（01）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
（03）
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
～Ｐ∨～Ｑ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（03）により、
（04）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである）といふことはない。
② ～Ｐ∨～Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでない。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（04）により、
（05）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① Ｐ＆ Ｑ ≡ Ｐであって、その上、Ｑである。
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでない。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）～｛ （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ ２ド・モルガンの法則
（ⅲ）
１（１） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ｝ １ド・モルガンの法則
１（３）～｛ （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ｝ ２含意の定義
（07）
（ⅱ）
１（１）～｛ （Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→ Ｓ｝
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）∨ Ｓ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）＆～Ｓ ２ド・モルガンの法則
（ⅳ）
１（１） （Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）＆～Ｓ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）∨ Ｓ｝ １ド・モルガンの法則
１（３）～｛ （Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→ Ｓ｝ ２含意の定義
従って、
（06）（07）により、
（08）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
の「否定」は、それぞれ、
③（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）＆～Ｓ
である。
従って、
（08）により、
（09）
Ｒ＝Ｐ
Ｓ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
の「否定」は、それぞれ、
③（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ
④（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）＆～Ｐ
である。
従って、
（09）により、
（10）
「交換法則・結合法則」により、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
の「否定」は、それぞれ、
③（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
④（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ＆Ｒ
である。
従って、
（10）により、
（11）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
の「否定」は、それぞれ、
③（矛盾）＆Ｑ
④（矛盾）＆Ｑ＆Ｒ
である。
然るに、
（12）
③（矛盾）＆Ｑ
④（矛盾）＆Ｑ＆Ｒ
は、両方とも、「偽」である。
然るに、
（13）
「否定」をした「結果」が「偽」である。
といふことは、
「否定」をしなければ、 「真」である。
といふことに、他ならない。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
は、「真」でなければ、ならない。
然るに、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
といふことは、「日本語」で言ふと、
①（ＰであってＱである）ならばＰである。
②（ＰであってＱであってＲである）ならばＰである。
といふことである。
然るに、
（16）
①（ＰであってＱである）ならばＰである。
②（ＰであってＱであってＲである）ならばＰである。
は、明らかに、「真」である。
然るに、
（17）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４）（Ｐ＆Ｑ） ２３＆Ｉ
１２３（５） Ｒ １４ＣＰ
１２ （６） Ｑ→Ｒ ３５ＣＰ
１ （７）Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２６ＣＰ
（18）
（ⅲ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３ （３） Ｑ Ａ
４（４） Ｒ Ａ
２３ （５） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
２３４（６） Ｐ＆Ｑ＆Ｒ ４５＆Ｉ
１２３４（７） Ｓ １６ＣＰ
１２３ （８） Ｒ→Ｓ ４７ＣＰ
１２ （９） Ｑ→（Ｒ→Ｓ） ３８ＣＰ
１ （ア）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ）） ２９ＣＰ
（ⅳ）
１ （１）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ）） Ａ
２ （２）Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （３）Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ→（Ｒ→Ｓ） １３ＭＰＰ
２ （５） Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｒ→Ｓ ４５ＭＰＰ
２ （７） Ｒ ２＆Ｅ
１２ （８） Ｓ ６７ＭＰＰ
１ （９）（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ ２８ＣＰ
従って、
（17）（18）により、
（19）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
② Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｓ
④ Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｓ））
に於いて、
①＝② である（移出律と移入律）。
③＝④ である（移出律と移入律）。
従って、
（19）により、
（20）
Ｒ＝Ｐ
Ｓ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ひ、「番号」を付け直すと、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
②（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）→Ｐ
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
④ Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｐ））
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ であって、尚且つ、因みに、
③ は、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」である。
従って、
（20）により、
（21）
①（ＰであってＱである）ならばＰである。
②（ＰであってＱであってＲである）ならばＰである。
③ Ｐならば（ＱならばＰである）。
④ Ｐならば（Ｑならば（ＲならばＰである））。
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
然るに、
（22）
（ⅲ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（ⅳ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２） ～Ｒ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） ～Ｑ∨（～Ｒ∨Ｐ） ２∨Ｉ
１（４） Ｑ→（～Ｒ∨Ｐ） ３含意の定義
１（５） Ｑ→（Ｒ→Ｐ） ４含意の定義
（６）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→Ｐ）） １５ＣＰ
（ⅴ）
１（１）Ｐ Ａ
１（２） ～Ｓ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） ～Ｒ∨（～Ｓ∨Ｐ） ２∨Ｉ
１（４）～Ｑ∨（～Ｒ∨（～Ｓ∨Ｐ）） ３∨Ｉ
１（５） Ｑ→（～Ｒ∨（～Ｓ∨Ｐ）） ４含意の定義
１（６） Ｑ→（Ｒ→（～Ｓ∨Ｐ）） ５含意の定義
１（７） Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→Ｐ）） ６含意の定義
（８）Ｐ→（Ｑ→（Ｒ→（Ｓ→Ｐ））） １７ＣＰ
従って、
（21）（22）により、
（23）
「番号」を付け直すと、
①（ＰであってＱである）ならばＰである。
②（ＰであってＱであってＲである）ならばＰである。
③（ＰであってＱであってＲであってＳである）ならばＰである。
④ Ｐならば（ＱならばＰである）。
⑤ Ｐならば（Ｑならば（ＲならばＰである））。
⑥ Ｐならば（Ｑならば（Ｒならば（ＳならばＰである）））。
に於いて、
①＝④ であって、
②＝⑤ であって、
③＝④ である。
従って、
（24）
①（Ｐ＆ Ｑ）→Ｐ≡（ＰであってＱである）ならば、Ｐである。
とは言ふものの、
①（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ≡（ＰであってＱでない）としてもＰである。
従って、
（20）（24）により、
（25）
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
④ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
に於いて、
①＝④ である以上、
①（Ｐ＆Ｑ）→Ｐ ≡（ＰであってＱであるか、Ｑでない）ならば、Ｐである。
④ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡（Ｐならば、ＱであらうとＱでなからうと）、Ｐである。
といふ、ことになって、
④ は、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）」である。
令和０３年０４月０６日、毛利太。
2021年4月6日火曜日
「象鼻文」と「述語論理」と「京都大学文学部・矢田部俊介・論理学、第一回（YouTube）」。
―「昨日の記事（令和０３年０４月０５日）」を書き直します。―
（01）
京都大学文学部・矢田部俊介先生、曰く、
（１）「歩く」といふ「人間の行為」を「理解」するためには、「歩行が可能な、ロボット」を作ってみればよく、同様に、
（２）「推論」といふ「人間の行為」を「理解」するためには、「推論が可能な、コンピュータのプログラム」を書いてみればよい。然るに、
（３）「推論をシュミレートするコンピュータのプログラム」は、ゲンツェンに由来する所の、「述語計算（自然演繹）」に基づいて、書かれることになる。
（ｃｆ.京都大学文学部・矢田部俊介・論理学、前期第01回授業（YouTube）、開始から約５１分後から６４分後）
然るに、
（02）
命題計算の規則は、本質的にゲンツェン（G.Gentzen）」に由来するものである。― 中略 ―、述語計算の規則もゲンツェンに由来するものである。
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、序ⅲ改）
然るに、
（03）
次の「述語計算」は、「E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳」を学習した人間（私）によって、書かれてゐる。
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ カクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。 然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「述語論理」として、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。と、「人間」が「思ひ」、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」を、「コンピュータ」が「計算」するのであれば、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
ではなく、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
とするならば、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論」は、成立しない。
然るに、
（08）
次（09）に示す通り、沢田充茂 先生が、所謂、
（ⅰ）象は鼻が長い。
といふ「それ」は、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
（〃）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長い｝。
であって、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
（〃）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
ではない。
（09）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
山崎紀美子 先生も、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」を、「是認」しない。
然るに、
（11）
つまり沢田氏によれば、「象は鼻が長い」というのは合理的な省略を行った言語表現であり、そこには明確な論理構造がある、ということです。三上はこれを文型として登録すべきであると、主張しています。
象をＡに、鼻をＢに、長いをＣに変え、文型の公式として、
Ａは、ＢがＣだ。
を作っておきます。すると、この公式に当てはまる文は、たいてい機械的にパラフレーズできます。
二辺の平方の和が第三辺の平方の和に等しい三角形は、第三辺に対する角が直角である。
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１５頁）
然るに、
（12）
② 二辺の平方の和が第三辺の平方の和に等しい三角形は、第三辺に対する角が直角である。
といふことは、
② 二辺の平方の和が第三辺の平方の和に等しい三角形は、第三辺に対する角は直角であり、その角以外の角は、直角ではない。
といふことに、他ならない。
ｃｆ.
