「甲と乙は犯人ではない。丙が犯人だ。」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）∀ｘ｛（犯人ｘ）→（ｘ＝甲）∨（ｘ＝乙）｝　Ａ
１　　　　（２）　　　（犯人ａ）→（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）　　１ＵＥ
　３　　　（３）　　　（犯人ａ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　　（４）　　　　　　　　　（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）　　２３ＭＰＰ
　　５　　（５）　　　　　　　　　（ａ＝甲）　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　　　　　　～（ａ≠甲）　　　　　　　　５ＤＮ
　　５　　（７）　　　　　　　　～（ａ≠甲）∨（ａ＝乙）　　５∨Ｉ
　　　８　（８）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝乙）　　Ａ
　　　８　（９）　　　　　　　　～（ａ≠甲）∨（ａ＝乙）　　８∨I
１３　　　（ア）　　　　　　　　～（ａ≠甲）∨（ａ＝乙）　　４５７８９∨Ｅ
１３　　　（イ）　　　　　　　　　（ａ≠甲）→（ａ＝乙）　　ア含意の定義
１　　　　（ウ）　　　（犯人ａ）→（ａ≠甲）→（ａ＝乙）　　３イＣＰ
　　　　エ（エ）　　　（犯人ａ）＆（ａ≠甲）　　　　　　　　Ａ
　　　　エ（オ）　　　（犯人ａ）　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
１　　　エ（オ）　　　　　　　　　（ａ≠甲）→（ａ＝乙）　　ウオＭＰＰ
　　　　エ（カ）　　　　　　　　　（ａ≠甲）　　　　　　　　エ＆Ｅ
１　　　エ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝乙）　　オカＭＰＰ
１　　　　（ク）　　　（犯人ａ）＆（ａ≠甲）→（ａ＝乙）　　エキＣＰ
１　　　　（ケ）∀ｘ｛（犯人ｘ）＆（ｘ≠甲）→（ｘ＝乙）　　クＵＩ
（ⅱ）
１　　　　（１）∀ｘ｛（犯人ｘ）＆（ｘ≠甲）→（ｘ＝乙）｝　Ａ
１　　　　（２）　　　（犯人ａ）＆（ａ≠甲）→（ａ＝乙）　　Ａ
　３　　　（３）　　　（犯人ａ）　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　（４）　　　　　　　　　（ａ≠甲）　　　　　　　　Ａ
　３４　　（５）　　　（犯人ａ）＆（ａ≠甲）　　　　　　　　３４＆Ｉ
１３４　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝乙）　　２５ＭＰＰ
１３　　　（７）　　　　　　　　　（ａ≠甲）→（ａ＝乙）　　４６ＣＰ
１３　　　（８）　　　　　　　　～（ａ≠甲）∨（ａ＝乙）　　７含意の定義
　　　９　（９）　　　　　　　　～（ａ≠甲）　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　　　　　　　（ａ＝甲）　　　　　　　　９ＤＮ
　　　９　（イ）　　　　　　　　　（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）　　ア∨Ｉ
　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝乙）　　Ａ
　　　　ウ（エ）　　　　　　　　　（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）　　ウ∨I
１３　　　（オ）　　　　　　　　　（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）　　８９イウエ∨
１　　　　（カ）　　　（犯人ａ）→（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）　　３オＣＰ
１　　　　（キ）∀ｘ｛（犯人ｘ）→（ｘ＝甲）∨（ｘ＝乙）｝　カＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛（犯人ｘ）→（ｘ＝甲）∨（ｘ＝乙）｝
② ∀ｘ｛（犯人ｘ）＆（ｘ≠甲）→（ｘ＝乙）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが犯人であるならば、ｘは甲か、乙である｝。
② すべてのｘについて｛ｘが犯人であって、ｘが甲でないならば、ｘは乙である｝。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１　　　　　　（１）∀ｘ｛（犯人ｘ）→（ｘ＝甲）∨（ｘ＝乙）∨（ｘ＝丙）｝　　Ａ
１　　　　　　（２）　　　（犯人ａ）→（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）∨（ａ＝丙）　　　１ＵＥ
　３　　　　　（３）　　　（犯人ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　　　　（４）　　　　　　　　　（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）∨（ａ＝丙）　　　２３ＭＰＰ
１３　　　　　（５）　　　　　　　｛（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）｝∨（ａ＝丙）　　　４結合法則
　　６　　　　（６）　　　　　　　｛（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）｝　　　　　　　　　Ａ
　　　７　　　（７）　　　　　　　　（ａ＝甲）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　７　　　（８）　　　　　　　～（ａ≠甲）　　　　　　　　　　　　　　　　ＤＮ
