（８）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）　　　　１７＆Ｉ
１　５　　（９）　　　　Ｐ⇔Ｑ　　　　　　　　８Ｄｆ.⇔
１　５　　（ア）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ　　　　　９∨Ｉ
１　　　　（イ）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨Ｑ　　　　　２３４５ア∨Ｅ
　　  ウ　（ウ）　　　（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　Ａ
      ウ　（エ）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　ウ∨Ｉ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｑ　　　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　カ含意の定義
　　　　オ（ク）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　キ∨Ｉ
１　　　　（ケ）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　イウエオク∨Ｅ
（ⅳ）
１　　　　（１）　　　（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）　Ａ
　２　　　（２）　　　（Ｐ⇔Ｑ）　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）　　　　２Ｄｆ．⇔
　２　　　（４）（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　５　　（５）　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　Ａ
１　　　　（６）（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　　　　１２４５５∨Ｅ
従って、
（11）により、
（12）
「ＴＩ（定理導入の規則：排中律）」により、
③  Ｐ→Ｑ
④（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（12）により、
（13）
「ＴＩ（定理導入の規則：排中律）」により、
④ Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式（Sequent）」は「妥当」である。
従って、
（10）（13）により、
（14）
「ＴＩ（定理導入の規則：排中律）」により、
③ Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ⇔Ｑ）∨（　　Ｑ）
④ Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ⇔Ｑ）∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
「Ｄｆ．⇔」により、
③ Ｐ→Ｑ ┤├｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝∨（　　Ｑ）
④ Ｐ→Ｑ ┤├｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝∨（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
然るに、
（15）により、
（16）
③ は、ともかく、として、
④ の場合は、
④（ＰならばＱである）は、｛（ＰならばＱである）＆（ＱならばＰである）｝か、または、（ＰならばＱである）。
といふ風に、解することが、出来る。
従って、
（15）（16）により、
（17）
④ Ｐ→Ｑ ┤├｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝∨（Ｐ→Ｑ）
の場合は、
④（ＰはＱである）は、（ＰはＱである）か、または、｛（ＰはＱである）＆（ＱはＰである）｝。
といふ風に、解することが、出来る。
従って、
（17）により、
（18）
④ Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ→Ｑ）∨｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝
といふ「連式」は、
④（ＰはＱである）といふ「日本語」には、「逆が真でない」場合と、「さうでない」場合が有る。
といふことを、示してゐる。
といふ風に、解することが、出来る。
然るに、
（19）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
　理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
　タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（18）（19）により、
（20）
④ Ｐ→Ｑ ┤├（Ｐ→Ｑ）∨｛（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）｝
といふ「連式」は、
④（ＰはＱである）といふ「日本語」には、（ＰはＱである）と、（ＰがＱである）による、「２通り」がある。
といふことを、示してゐる。
といふ風に、解することが、出来る。
令和０２年１２月１３日、毛利太。