「鼻は象が長い」の「述語論理」の「説明」（Ⅳ）。

（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝　Ａ
１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　Ａ
　３　　　（４）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　３＆Ｅ
　３　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ａｂ＆～象ｂ）∨～長ａ　　５含意の定義
　　７　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ａｂ＆～象ｂ）　　　　　　Ａ
　　７　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ∨～～象ｂ　　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～鼻ａｂ　　　　　　　８交換法則
　　７　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～鼻ａｂ　　　　　　　９含意の定義
　　７　　（イ）　　　　　　　　　　　　～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ）　　　　　　ア∨Ｉ
　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　Ａ
　　　ウ　（エ）　　　　　　　　　　　　～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ）　　　　　　ウ∨Ｉ
　３　　　（オ）　　　　　　　　　　　　～長ａ∨（～象ｂ→～鼻ａｂ）　　　　　　３７イウエ∨Ｅ
　３　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　長ａ→（～象ｂ→～鼻ａｂ）　　　　　　オ含意の定義
　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　　　～象ｂ＆長ａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　キ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　長ａ　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ
　３　　キ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～鼻ａｂ　　　　　　　カクＭＰＰ
　　　　キ（コ）　　　　　　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　キ＆Ｅ
　３　　キ（サ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ　　　　　　　ケコＭＰＰ
　３　　　（シ）　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ　　　　　　　キサＣＰ
　３　　　（ス）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ　　３シ＆Ｉ
　３　　　（セ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ａ）→～鼻ａｙ｝　スＥＩ
１　　　　（ソ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ａ）→～鼻ａｙ｝　１３セＥＥ
１　　　　（タ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝　ソＵＩ
（ⅱ）
１　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝　Ａ
１　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ａｙ｝　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ　　Ａ
　３　　　（４）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　３　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ｂ＆長ａ）→～鼻ａｂ　　３＆Ｅ
　３６　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　Ａ
　３６　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～鼻ａｂ　　６ＤＮ
　３６　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　～（～象ｂ＆長ａ）　　　　　　　５７ＭＴＴ
　３６　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　～～象ｂ∨～長ａ　　　　　　　　８ド・モルガンの法則
　３６　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～長ａ　　　　　　　　９含意の定義
　３　　　（イ）　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ→（～象ｂ→～長ａ）　　　　　　　６アＣＰ
　　　ウ　（ウ）　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ＆　～象ｂ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ウ　（エ）　　　　　　　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　３　ウ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ→～長ａ　　　　　　　　イエＭＰＰ
　　　ウ　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　３　ウ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　　　　　　　オカＭＰＰ
　３　　　（ク）　　　　　　　　　　　（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　　　　　　　ウキＣＰ
　３　　　（ケ）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆（鼻ａｂ＆～象ｂ）→～長ａ　　４ク＆Ｉ
　３　　　（コ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝　ケＥＩ
１　　　　（サ）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆（鼻ａｙ＆～象ｙ）→～長ａ｝　１３コＥＥ
１　　　　（シ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝　サＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘは、ｙの鼻でない｝。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
①｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長い。｝といふことは、
①｛ｙ（象）の鼻である所のｘは、長い。｝といふことである。
従って、
（04）
①｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない。｝といふことは、
①｛ｙ（象）以外の鼻である所のｘは、長くない。｝といふことである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
といふことは、
① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
といふことである。
然るに、
（06）
②｛ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘは、ｙの鼻でない。｝
といふことは、
②｛象以外（ｙ）の体で長い部分（ｘ）があるとすれば、鼻以外である。｝
といふことである。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘは、ｙの鼻でない｝。
といふことは、
② 象の鼻は長く、象以外で、長い部分が有るとしたら、鼻以外である。
といふことである。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆長ｘ）→～鼻ｘｙ｝
に於いて、すなはち、
① 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
② 象の鼻は長く、象以外で、長い部分が有るとしたら、鼻以外である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
（ⅰ）｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
（ⅱ）｛兎の耳、象の耳、馬の耳｝
（ⅲ）｛馬の顔、象の顔、兎の顔｝
であるならば、
① 象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くない。
② 象の鼻は長く、象以外（兎や馬）で、長い部分が有るとしたら、鼻以外（耳や顔）である。
然るに、
（10）
（ⅰ）｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
（ⅱ）｛兎の耳、象の耳、馬の耳｝
（ⅲ）｛馬の顔、象の顔、兎の顔｝
であるならば、
（ⅰ）｛鼻は、象が長い。｝
（ⅱ）｛耳は、兎が長い。｝
（ⅲ）｛顔は、馬が長い。｝
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① 鼻は象が長い。⇔
① 象の鼻は長く、象以外（兎や馬）の鼻は長くない。⇔
① ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（鼻ｘｙ＆～象ｙ）→～長ｘ｝⇔
① すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｘがｙの鼻であって、ｙが象でないならば、ｘは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
令和０２年１２月３１日、毛利太。