　　　７　　　（９）　　　　　 　 ～（ａ≠甲）∨［（ａ≠乙）→（ａ＝丙）］　　８∨Ｉ
　　　　ア　　（ア）　 　　　　　　　　　　 　　　（ａ＝乙） 　 　　　　　　　Ａ
　　　　ア　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　～（ａ≠乙）　　　　　　　　　アＤＮ
　　　　ア　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　～（ａ≠乙）∨（ａ＝丙）　　　イ∨I
　　　　ア　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ≠乙）→（ａ＝丙）　　　ウ含意の定義
　　　　ア　　（オ）　　　　　　　～（ａ≠甲）∨［（ａ≠乙）→（ａ＝丙）］　　エ∨I
　　６　　　　（カ）　　　　　　　～（ａ≠甲）∨［（ａ≠乙）→（ａ＝丙）］　　６７９アオ∨Ｅ
　　６　　　　（キ）　　　　　　　　（ａ≠甲）→［（ａ≠乙）→（ａ＝丙）］　　カ含意の定義
　　　　　ク　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝乙）　　　Ａ
　　　　　ク　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　～（ａ≠乙）∨（ａ＝乙）　　　ク∨Ｉ
　　　　　ク　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ≠乙）→（ａ＝乙）　　　コ含意の定義
　　　　　ク　（サ）　　　　　　　～（ａ≠甲）∨［（ａ≠乙）→（ａ＝丙）］　　サ∨I
　　　　　ク　（シ）　　　　　　　　（ａ≠甲）→［（ａ≠乙）→（ａ＝丙）］　　シ含意の定義
１３　　　　　（ス）　　　　　　　　（ａ≠甲）→［（ａ≠乙）→（ａ＝丙）］　　５６キクス∨Ｉ
１　　　　　　（セ）　（犯人ａ）→｛（ａ≠甲）→［（ａ≠乙）→（ａ＝丙）］｝　３スＣＰ
　　　　　　ソ（ソ）　（犯人ａ）＆　（ａ≠甲）＆　（ａ≠乙）　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　ソ（タ）　（犯人ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ソ＆Ｅ
　　　　　　ソ（チ）　　　　　　　　（ａ≠甲）　　　　　　　　　　　　　　　　ソ＆Ｅ
　　　　　　ソ（ツ）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ≠乙）　　　　　　　　　ソ＆Ｅ
１　　　　　ソ（テ）　　　　　　　　（ａ≠甲）→［（ａ≠乙）→（ａ＝丙）］　　セタＭＰＰ
１　　　　　ソ（ト）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ≠乙）→（ａ＝丙）　　　チテＭＰＰ
１　　　　　ソ（ナ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝丙）　　　ツトＭＰＰ
１　　　　　　（ニ）　　　（犯人ａ）＆（ａ≠甲）＆（ａ≠乙）→（ａ＝丙）　　　ソナＣＰ
１　　　　　　（ヌ）∀ｘ｛（犯人ｘ）＆（ｘ≠甲）＆（ｘ≠乙）→（ｘ＝丙）｝　　ニＵＩ
（ⅳ）
１　　　　　（１）∀ｘ｛（犯人ｘ）＆（ｘ≠甲）＆（ｘ≠乙）→（ｘ＝丙）｝　　Ａ
１　　　　　（２）　　　（犯人ａ）＆（ａ≠甲）＆（ａ≠乙）→（ａ＝丙）　　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　（犯人ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　４　　　（４）　　　　　　　　　（ａ≠甲）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ≠乙）　　　　　　　　　Ａ
　３４　　　（６）　　　（犯人ａ）＆（ａ≠甲）　　　　　　　　　　　　　　　３４＆Ｉ
　３４５　　（７）　　　（犯人ａ）＆（ａ≠甲）＆（ａ≠乙）　　　　　　　　　５６＆Ｉ
１３４５　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝丙）　　　２７ＭＰＰ
１３４　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ≠乙）→（ａ＝丙）　　　５８ＣＰ
　　　　ア　（ア）　　　　　　　　　　　　　　～（ａ＝乙）　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ≠乙）　　　　　　　　　Ｄｆ.≠
１３４　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝丙）　　　９イＭＰＰ
１３４　　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　～（ａ＝乙）→（ａ＝丙）　　　アウＣＰ
１３４　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　（ａ＝乙）∨（ａ＝丙）　　　エ含意の定義
１３　　　　（カ）　　　　　　　　（ａ≠甲）→［（ａ＝乙）∨（ａ＝丙）］　　４オＣＰ
　　　　　キ（キ）　　　　　　　～（ａ＝甲）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　キ（ク）　　　　　　　　（ａ≠甲）　　　　　　　　　　　　　　　　クＤｆ.≠
１３　　　キ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　［（ａ＝乙）∨（ａ＝丙）］　　カクＭＰＰ
１３　　　　（コ）　　　　　　　～（ａ＝甲）→［（ａ＝乙）∨（ａ＝丙）］　　キケＣＰ
１３　　　　（サ）　　　　　　　　（ａ＝甲）∨［（ａ＝乙）∨（ａ＝丙）］　　コ含意の定義
１３　　　　（シ）　　　　　　　　（ａ＝甲）∨　（ａ＝乙）∨（ａ＝丙）　　　サ結合法則