「直角三角形に於ける、直角は、一つしか無い。」
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
「象鼻文」の生みの親である、三上章先生 自身も、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」を、「是認」しない。
従って、
（06）～（13）により、
（14）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。
ではなく、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。
であるならば、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「結論」にはならない、が故に、
「三上章 先生」が所謂、「象は鼻が長い（象鼻文）。」を「是認」する限り、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」を、「コンピュータ」で、「シュミレート」することは、出来ない。
従って、
（01）（14）により、
（15）
（１）「歩く」といふ「人間の行為」を「理解」するためには、「歩行が可能な、ロボット」を作ってみればよく、同様に、
（２）「推論」といふ「人間の行為」を「理解」するためには、「推論が可能な、コンピュータのプログラム」を書いてみればよい。
といふ「立場」からすると、「三上文法」の「象鼻文」は、「正しくはない」。
令和０３年０４月０６日、毛利太。
（01）
京都大学文学部・矢田部俊介先生、曰く、
（１）「歩く」といふ「人間の行為」を「理解」するためには、「歩行が可能な、ロボット」を作ってみればよく、同様に、
（２）「推論」といふ「人間の行為」を「理解」するためには、「推論が可能な、コンピュータのプログラム」を書いてみればよい。然るに、
（３）「推論をシュミレートするコンピュータのプログラム」は、ゲンツェンに由来する所の、「述語計算（自然演繹）」に基づいて、書かれることになる。
（ｃｆ.京都大学文学部・矢田部俊介・論理学、前期第01回授業（YouTube）、開始から約５１分後から６４分後）
然るに、
（02）
命題計算の規則は、本質的にゲンツェン（G.Gentzen）」に由来するものである。― 中略 ―、述語計算の規則もゲンツェンに由来するものである。
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、序ⅲ改）
然るに、
（03）
次の「述語計算」は、「E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳」を学習した人間（私）によって、書かれてゐる。
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ カクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。 然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「述語論理」として、「妥当」である。
然るに、
（05）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。と、「人間」が「思ひ」、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」を、「コンピュータ」が「計算」するのであれば、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（07）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
ではなく、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
とするならば、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論」は、成立しない。
然るに、
（08）
次（09）に示す通り、沢田充茂 先生が、所謂、
（ⅰ）象は鼻が長い。
といふ「それ」は、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
（〃）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長い｝。
であって、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
（〃）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
ではない。
（09）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
山崎紀美子 先生も、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」を、「是認」しない。
然るに、
（11）
つまり沢田氏によれば、「象は鼻が長い」というのは合理的な省略を行った言語表現であり、そこには明確な論理構造がある、ということです。三上はこれを文型として登録すべきであると、主張しています。
象をＡに、鼻をＢに、長いをＣに変え、文型の公式として、
Ａは、ＢがＣだ。
を作っておきます。すると、この公式に当てはまる文は、たいてい機械的にパラフレーズできます。
二辺の平方の和が第三辺の平方の和に等しい三角形は、第三辺に対する角が直角である。
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１５頁）
然るに、
（12）
② 二辺の平方の和が第三辺の平方の和に等しい三角形は、第三辺に対する角が直角である。
といふことは、
② 二辺の平方の和が第三辺の平方の和に等しい三角形は、第三辺に対する角は直角であり、その角以外の角は、直角ではない。
といふことに、他ならない。
ｃｆ.
「直角三角形に於ける、直角は、一つしか無い。」
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
「象鼻文」の生みの親である、三上章先生 自身も、
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。
といふ「等式」を、「是認」しない。
従って、
（06）～（13）により、
（14）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。
ではなく、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。
であるならば、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「結論」にはならない、が故に、
「三上章 先生」が所謂、「象は鼻が長い（象鼻文）。」を「是認」する限り、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」を、「コンピュータ」で、「シュミレート」することは、出来ない。
従って、
（01）（14）により、
（15）
（１）「歩く」といふ「人間の行為」を「理解」するためには、「歩行が可能な、ロボット」を作ってみればよく、同様に、
（２）「推論」といふ「人間の行為」を「理解」するためには、「推論が可能な、コンピュータのプログラム」を書いてみればよい。
といふ「立場」からすると、「三上文法」の「象鼻文」は、「正しくはない」。
令和０３年０４月０６日、毛利太。
2021年4月3日土曜日
「恒真式（トートロジー）」の「２つの定義」について（Ⅱ）。
（01）
―「先程の記事（令和０３年０４月０３日）」でも書いた通り、―
（α）「Ａから、Ｂが、導出される」のであれば、「Ａ→Ｂ（ＡならばＢである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（β）「Ａを否定すると、矛盾が生じる」のであれば、「Ａ（Ａである。）」は、 「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（02）
（α）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（β）
１（１）～（ Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）） Ａ
１（２）～（～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ）） １含意の定義
１（３）～（～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ）） １含意の定義
１（４） Ｐ＆～（～Ｑ∨Ｐ） ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～（～Ｑ∨Ｐ） ４＆Ｅ
１（７） Ｑ＆～Ｐ ６＆Ｉ
１（８） ～Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｐ＆～Ｐ ５８＆Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（α）（β）により、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）：ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
（04）
（α）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） １８ＣＰ
（β）
１（１）～（ （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→ （（Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→ Ｒ））） Ａ
１（２）～（～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨ （（Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→ Ｒ））） １含意の定義
１（３） （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））＆～（（Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→ Ｒ）） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ３＆Ｅ
１（５） ～（（Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→ Ｒ）） ３＆Ｅ
１（６） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨ （Ｐ→ Ｒ） ５含意の定義
１（７） （Ｐ→Ｑ）＆～（Ｐ→ Ｒ） ６ド・モルガンの法則
１（８） （Ｐ→Ｑ） ７＆Ｅ
１（９） ～（Ｐ→ Ｒ） ７＆Ｅ
１（ア） ～（～Ｐ∨ Ｒ） ９含意の定義
１（イ） Ｐ＆～Ｒ ア、ド・モルガンの法則
１（ウ） Ｐ イ＆Ｅ
１（エ） ～Ｒ イ＆Ｅ
１（オ） Ｑ→Ｒ ４ウＭＰＰ
１（カ） Ｑ ８ウＭＰＰ
１（キ） Ｒ オカＭＰＰ
１（ク） Ｒ＆～Ｒ エキ＆Ｉ
従って、
（01）（04）により、
（05）
（α）（β）により、
②（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））：ルカジェヴィッツの公理（Ⅱ）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
（06）
（α）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｐ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→ Ｐ ２７ＣＰ
（９）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ） １８ＣＰ
（β）
１（１）～（ （～Ｐ→～Ｑ）→ （Ｑ→ Ｐ）） Ａ
１（２）～（～（～Ｐ→～Ｑ）∨ （Ｑ→ Ｐ）） １含意の定義
１（３） （～Ｐ→～Ｑ）＆～（Ｑ→ Ｐ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｐ→～Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｑ→ Ｐ） ３＆Ｅ
１（６） ～（～Ｑ∨ Ｐ） ５含意の定義
１（７） Ｑ＆～Ｐ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｑ ７＆Ｅ
１（９） ～Ｐ ７＆Ｅ
１（ア） ～Ｑ ４９ＭＰＰ
１（イ） ～Ｑ＆Ｑ ８ア＆Ｉ
従って、
（01）（06）により、
（07）
（α）（β）により、
③（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）：ルカジェヴィッツの公理（Ⅲ）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
である所の、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ）」は、当然ではあるが、「恒真式（トートロジー）」である。
（09）
（α）「Ａから、Ｂが、導出される」のであれば、「Ａ→Ｂ（ＡならばＢである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（β）「Ａを否定すると、矛盾が生じる」のであれば、「Ａ（Ａである。）」は、 「恒真式（トートロジー）」である。
といふのは、
（α）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（β）
１（１）～（ Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）） Ａ
１（２）～（～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ）） １含意の定義
１（３）～（～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ）） １含意の定義
１（４） Ｐ＆～（～Ｑ∨Ｐ） ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～（～Ｑ∨Ｐ） ４＆Ｅ
１（７） Ｑ＆～Ｐ ６＆Ｉ
１（８） ～Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｐ＆～Ｐ ５８＆Ｉ
であれば、
（α）「Ｐから、Ｑ→Ｐが、導出される」ので、 「Ｐ→（Ｑ→Ｐ）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（β）「Ｐ→（Ｑ→Ｐ）を否定すると、矛盾（Ｐ＆～Ｐ）が生じる」ので、「Ｐ→（Ｑ→Ｐ）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことである。
令和０３年０４月０３日、毛利太。
―「先程の記事（令和０３年０４月０３日）」でも書いた通り、―
（α）「Ａから、Ｂが、導出される」のであれば、「Ａ→Ｂ（ＡならばＢである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（β）「Ａを否定すると、矛盾が生じる」のであれば、「Ａ（Ａである。）」は、 「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（02）
（α）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（β）
１（１）～（ Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）） Ａ
１（２）～（～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ）） １含意の定義
１（３）～（～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ）） １含意の定義
１（４） Ｐ＆～（～Ｑ∨Ｐ） ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～（～Ｑ∨Ｐ） ４＆Ｅ
１（７） Ｑ＆～Ｐ ６＆Ｉ
１（８） ～Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｐ＆～Ｐ ５８＆Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（α）（β）により、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）：ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
（04）
（α）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２３（５） Ｑ ２３ＭＰＰ
１２３（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１２ （７） Ｐ→Ｒ ３６ＣＰ
１ （８）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ） ２７ＣＰ
（９）（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）） １８ＣＰ
（β）
１（１）～（ （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→ （（Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→ Ｒ））） Ａ
１（２）～（～（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））∨ （（Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→ Ｒ））） １含意の定義
１（３） （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））＆～（（Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→ Ｒ）） ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ３＆Ｅ
１（５） ～（（Ｐ→Ｑ）→ （Ｐ→ Ｒ）） ３＆Ｅ
１（６） ～（～（Ｐ→Ｑ）∨ （Ｐ→ Ｒ） ５含意の定義
１（７） （Ｐ→Ｑ）＆～（Ｐ→ Ｒ） ６ド・モルガンの法則
１（８） （Ｐ→Ｑ） ７＆Ｅ
１（９） ～（Ｐ→ Ｒ） ７＆Ｅ
１（ア） ～（～Ｐ∨ Ｒ） ９含意の定義
１（イ） Ｐ＆～Ｒ ア、ド・モルガンの法則
１（ウ） Ｐ イ＆Ｅ
１（エ） ～Ｒ イ＆Ｅ
１（オ） Ｑ→Ｒ ４ウＭＰＰ
１（カ） Ｑ ８ウＭＰＰ
１（キ） Ｒ オカＭＰＰ
１（ク） Ｒ＆～Ｒ エキ＆Ｉ
従って、
（01）（04）により、
（05）
（α）（β）により、
②（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））：ルカジェヴィッツの公理（Ⅱ）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
（06）
（α）
１ （１） ～Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｑ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
１ ３（４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｑ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｐ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｑ→ Ｐ ２７ＣＰ
（９）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ） １８ＣＰ
（β）
１（１）～（ （～Ｐ→～Ｑ）→ （Ｑ→ Ｐ）） Ａ
１（２）～（～（～Ｐ→～Ｑ）∨ （Ｑ→ Ｐ）） １含意の定義
１（３） （～Ｐ→～Ｑ）＆～（Ｑ→ Ｐ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｐ→～Ｑ ３＆Ｅ
１（５） ～（Ｑ→ Ｐ） ３＆Ｅ
１（６） ～（～Ｑ∨ Ｐ） ５含意の定義
１（７） Ｑ＆～Ｐ ６ド・モルガンの法則
１（８） Ｑ ７＆Ｅ
１（９） ～Ｐ ７＆Ｅ
１（ア） ～Ｑ ４９ＭＰＰ
１（イ） ～Ｑ＆Ｑ ８ア＆Ｉ
従って、
（01）（06）により、
（07）
（α）（β）により、
③（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）：ルカジェヴィッツの公理（Ⅲ）
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
② （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））
③（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
である所の、「ルカジェヴィッツの公理（Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ）」は、当然ではあるが、「恒真式（トートロジー）」である。
（09）
（α）「Ａから、Ｂが、導出される」のであれば、「Ａ→Ｂ（ＡならばＢである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（β）「Ａを否定すると、矛盾が生じる」のであれば、「Ａ（Ａである。）」は、 「恒真式（トートロジー）」である。
といふのは、
（α）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
（β）
１（１）～（ Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）） Ａ
１（２）～（～Ｐ∨（ Ｑ→Ｐ）） １含意の定義
１（３）～（～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｐ）） １含意の定義
１（４） Ｐ＆～（～Ｑ∨Ｐ） ３ド・モルガンの法則
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） ～（～Ｑ∨Ｐ） ４＆Ｅ
１（７） Ｑ＆～Ｐ ６＆Ｉ
１（８） ～Ｐ ７＆Ｅ
１（９） Ｐ＆～Ｐ ５８＆Ｉ
であれば、
（α）「Ｐから、Ｑ→Ｐが、導出される」ので、 「Ｐ→（Ｑ→Ｐ）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（β）「Ｐ→（Ｑ→Ｐ）を否定すると、矛盾（Ｐ＆～Ｐ）が生じる」ので、「Ｐ→（Ｑ→Ｐ）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことである。
令和０３年０４月０３日、毛利太。
「恒真式（トートロジー）」の「２つの定義」について。
（01）
①（土曜なので、休日である。）
といふことは、
② 土曜ならば、休日である。（土曜である。故に、休日である。）
といふことに、他ならない。
従って、
（01）により、
（02）
①（ＰなのでＱである。）
といふことは、
② ＰならばＱである。（Ｐである。故に、Ｑである。）
といふことに、他ならない。
従って、
（02）により、
（03）
「記号」で書くと、
① Ｐ├ Ｑ
といふことは、
② Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
に於ける、
② Ｐ→Ｑ
が「省略」されてゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ＆Ｑ├ Ｑ
といふことは、
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ，Ｐ＆Ｑ├ Ｑ
に於ける、
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ
が「省略」されてゐる。
といふことに、他ならない。
然るに、
（05）
１（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
といふ「計算」は、
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｑ １２ＣＰ
といふ「行」を、加へることが出来る。
従って、
（04）（05）により、
（06）
１（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｑ １２ＣＰ
に於ける、
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｑ １２ＣＰ
といふ「行」は、「真」であって、この場合は、特に、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
に於ける、
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
といふ行は、「真」であるものの、これこそ、「恒真式（同一律）」そのものである。
従って、、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ→Ｐ（同一律）
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ（連言除去）
は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ １２ＣＰ
（ⅲ）
１（１） （Ｐ→Ｑ）＆Ｐ Ａ
１（２） Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
（５）（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ １４ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（08）（09）により、
（10）
① Ｐ→Ｐ（同一律）
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ（連言除去）
③（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ（肯定肯定式）
④（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ（パースの法則）
は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① Ｐ→Ｐ（同一律）
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ（連言除去）
③（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ（肯定肯定式）
④（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ（パースの法則）
は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」である。が、
これらが、さうであるやうに、
「Ａから、Ｂが、導出される」のであれば、
「Ａ→Ｂ（ＡならばＢである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
⑤ ～（Ｐ＆～Ｐ）
⑤（Ｐであって、Ｐでない）といふことはない。
といふ「命題」、すなはち、「矛盾律」も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
⑤ ～（Ｐ＆～Ｐ）
⑤（Ｐであって、Ｐでない）といふことはない。
の「否定」は、「二重否定律（ＤＮ）」により、
⑤（Ｐ＆～Ｐ）
⑤（Ｐであって、Ｐでない。）
である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
「Ａを否定すると、矛盾が生じる」のであれば、
「Ａ（Ａである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
① Ｐ→Ｐ（同一律）
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ（連言除去）
③（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ（肯定肯定式）
④（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ（パースの法則）
は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」である。が故に、それらの「否定」である、
① ～（Ｐ→Ｐ）
② ～（Ｐ＆Ｑ→Ｑ）
③ ～（（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ）
④ ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
は、４つとも、「矛盾（Contradiction）」でなければ、ならない。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１（１）～（ Ｐ→Ｐ） Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｐ） １含意の定義
１（３） Ｐ＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
（ⅱ）
１（１） ～（Ｐ＆Ｑ → Ｑ） Ａ
１（２）～（～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｑ） １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｑ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ） ３結合法則
１（５） Ｑ＆～Ｑ ４＆Ｅ
（ⅲ）
１（１） ～（（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→ Ｑ） Ａ
１（２）～（～（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）∨ Ｑ） １含意の定義
１（３） （（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）＆～Ｑ ２ド・モルガンの法則
１（４） （Ｐ→Ｑ）＆Ｐ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ→Ｑ ４＆Ｅ
１（６） Ｐ ４＆Ｅ
１（７） Ｑ ５６ＭＰＰ