１　　　　　（ス）　　　（犯人ａ）→（ａ＝甲）∨（ａ＝乙）∨（ａ＝丙）　　　３シＣＰ
１　　　　　（セ）∀ｘ｛（犯人ｘ）→（ｘ＝甲）∨（ｘ＝乙）∨（ｘ＝丙）｝　　スＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
③ ∀ｘ｛（犯人ｘ）→（ｘ＝甲）∨（ｘ＝乙）∨（ｘ＝丙）｝
④ ∀ｘ｛（犯人ｘ）＆（ｘ≠甲）＆（ｘ≠乙）→（ｘ＝丙）｝
に於いて、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘが犯人であるならば、ｘは甲か、乙か、丙である｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが犯人であって、ｘが甲でなく、ｘが乙でもないならば、ｘは丙である｝。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛（犯人ｘ）→（ｘ＝甲）∨（ｘ＝乙）｝
② ∀ｘ｛（犯人ｘ）＆（ｘ≠甲）→（ｘ＝乙）｝
③ ∀ｘ｛（犯人ｘ）→（ｘ＝甲）∨（ｘ＝乙）∨（ｘ＝丙）｝
④ ∀ｘ｛（犯人ｘ）＆（ｘ≠甲）＆（ｘ≠乙）→（ｘ＝丙）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが犯人であるならば、ｘは甲か、乙である｝。
② すべてのｘについて｛ｘが犯人であって、ｘが甲でないならば、ｘは乙である｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが犯人であるならば、ｘは甲か、乙か、丙である｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが犯人であって、ｘが甲でなく、ｘが乙でもないならば、ｘは丙である｝。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
｛容疑者｝の中から、「犯人自身を特定する」ことは、
｛容疑者｝の中から、「犯人以外を特定する」ことによって、「犯人を特定する」ことに「等しい」。
従って、
（07）
①（誰が犯人か、）Ａが犯人である。
②（誰が犯人か、）Ａ以外は犯人ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１　　（１）　～Ａ→～犯人　仮定
　２　（２）　　　　　犯人　仮定
　　３（３）　～Ａ　　　　　仮定
１　３（４）　　　　～犯人　１３ＭＰＰ
１２３（５）　犯人＆～犯人　２４＆Ｉ
１２　（６）～～Ａ　　　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　Ａ　　　　　６ＤＮ
１　　（８）　犯人→Ａ　　　２７ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　犯人→Ａ　　　仮定
　２　（２）　　　～Ａ　　　仮定
　　３（３）　犯人　　　　　仮定
１　３（４）　　　　Ａ　　　１３ＭＰＰ
１２３（５）　～Ａ＆Ａ　　　２４＆Ｉ
１２　（６）～犯人　　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ａ→～犯人　　２３ＣＰ
従って、
（08）により、
（09）
② ～Ａ→～犯人≡Ａでないならば、犯人でない。
③ 犯人→　Ａ  ≡犯人であるならば、Ａである。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（07）（08）（09）により、
（10）
①（誰が犯人か、）Ａが犯人である。
②（誰が犯人か、）Ａ以外は犯人ではない。
③（犯人は誰か、）犯人はＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（11）
（３）　未知と既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
　私が大野です。
これは、「大野さんはどちらですか」というような問いに対する答えとして使われる。つまり文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。その未知の対象を「私」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
　大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、３４頁）。
従って、
（11）により、
（12）
　私＝Ａ
大野＝犯人
といふ「代入（Substitution）」を行ふと
（３）　未知と既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
　Ａが犯人である。
これは、「犯人は誰か」というような問いに対する答えとして使われる。つまり文脈において、「犯人」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。その未知の対象を「Ａ」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
　犯人はＡです。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる。
然るに、
（13）
「犯人は誰か」というような問いに対する答えとして使われる。
つまり文脈において、「犯人」なる人物はすでに登場していて「既知」である。
といふ「言ひ方」は、『変』である。
（14）
文脈において、「犯人」なる人物はすでに登場していて「既知」である。
とは言ふものの、
「犯人は誰か」といふ「問ひ」が為される以上、「（犯人は）既知」ではなく、「（犯人は）未知」であると、すべきである。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて「既知」である。
とは言ふものの、
「大野さんは誰ですか」といふ「問ひ」が為される以上、「（大野は）既知」ではなく、「（大野は）未知」であると、すべきである。
令和０２年１２月０９日、毛利太。