１（８） ～Ｑ ３＆Ｅ
１（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１）～（ （ （ Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ
１ （２）～（～（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨ Ｐ） １含意の定義
１ （３）～（～（～（ Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ） １含意の定義
１ （４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ） １含意の定義
１ （５） （ （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） ４ド・モルガンの法則
１ （６） （ （ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） ５ド・モルガンの法則
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６＆Ｅ
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
１ （ア） ～Ｐ ６＆Ｅ
１８ （イ） Ｐ＆～Ｐ ９ア＆Ｉ
９（ウ） Ｐ Ａ
１ ９（エ） Ｐ＆～Ｐ アウ＆Ｉ
１ （オ） Ｐ＆～Ｐ ７８イ９エ∨Ｅ
従って、
（15）（16）により、
（17）
果たして、
① ～（Ｐ→Ｐ）
② ～（Ｐ＆Ｑ→Ｑ）
③ ～（（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ）
④ ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
は、４つとも、「矛盾」である。
従って、
（01）～（17）により、
（18）
「結論」として、
（ⅰ）「Ａから、Ｂが、導出される」のであれば、「Ａ→Ｂ（ＡならばＢである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「Ａを否定すると、矛盾が生じる」のであれば、「Ａ（Ａである。）」は、 「恒真式（トートロジー）」である。
といふことになって、この「２つ」が、「恒真式（トートロジー）の定義」である。
然るに、
（19）
ｇｏｏ辞書
トートロジー【tautology】 の解説
１ 同語反復。
２ 命題論理で、要素となる命題の真偽がいかなるものであっても、常に真となるような論理式。恒真式。
ウィキペディア
トートロジー（英語：tautology, ギリシャ語：ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから）とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される。関連した概念に冗語があり、しばしば同じ意味で使われることもある。また、撞着語法はトートロジーの反対の技法である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
（ⅰ）「Ａから、Ｂが、導出される」のであれば、「Ａ→Ｂ（ＡならばＢである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「Ａを否定すると、矛盾が生じる」のであれば、「Ａ（Ａである。）」は、 「恒真式（トートロジー）」である。
といふ「定義」は、「一般的」ではないため、「ｇｏｏ辞書」等には載ってゐないし、恐らくは、「論理学の教科書」にも、このやうに、「ハッキリ」とは、書かれてゐない。
令和０３年０４月０３日、毛利太。
①（土曜なので、休日である。）
といふことは、
② 土曜ならば、休日である。（土曜である。故に、休日である。）
といふことに、他ならない。
従って、
（01）により、
（02）
①（ＰなのでＱである。）
といふことは、
② ＰならばＱである。（Ｐである。故に、Ｑである。）
といふことに、他ならない。
従って、
（02）により、
（03）
「記号」で書くと、
① Ｐ├ Ｑ
といふことは、
② Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
に於ける、
② Ｐ→Ｑ
が「省略」されてゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ＆Ｑ├ Ｑ
といふことは、
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ，Ｐ＆Ｑ├ Ｑ
に於ける、
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ
が「省略」されてゐる。
といふことに、他ならない。
然るに、
（05）
１（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
といふ「計算」は、
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｑ １２ＣＰ
といふ「行」を、加へることが出来る。
従って、
（04）（05）により、
（06）
１（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｑ １２ＣＰ
に於ける、
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｑ １２ＣＰ
といふ「行」は、「真」であって、この場合は、特に、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
に於ける、
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
といふ行は、「真」であるものの、これこそ、「恒真式（同一律）」そのものである。
従って、、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ→Ｐ（同一律）
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ（連言除去）
は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１（１）Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２）Ｐ １＆Ｅ
（３）Ｐ＆Ｑ→Ｐ １２ＣＰ
（ⅲ）
１（１） （Ｐ→Ｑ）＆Ｐ Ａ
１（２） Ｐ→Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｐ １＆Ｅ
１（４） Ｑ ２３ＭＰＰ
（５）（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ １４ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（08）（09）により、
（10）
① Ｐ→Ｐ（同一律）
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ（連言除去）
③（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ（肯定肯定式）
④（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ（パースの法則）
は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① Ｐ→Ｐ（同一律）
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ（連言除去）
③（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ（肯定肯定式）
④（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ（パースの法則）
は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」である。が、
これらが、さうであるやうに、
「Ａから、Ｂが、導出される」のであれば、
「Ａ→Ｂ（ＡならばＢである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
⑤ ～（Ｐ＆～Ｐ）
⑤（Ｐであって、Ｐでない）といふことはない。
といふ「命題」、すなはち、「矛盾律」も、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
⑤ ～（Ｐ＆～Ｐ）
⑤（Ｐであって、Ｐでない）といふことはない。
の「否定」は、「二重否定律（ＤＮ）」により、
⑤（Ｐ＆～Ｐ）
⑤（Ｐであって、Ｐでない。）
である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
「Ａを否定すると、矛盾が生じる」のであれば、
「Ａ（Ａである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
① Ｐ→Ｐ（同一律）
② Ｐ＆Ｑ→Ｑ（連言除去）
③（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ（肯定肯定式）
④（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ（パースの法則）
は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」である。が故に、それらの「否定」である、
① ～（Ｐ→Ｐ）
② ～（Ｐ＆Ｑ→Ｑ）
③ ～（（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ）
④ ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
は、４つとも、「矛盾（Contradiction）」でなければ、ならない。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１（１）～（ Ｐ→Ｐ） Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｐ） １含意の定義
１（３） Ｐ＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
（ⅱ）
１（１） ～（Ｐ＆Ｑ → Ｑ） Ａ
１（２）～（～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｑ） １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｑ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆（Ｑ＆～Ｑ） ３結合法則
１（５） Ｑ＆～Ｑ ４＆Ｅ
（ⅲ）
１（１） ～（（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→ Ｑ） Ａ
１（２）～（～（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）∨ Ｑ） １含意の定義
１（３） （（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）＆～Ｑ ２ド・モルガンの法則
１（４） （Ｐ→Ｑ）＆Ｐ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ→Ｑ ４＆Ｅ
１（６） Ｐ ４＆Ｅ
１（７） Ｑ ５６ＭＰＰ
１（８） ～Ｑ ３＆Ｅ
１（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１）～（ （ （ Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→ Ｐ） Ａ
１ （２）～（～（ （ Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨ Ｐ） １含意の定義
１ （３）～（～（～（ Ｐ→Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ） １含意の定義
１ （４）～（～（～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）∨ Ｐ） １含意の定義
１ （５） （ （～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） ４ド・モルガンの法則
１ （６） （ （ （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）＆～Ｐ） ５ド・モルガンの法則
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６＆Ｅ
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
１ （ア） ～Ｐ ６＆Ｅ
１８ （イ） Ｐ＆～Ｐ ９ア＆Ｉ
９（ウ） Ｐ Ａ
１ ９（エ） Ｐ＆～Ｐ アウ＆Ｉ
１ （オ） Ｐ＆～Ｐ ７８イ９エ∨Ｅ
従って、
（15）（16）により、
（17）
果たして、
① ～（Ｐ→Ｐ）
② ～（Ｐ＆Ｑ→Ｑ）
③ ～（（（Ｐ→Ｑ）＆Ｐ）→Ｑ）
④ ～（（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ）
は、４つとも、「矛盾」である。
従って、
（01）～（17）により、
（18）
「結論」として、
（ⅰ）「Ａから、Ｂが、導出される」のであれば、「Ａ→Ｂ（ＡならばＢである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「Ａを否定すると、矛盾が生じる」のであれば、「Ａ（Ａである。）」は、 「恒真式（トートロジー）」である。
といふことになって、この「２つ」が、「恒真式（トートロジー）の定義」である。
然るに、
（19）
ｇｏｏ辞書
トートロジー【tautology】 の解説
１ 同語反復。
２ 命題論理で、要素となる命題の真偽がいかなるものであっても、常に真となるような論理式。恒真式。
ウィキペディア
トートロジー（英語：tautology, ギリシャ語：ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから）とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される。関連した概念に冗語があり、しばしば同じ意味で使われることもある。また、撞着語法はトートロジーの反対の技法である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
（ⅰ）「Ａから、Ｂが、導出される」のであれば、「Ａ→Ｂ（ＡならばＢである。）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
（ⅱ）「Ａを否定すると、矛盾が生じる」のであれば、「Ａ（Ａである。）」は、 「恒真式（トートロジー）」である。
といふ「定義」は、「一般的」ではないため、「ｇｏｏ辞書」等には載ってゐないし、恐らくは、「論理学の教科書」にも、このやうに、「ハッキリ」とは、書かれてゐない。
令和０３年０４月０３日、毛利太。
2021年3月31日水曜日
「論理式」と「漢文訓読」と「括弧（管到）は有ります！」。
（01）
① Ｐ→（Ｑ →Ｒ）
③（Ｐ→ Ｑ）→Ｒ
に於いて、
Ｐ＝偽
Ｑ＝偽
Ｒ＝偽
であるとすると、
① 偽→（偽 →偽）≡ 偽→（真）≡真
③（偽→ 偽）→偽 ≡（真）→偽 ≡偽
であるため、
① は「真」であるが、
③ は「偽」である。
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→（Ｑ →Ｒ）
③（Ｐ→ Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝③ ではない。
従って、
（02）により、
（03）
それぞれの「意味」が変はってしまふため、
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ→Ｑ）→Ｒ
から、「括弧」を除くことは、出来ない。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２（２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５） Ｒ １４ＭＰＰ
１２ （６） Ｑ→ Ｒ ３５ＣＰ
１ （７） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ２６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｒ Ａ
２ （２）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４（４） ～Ｑ Ａ
３４（５） Ｐ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
２３４（６）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
２３ （８） Ｑ ７ＤＮ
２ （９） Ｐ→ Ｑ ３８ＣＰ
１２ （ア） Ｒ １９ＭＰＰ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ ２ア
（ⅳ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （４） Ｐ ３＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ２４ＭＰＰ
３ （６） ～Ｑ ３＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６＆Ｉ
２ （８）～（Ｐ＆～Ｑ） ３７ＲＡＡ
１２ （９） Ｒ １８ＭＰＰ
１ （ア） （Ｐ→ Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ→（Ｑ →Ｒ）
② （Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ
③ （Ｐ→ Ｑ）→Ｒ
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝③ ではなく、それ故、
②＝④ ではない。
従って、
（05）により、
（06）
② （Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（07）
「日本語の語順」に従ふのであれば、
②（Ｐ＆Ｑ ）→ Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（08）
②（Ｐ＆Ｑ ）→ Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」は、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「日本語」に、相当する。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
②（Ｐ＆Ｑ ）→ Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」と、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「日本語」に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（10）
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
ではなくて、
④ Ｐであって（Ｑでない、ではない）ならばＲである。
であると、する。
然るに、
（11）
④（Ｑでない、ではない）
といふことは、「二重否定律（ＤＮ）」により、
④（Ｑである）
に、他ならない。
従って、
（10）（11）により、
（12）
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
ではなくて、
④ Ｐであって（Ｑでない、ではない）ならばＲである。
であると、するならば、
④ Ｐであって（Ｑである）ならばＲである。
といふ「意味」になる。
然るに、
（13）
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④ Ｐであって（Ｑである）ならばＲである。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（09）（13）により、
（14）
②（Ｐ＆Ｑ ）→ Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」と、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「日本語」に於いて、
②＝④ ではない。
にも拘はらず、その一方で、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④ Ｐであって（Ｑである）ならばＲである。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「論理式」と「日本語」から、「括弧」を除くことは、出来ない。
然るに、
（16）
任意の表述の否定は、その表述を、～（ ）という空所にいれて書くことにしよう。：しかし丸括弧はその内部が連言でないかぎり削除しよう（W.O.クワイン 著、杖下隆英 訳、現代論理入門、1972年、１５頁）。
従って、
（06）（16）により、
（17）
任意の表述の否定は、必ず、～（ ）という空所、または、～｛ ｝という空所にいれて書くことにするならば、
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ
といふ風に、書くことになる。
然るに、
（18）
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ
に於いて、
～｛ ｝→｛ ｝～
～（ ）→（ ）～
といふ「移動」を行ふと、
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ⇒
④｛Ｐ＆（Ｑ）～｝ ～→Ｒ＝
④｛Ｐであって（Ｑで）でない｝ではないならばＲである。
といふ「命題論理訓読」が、成立する。
然るに、
（19）
④ 無ニ生而不一レ知則聖人也＝
④ 無｛生而不（知）｝則聖人也。
に於いて、
無｛ ｝→｛ ｝無
不（ ）→（ ）不
といふ「移動」を行ふと、
④ 無｛生而不（知）｝則聖人也⇒
④ ｛生而（知）不｝無則聖人也＝
④ ｛生れながらにして（知ら）不ること｝無くんば則ち聖人なり。
といふ「漢文訓読（は作例）」が、成立する。
然るに、
（20）
しかし、正確さに欠けることはあるにしても、われわれの直観は健全であった。つまり。むやみに括弧が多くなることは我慢できないのである。
採用してもよい自然で実際的な規則は、最も外側の括弧を省略することである。そしていまひとつ、括弧を減らす有効で実際的な方法がある。
結合記号に一定のランクをつけることにしよう（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、５９頁）。
従って、
（20）により、
（21）
「論理式」であっても、「理論上、あるべき括弧」の、そのすべてを、「省略」せずに書いてゐる。といふわけではない。
従って、
（18）～（21）により、
（22）
例へば、
④ 無生而不知則聖人也。
といふ「漢文」に対して、
④ 無ニ生而不一レ知則聖人也。
といふ「返り点」を、加へることは、
例へば、
④ ～Ｐ＆～Ｑ→Ｒ
といふ「論理式」に対して、
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ
といふ「括弧」を付けることに、相当する。
然るに、
（23）
「論理式」には、予め、「必要最低限の括弧」が付いてゐるが、「漢文の原文（白文）」には、「返り点（括弧）」が「全く付いてゐない」。
然るに、
（24）
博士課程後期に六年間在学して訓読が達者になった中国の某君があるとき言った。「自分たちは古典を中国音で音読することができる。しかし、往々にして自ら欺くことがあり、助詞などいいかげんに飛ばして読むことがある。しかし日本式の訓読では、「欲」「将」「当」「謂」などの字が、どこまで管到して（かかって）いるか、どの字から上に返って読むか、一字もいいかげんにできず正確に読まなければならない」と、訓読が一字もいやしくしないことに感心していた。これによれば倉石武四郎氏が、訓読は助詞の類を正確に読まないと非難していたが、それは誤りで、訓読こそ中国音で音読するよりも正確な読み方なのである（原田種成、私の漢文 講義、1995年、２７頁）。
従って、
（23）（24）により、
（25）
「漢文の原文（白文）」には、「返り点（括弧）」が「全く付いてゐない」からと言って、「漢文の原文（白文）」に、「管到（括弧）」が無い。
といふことには、ならない。
然るに、
（26）
しばしばとりあげられる〈語順〉の問題、元来はまっすぐに書かれた漢文に返り点をつけた、転倒しながら読むのは不自然だという考え方、などは、むしろ些少なことにすぎないかもしれない。かえって、語と語との修飾や支配の関係を、まったく構造を異にする日本語という言語と対比させることによって、はっきりとうかびあがらせる効用があるというべきである。
是以、大学始教、必使下学者即二凡天下之物一、 莫上レ不下因二其已知之理一、而益々極レ之、以求上レ至二乎其極一。
そこで大学での始めの教えは、学習者が天下の物すべてについて、彼がすでに知っている理を手がかりとしてますますこれをきわめ、そしてその極点にまで到達することを求めるようにせしめる（原文では、「求めないことはいっさいないように、ぜともせしめる」）のである。
このよう複雑な文章でも、返り点があることによって、簡明直截に文字のかかり方を知ることができる。
① Ｐ→（Ｑ →Ｒ）
③（Ｐ→ Ｑ）→Ｒ
に於いて、
Ｐ＝偽
Ｑ＝偽
Ｒ＝偽
であるとすると、
① 偽→（偽 →偽）≡ 偽→（真）≡真
③（偽→ 偽）→偽 ≡（真）→偽 ≡偽
であるため、
① は「真」であるが、
③ は「偽」である。
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→（Ｑ →Ｒ）
③（Ｐ→ Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝③ ではない。
従って、
（02）により、
（03）
それぞれの「意味」が変はってしまふため、
① Ｐ→（Ｑ→Ｒ）
③（Ｐ→Ｑ）→Ｒ
から、「括弧」を除くことは、出来ない。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） Ａ
２（２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ→Ｒ １３ＭＰＰ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） Ｒ ４５ＭＰＰ
１ （７）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５） Ｒ １４ＭＰＰ
１２ （６） Ｑ→ Ｒ ３５ＣＰ
１ （７） Ｐ→（Ｑ→Ｒ） ２６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｒ Ａ
２ （２）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４（４） ～Ｑ Ａ
３４（５） Ｐ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
２３４（６）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
２３ （８） Ｑ ７ＤＮ
２ （９） Ｐ→ Ｑ ３８ＣＰ
１２ （ア） Ｒ １９ＭＰＰ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ ２ア
（ⅳ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ→ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （４） Ｐ ３＆Ｅ
２３ （５） Ｑ ２４ＭＰＰ
３ （６） ～Ｑ ３＆Ｅ
２３ （７） Ｑ＆～Ｑ ５６＆Ｉ
２ （８）～（Ｐ＆～Ｑ） ３７ＲＡＡ
１２ （９） Ｒ １８ＭＰＰ
１ （ア） （Ｐ→ Ｑ）→Ｒ ２９ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
① Ｐ→（Ｑ →Ｒ）
② （Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ
③ （Ｐ→ Ｑ）→Ｒ
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であるが、
①＝③ ではなく、それ故、
②＝④ ではない。
従って、
（05）により、
（06）
② （Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（07）
「日本語の語順」に従ふのであれば、
②（Ｐ＆Ｑ ）→ Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（08）
②（Ｐ＆Ｑ ）→ Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」は、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「日本語」に、相当する。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
②（Ｐ＆Ｑ ）→ Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」と、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「日本語」に於いて、
②＝④ ではない。
然るに、
（10）
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
ではなくて、
④ Ｐであって（Ｑでない、ではない）ならばＲである。
であると、する。
然るに、
（11）
④（Ｑでない、ではない）
といふことは、「二重否定律（ＤＮ）」により、
④（Ｑである）
に、他ならない。
従って、
（10）（11）により、
（12）
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
ではなくて、
④ Ｐであって（Ｑでない、ではない）ならばＲである。
であると、するならば、
④ Ｐであって（Ｑである）ならばＲである。
といふ「意味」になる。
然るに、
（13）
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④ Ｐであって（Ｑである）ならばＲである。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（09）（13）により、
（14）
②（Ｐ＆Ｑ ）→ Ｒ
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
といふ「論理式」と、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「日本語」に於いて、
②＝④ ではない。
にも拘はらず、その一方で、
②（Ｐであって、Ｑである）ならばＲである。
④ Ｐであって（Ｑである）ならばＲである。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
④（Ｐ＆Ｑ～）～→Ｒ
④（Ｐであって、Ｑでない）ではないならばＲである。
といふ「論理式」と「日本語」から、「括弧」を除くことは、出来ない。
然るに、
（16）
任意の表述の否定は、その表述を、～（ ）という空所にいれて書くことにしよう。：しかし丸括弧はその内部が連言でないかぎり削除しよう（W.O.クワイン 著、杖下隆英 訳、現代論理入門、1972年、１５頁）。
従って、
（06）（16）により、
（17）
任意の表述の否定は、必ず、～（ ）という空所、または、～｛ ｝という空所にいれて書くことにするならば、
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｒ
といふ「論理式」は、
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ
といふ風に、書くことになる。
然るに、
（18）
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ
に於いて、
～｛ ｝→｛ ｝～
～（ ）→（ ）～
といふ「移動」を行ふと、
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ⇒
④｛Ｐ＆（Ｑ）～｝ ～→Ｒ＝
④｛Ｐであって（Ｑで）でない｝ではないならばＲである。
といふ「命題論理訓読」が、成立する。
然るに、
（19）
④ 無ニ生而不一レ知則聖人也＝
④ 無｛生而不（知）｝則聖人也。
に於いて、
無｛ ｝→｛ ｝無
不（ ）→（ ）不
といふ「移動」を行ふと、
④ 無｛生而不（知）｝則聖人也⇒
④ ｛生而（知）不｝無則聖人也＝
④ ｛生れながらにして（知ら）不ること｝無くんば則ち聖人なり。
といふ「漢文訓読（は作例）」が、成立する。
然るに、
（20）
しかし、正確さに欠けることはあるにしても、われわれの直観は健全であった。つまり。むやみに括弧が多くなることは我慢できないのである。
採用してもよい自然で実際的な規則は、最も外側の括弧を省略することである。そしていまひとつ、括弧を減らす有効で実際的な方法がある。
結合記号に一定のランクをつけることにしよう（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、５９頁）。
従って、
（20）により、
（21）
「論理式」であっても、「理論上、あるべき括弧」の、そのすべてを、「省略」せずに書いてゐる。といふわけではない。
従って、
（18）～（21）により、
（22）
例へば、
④ 無生而不知則聖人也。
といふ「漢文」に対して、
④ 無ニ生而不一レ知則聖人也。
といふ「返り点」を、加へることは、
例へば、
④ ～Ｐ＆～Ｑ→Ｒ
といふ「論理式」に対して、
④ ～｛Ｐ＆～（Ｑ）｝→Ｒ
といふ「括弧」を付けることに、相当する。
然るに、
（23）
「論理式」には、予め、「必要最低限の括弧」が付いてゐるが、「漢文の原文（白文）」には、「返り点（括弧）」が「全く付いてゐない」。
然るに、
（24）
博士課程後期に六年間在学して訓読が達者になった中国の某君があるとき言った。「自分たちは古典を中国音で音読することができる。しかし、往々にして自ら欺くことがあり、助詞などいいかげんに飛ばして読むことがある。しかし日本式の訓読では、「欲」「将」「当」「謂」などの字が、どこまで管到して（かかって）いるか、どの字から上に返って読むか、一字もいいかげんにできず正確に読まなければならない」と、訓読が一字もいやしくしないことに感心していた。これによれば倉石武四郎氏が、訓読は助詞の類を正確に読まないと非難していたが、それは誤りで、訓読こそ中国音で音読するよりも正確な読み方なのである（原田種成、私の漢文 講義、1995年、２７頁）。
従って、
（23）（24）により、
（25）
「漢文の原文（白文）」には、「返り点（括弧）」が「全く付いてゐない」からと言って、「漢文の原文（白文）」に、「管到（括弧）」が無い。
といふことには、ならない。
然るに、
（26）
しばしばとりあげられる〈語順〉の問題、元来はまっすぐに書かれた漢文に返り点をつけた、転倒しながら読むのは不自然だという考え方、などは、むしろ些少なことにすぎないかもしれない。かえって、語と語との修飾や支配の関係を、まったく構造を異にする日本語という言語と対比させることによって、はっきりとうかびあがらせる効用があるというべきである。
是以、大学始教、必使下学者即二凡天下之物一、 莫上レ不下因二其已知之理一、而益々極レ之、以求上レ至二乎其極一。
そこで大学での始めの教えは、学習者が天下の物すべてについて、彼がすでに知っている理を手がかりとしてますますこれをきわめ、そしてその極点にまで到達することを求めるようにせしめる（原文では、「求めないことはいっさいないように、ぜともせしめる」）のである。
このよう複雑な文章でも、返り点があることによって、簡明直截に文字のかかり方を知ることができる。
（平凡社、日本語の歴史２、2007年、１５５・１５６頁改）
（27）
例へば、
是以大学始教必使学者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極。
といふ「漢文」を、
是以、大学始教、必使〈学者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉⇒
是以、大学始教、必〈学者（凡天下之物）即、｛［（其已知之理）因、而益（之）極、以〔（乎其極）至〕求］不｝莫〉使＝
是を以て、大学の始教は、必ず〈学者をして（凡そ天下の物に）即きて、｛［（其の已に知るの理に）因って、益々（之を）極め、以て〔（其の極に）至るを〕求め］不るを｝莫から〉使む。
といふ風に、「訓読」したとしても、
是以、大学始教、必使〈学者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉。
是以、大学始教、必〈学者（凡天下之物）即、｛［（其已知之理）因、而益（之）極、以〔（乎其極）至〕求］不｝莫〉使。
に於ける、
〈 （ ）｛ ［ （ ）（ ）〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
〈 （ ）｛ ［ （ ）（ ）〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ「補足構造」は、「不変」であって、尚且つ、「括弧・返り点」があることによって、
是以大学始教必使学者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極。
のやうな「複雑な文章」でも、
是以、大学始教、必使〈学者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉。
のやうに「簡明直截」に「文字のかかり方」を知ることができるが故に、「転倒しながら読む」のは不自然だという考え方、などは、むしろ「些少なこと」にすぎない。
令和０３年０３月３１日、毛利太。
（27）
例へば、
是以大学始教必使学者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極。
といふ「漢文」を、
是以、大学始教、必使〈学者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉⇒
是以、大学始教、必〈学者（凡天下之物）即、｛［（其已知之理）因、而益（之）極、以〔（乎其極）至〕求］不｝莫〉使＝
是を以て、大学の始教は、必ず〈学者をして（凡そ天下の物に）即きて、｛［（其の已に知るの理に）因って、益々（之を）極め、以て〔（其の極に）至るを〕求め］不るを｝莫から〉使む。
といふ風に、「訓読」したとしても、
是以、大学始教、必使〈学者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉。
是以、大学始教、必〈学者（凡天下之物）即、｛［（其已知之理）因、而益（之）極、以〔（乎其極）至〕求］不｝莫〉使。
に於ける、
〈 （ ）｛ ［ （ ）（ ）〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
〈 （ ）｛ ［ （ ）（ ）〔 （ ） 〕 ］ ｝ 〉
といふ「補足構造」は、「不変」であって、尚且つ、「括弧・返り点」があることによって、
是以大学始教必使学者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極。
のやうな「複雑な文章」でも、
是以、大学始教、必使〈学者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉。
のやうに「簡明直截」に「文字のかかり方」を知ることができるが故に、「転倒しながら読む」のは不自然だという考え方、などは、むしろ「些少なこと」にすぎない。
令和０３年０３月３１日、毛利太。
2021年3月30日火曜日
「二項述語における、量記号の変換規則」。
（01）
１（１）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
１（２） Ｆａ １ＵＥ
１（３）∃ｘ（Ｆｘ） １ＵＩ
といふ「計算」は、
（１）すべてのｘがＦである。 ならば、
（２）任意のａは、Ｆであり、
（〃）任意のａが、Ｆである。 ならば、
（３） あるｘは、Ｆである。
といふ「意味」であって、この「計算」は「正しい」。
然るに、
（02）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
１ （４）∀ｘ（Ｆｘ） １２３ＥＥ
といふ「計算」は、
（１）あるｘが、Ｆである。 ならば、
（２）あるａは、Ｆであり、
（〃）あるａが、Ｆである。 ならば、
（３）すべてのｘがＦである。
といふ「意味」であって、この「計算」は、明らかに、「間違ひ」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇒ ∃ｘ（Ｆｘ）
（ⅱ）∃ｘ（Ｆｘ）⇒ ∀ｘ（Ｆｘ）
といふ「量記号の変換」に於いて、 に於いて、
（ⅰ）は、「正しく」、
（ⅱ）は、「間違ひ」である。
然るに、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
といふ、「二項述語」は、「括弧」を「省略」しない場合は、
① ∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
② ∃ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝
といふ「形」をしてゐる。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇒ ∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「量記号の変換」が「正しい」のであれば、
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
（ⅱ）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」も、当然、「正しい」。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）
１（１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ Ａ
１（２） ∀ｙ（Ｆａｙ） １ＵＥ
１（３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ ２ＥＩ
といふ「述語計算」は、「正しく」、
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ Ａ
２（２） ∀ｙ（Ｆａｙ） Ａ（代表的選言項）
２（３） Ｆａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｙ（Ｆａｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝ ５ＥＩ
１ （６）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝ １２５ＥＥ
といふ「述語計算」も、「正しい」。
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
（ⅱ）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
であるため、「推移律」により、
（ⅲ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」は、「正しい」。
然るに、
（08）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ（Ｆａｙ） １ＵＥ
１ （３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ ２ＥＩ
４ （４） ∀ｙ（Ｆａｙ） Ａ（３の代表的選言項で、それ自体は連言。Ｆａｙであって、Ｆｘｂではない点に、注意せよ。）
４ （５） Ｆａｂ ４ＵＥ（４を＆Ｅ）
４ （６） ∃ｘ（Ｆｘｂ） ５ＥＩ（５に∨Ｉ）
４ （７）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝ ６ＵＩ
１ （８）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝ ３４７ＥＥ
１ （９） ∃ｘ（Ｆｘｂ）｝ ８ＵＥ
ア（ア） Ｆａｂ Ａ
ア（イ） ∃ｙ（Ｆａｙ） アＥＩ
１ （ウ） ∃ｙ（Ｆａｙ） ９アイＥＥ
１ （エ）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝ ウＥＩ
従って、
（08）により、
（09）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ Ａ
１ （３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ ２ＥＩ
１ （８）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝ ３４７ＥＥ
１ （エ）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝ ウＥＩ
であって、それ故、
（ⅳ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」は、「正しい」。
従って、
（07）（09）により、
（10）
すぐに、思ひ付くところの、
（ⅲ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」に加へて、
（ⅳ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」も、「正しい」。
然るに、
（11）
「沢田允、現代論理学入門、1962年、１４６頁」によると、
① ∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
② ∀ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
④ ∃ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（12）
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝
であるならば、例へば、
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人を愛す。
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人に愛される。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人を愛す。
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人に愛される。
である。
然るに、
（13）
① すべての人は、すべての人を愛す。
といふことは、
② すべての人は、すべての人に愛される。
といふことに、他ならない。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人を愛す。
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人に愛される。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人を愛す。
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人に愛される。
であるならば、確かに、「命題」としては、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（10）～（14）により、
（15）
「二項述語における、量記号の変換規則」とは、
∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
∀ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝
といふ「規則」を、いふ。
令和０３年０３月３０日、毛利太。
１（１）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
１（２） Ｆａ １ＵＥ
１（３）∃ｘ（Ｆｘ） １ＵＩ
といふ「計算」は、
（１）すべてのｘがＦである。 ならば、
（２）任意のａは、Ｆであり、
（〃）任意のａが、Ｆである。 ならば、
（３） あるｘは、Ｆである。
といふ「意味」であって、この「計算」は「正しい」。
然るに、
（02）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
１ （４）∀ｘ（Ｆｘ） １２３ＥＥ
といふ「計算」は、
（１）あるｘが、Ｆである。 ならば、
（２）あるａは、Ｆであり、
（〃）あるａが、Ｆである。 ならば、
（３）すべてのｘがＦである。
といふ「意味」であって、この「計算」は、明らかに、「間違ひ」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇒ ∃ｘ（Ｆｘ）
（ⅱ）∃ｘ（Ｆｘ）⇒ ∀ｘ（Ｆｘ）
といふ「量記号の変換」に於いて、 に於いて、
（ⅰ）は、「正しく」、
（ⅱ）は、「間違ひ」である。
然るに、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
といふ、「二項述語」は、「括弧」を「省略」しない場合は、
① ∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
② ∃ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝
といふ「形」をしてゐる。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇒ ∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「量記号の変換」が「正しい」のであれば、
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
（ⅱ）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」も、当然、「正しい」。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）
１（１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ Ａ
１（２） ∀ｙ（Ｆａｙ） １ＵＥ
１（３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ ２ＥＩ
といふ「述語計算」は、「正しく」、
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ Ａ
２（２） ∀ｙ（Ｆａｙ） Ａ（代表的選言項）
２（３） Ｆａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｙ（Ｆａｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝ ５ＥＩ
１ （６）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝ １２５ＥＥ
といふ「述語計算」も、「正しい」。
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
（ⅱ）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
であるため、「推移律」により、
（ⅲ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」は、「正しい」。
然るに、
（08）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ（Ｆａｙ） １ＵＥ
１ （３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ ２ＥＩ
４ （４） ∀ｙ（Ｆａｙ） Ａ（３の代表的選言項で、それ自体は連言。Ｆａｙであって、Ｆｘｂではない点に、注意せよ。）
４ （５） Ｆａｂ ４ＵＥ（４を＆Ｅ）
４ （６） ∃ｘ（Ｆｘｂ） ５ＥＩ（５に∨Ｉ）
４ （７）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝ ６ＵＩ
１ （８）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝ ３４７ＥＥ
１ （９） ∃ｘ（Ｆｘｂ）｝ ８ＵＥ
ア（ア） Ｆａｂ Ａ
ア（イ） ∃ｙ（Ｆａｙ） アＥＩ
１ （ウ） ∃ｙ（Ｆａｙ） ９アイＥＥ
１ （エ）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝ ウＥＩ
従って、
（08）により、
（09）
１ （１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ Ａ
１ （３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝ ２ＥＩ
１ （８）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝ ３４７ＥＥ
１ （エ）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝ ウＥＩ
であって、それ故、
（ⅳ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」は、「正しい」。
従って、
（07）（09）により、
（10）
すぐに、思ひ付くところの、
（ⅲ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」に加へて、
（ⅳ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」も、「正しい」。
然るに、
（11）
「沢田允、現代論理学入門、1962年、１４６頁」によると、
① ∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
② ∀ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
④ ∃ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（12）
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝
であるならば、例へば、
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人を愛す。
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人に愛される。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人を愛す。
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人に愛される。
である。
然るに、
（13）
① すべての人は、すべての人を愛す。
といふことは、
② すべての人は、すべての人に愛される。
といふことに、他ならない。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人を愛す。
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人に愛される。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人を愛す。
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人に愛される。
であるならば、確かに、「命題」としては、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（10）～（14）により、
（15）
「二項述語における、量記号の変換規則」とは、
∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
∀ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝
といふ「規則」を、いふ。
令和０３年０３月３０日、毛利太。
2021年3月26日金曜日
１２２ ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）├ ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
（01）
１２２ ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）├ ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
１ （１）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｙ（Ｆａｙ） Ａ
２（３） Ｆａｂ １ＵＥ
２（４） ∃ｘ（Ｆｘｂ） ３ＥＩ
２（５）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） １２５ＥＥ
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６５頁）
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（03）
｛ｘとｙ｝は｛人間｝であって、
｛人間｝は、｛ａ、ｂ、ｃ｝の｛３人｝であるとする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）愛ａａ≡ａはａ自身を愛す。
（ⅱ）愛ａｂ≡ａはｂ を愛す。
（ⅲ）愛ａｃ≡ａはｃ を愛す。
とするならば、
① ある人（ａ）は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）を愛す。
然るに、
（05）
（ⅰ）愛ａａ≡ａはａ自身を愛す。
（ⅱ）愛ａｂ≡ａはｂ を愛す。
（ⅲ）愛ａｃ≡ａはｃ を愛す。
とするならば、
（ⅰ）ａは、ａ自身によって、愛され、
（ⅱ）ｂは、ａによって、 愛され、
（ⅲ）ｃは、ａによって、 愛される。
然るに、
（06）
（ⅰ）ａは、ａ自身によって、愛され、
（ⅱ）ｂは、ａによって、 愛され、
（ⅲ）ｃは、ａによって、 愛される。
といふのであれば、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人（ａ）に愛される。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
① ある人（ａ）は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）を愛す。
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人（ａ）に愛される。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（08）
（ⅰ）愛ｃａ≡ｃが、ａを愛し、
（ⅱ）愛ｂｂ≡ｂが、ｂを愛し、
（ⅲ）愛ａｃ≡ａが、ｃを愛す。
といふのであれば、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、別々の、ある人（ｃ、ｂ、ａ）に愛される。
といふことになるものの、この場合は、
① ある人（ａ）は、 ある人（ｃ）だけを愛し、
② ある人（ｂ）は、自分自身（ｂ）だけを愛し、
③ ある人（ｃ）は、 ある人（ａ）だけを愛す。
といふことに、過ぎない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）≡ある人はすべての人を愛す。
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）≡すべての人はある人に愛される。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（01）（02）（09）
（10）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（11）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛変域｝であるとして、
１（１）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
１（２） Ｆａ １ＵＥ
１（３）∃ｘ（Ｆｘ） ２ＥＩ
といふ「計算」は、
１（１）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ Ａ
１（２）Ｆａ １＆Ｅ
１（３）Ｆａ∨Ｆｂ ２∨Ｉ
１（４）Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ３∨Ｉ
といふ「計算」と「同じ」であって、この「計算」は、「正しい」。
然るに、
（12）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛変域｝であるとして、
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
１ （４）∀ｘ（Ｆｘ） １２３ＥＥ
といふ「計算」は、
１ （１）Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ Ａ
２（２）Ｆａ Ａ
２（３）Ｆａ＆Ｆｂ ２＃＆Ｉ （はデタラメである。）
２（４）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ ３＃＆Ｉ （はデタラメである。）
１ （５）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ １２４ＥＥ（はマチガイである。）
といふ「計算」と「同じ」であって、この「計算」は、「マチガイ」である。
（13）
（ⅰ）すべてのｘ（∀ｘ）がＦであるならば、 あるｘ（∃ｘ）はＦであるが、
（ⅱ）あるｘ（∃ｘ）がＦであるとしても、すべてのｘ（∀ｘ）はＦである。といふわけではない。
といふことから、
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
１ （４）∀ｘ（Ｆｘ） １２３ＥＥ
といふ「計算」は、「マチガイ」であるものの、
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘａ） １ＵＥ
３（３） Ｆｂａ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆｂｙ） ３ＵＩ？
３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ２３５ＥＥ
といふ「計算」も、
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘａ） １ＵＥ
３（３） Ｆｂａ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆｂｙ） ３ＵＩ？
に於いて、「同じマチガイ」を犯してゐる。
すなはち、
（14）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘａ） １ＵＥ
３（３） Ｆｂａ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆｂｙ） ３ＵＩ？
３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ２３５ＥＥ
に於ける、ただひとつの誤った段階は（４）のそれである。―（３）は「ａ」を含み、その結果ＵＩの制限（eigenvariable 条件）が破られる点に誤りがある。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６５頁改）
従って、
（01）（09）（14）により、
（15）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）≡ある人はすべての人を愛す。
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）≡すべての人はある人に愛される。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
といふ、ことになる。
令和０３年０３月２６日、毛利太。
１２２ ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）├ ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
１ （１）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｙ（Ｆａｙ） Ａ
２（３） Ｆａｂ １ＵＥ
２（４） ∃ｘ（Ｆｘｂ） ３ＥＩ
２（５）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） １２５ＥＥ
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６５頁）
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（03）
｛ｘとｙ｝は｛人間｝であって、
｛人間｝は、｛ａ、ｂ、ｃ｝の｛３人｝であるとする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）愛ａａ≡ａはａ自身を愛す。
（ⅱ）愛ａｂ≡ａはｂ を愛す。
（ⅲ）愛ａｃ≡ａはｃ を愛す。
とするならば、
① ある人（ａ）は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）を愛す。
然るに、
（05）
（ⅰ）愛ａａ≡ａはａ自身を愛す。
（ⅱ）愛ａｂ≡ａはｂ を愛す。
（ⅲ）愛ａｃ≡ａはｃ を愛す。
とするならば、
（ⅰ）ａは、ａ自身によって、愛され、
（ⅱ）ｂは、ａによって、 愛され、
（ⅲ）ｃは、ａによって、 愛される。
然るに、
（06）
（ⅰ）ａは、ａ自身によって、愛され、
（ⅱ）ｂは、ａによって、 愛され、
（ⅲ）ｃは、ａによって、 愛される。
といふのであれば、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人（ａ）に愛される。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
① ある人（ａ）は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）を愛す。
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人（ａ）に愛される。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（08）
（ⅰ）愛ｃａ≡ｃが、ａを愛し、
（ⅱ）愛ｂｂ≡ｂが、ｂを愛し、
（ⅲ）愛ａｃ≡ａが、ｃを愛す。
といふのであれば、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、別々の、ある人（ｃ、ｂ、ａ）に愛される。
といふことになるものの、この場合は、
① ある人（ａ）は、 ある人（ｃ）だけを愛し、
② ある人（ｂ）は、自分自身（ｂ）だけを愛し、
③ ある人（ｃ）は、 ある人（ａ）だけを愛す。
といふことに、過ぎない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）≡ある人はすべての人を愛す。
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）≡すべての人はある人に愛される。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（01）（02）（09）
（10）
① ∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（11）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛変域｝であるとして、
１（１）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
１（２） Ｆａ １ＵＥ
１（３）∃ｘ（Ｆｘ） ２ＥＩ
といふ「計算」は、
１（１）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ Ａ
１（２）Ｆａ １＆Ｅ
１（３）Ｆａ∨Ｆｂ ２∨Ｉ
１（４）Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ３∨Ｉ
といふ「計算」と「同じ」であって、この「計算」は、「正しい」。
然るに、
（12）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛変域｝であるとして、
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
１ （４）∀ｘ（Ｆｘ） １２３ＥＥ
といふ「計算」は、
１ （１）Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ Ａ
２（２）Ｆａ Ａ
２（３）Ｆａ＆Ｆｂ ２＃＆Ｉ （はデタラメである。）
２（４）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ ３＃＆Ｉ （はデタラメである。）
１ （５）Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ １２４ＥＥ（はマチガイである。）
といふ「計算」と「同じ」であって、この「計算」は、「マチガイ」である。
（13）
（ⅰ）すべてのｘ（∀ｘ）がＦであるならば、 あるｘ（∃ｘ）はＦであるが、
（ⅱ）あるｘ（∃ｘ）がＦであるとしても、すべてのｘ（∀ｘ）はＦである。といふわけではない。
といふことから、
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
１ （４）∀ｘ（Ｆｘ） １２３ＥＥ
といふ「計算」は、「マチガイ」であるものの、
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘａ） １ＵＥ
３（３） Ｆｂａ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆｂｙ） ３ＵＩ？
３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ２３５ＥＥ
といふ「計算」も、
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘａ） １ＵＥ
３（３） Ｆｂａ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆｂｙ） ３ＵＩ？
に於いて、「同じマチガイ」を犯してゐる。
すなはち、
（14）
１ （１）∀ｙ∃ｘ（Ｆｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｘ（Ｆｘａ） １ＵＥ
３（３） Ｆｂａ Ａ
３（４） ∀ｙ（Ｆｂｙ） ３ＵＩ？
３（５）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ） ２３５ＥＥ
に於ける、ただひとつの誤った段階は（４）のそれである。―（３）は「ａ」を含み、その結果ＵＩの制限（eigenvariable 条件）が破られる点に誤りがある。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６５頁改）
従って、
（01）（09）（14）により、
（15）
① ∃ｘ∀ｙ（愛ｘｙ）≡ある人はすべての人を愛す。
② ∀ｙ∃ｘ（愛ｘｙ）≡すべての人はある人に愛される。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
といふ、ことになる。
令和０３年０３月２６日、毛利太。
2021年3月25日木曜日
「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」の「例外」。
（01）
１２.∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１３９頁）
従って、
（01）により、
（02）
沢田允先生が書いてゐることが、「本当」であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ（２の選言項・左）
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ（は、マチガイ？）
３ （５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ（２の選言項・右）
６（７） ∃ｘ（Ｇｘ） ６ＥＩ（であって、ＵＩではないので、正しい。）
６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＵＩ
６ （６） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
７（７） Ｇａ Ａ
７（８） Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
７（９） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ（は、完全なマチガイ。）
１ （ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２５７９∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ
といふ「∨Ｅによる結論」を得る際の、
３ （３） Ｆａ Ａ（２の選言項・左）
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ（は、マチガイ？）
といふ、「（２度ではなく）１度だけ」の「ＵＩ」であっても、「eigenvariable 条件」を「満たしてゐない」するならば、
沢田允先生が書いてゐることは、「本当」ではなく、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② ではないし、
② ならば、① でもない。
といふことに、ならざるを得ない。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
② Ｇａ
が「真」であるならば、それだけで、
② ∃ｘ（Ｇｘ）≡Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ
は、「真」である。
然るに、
（06）
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、それだけで、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は、「真」である。
然るに、
（07）
① Ｇａ
が「真」であるとしても、その上、
① Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であることによって、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であるか、または、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」でなければ、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
は、「真」であるとは、限りない。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
② ならば、① ではない。
といふことは、「正しい」。
然るに、
― 以下の説明は、述語論理に慣れてゐない方にとっては、いくぶん、ややこしくなります。―
（09）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
は「真」であり、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（10）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ
が「真」であれば、
① Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（11）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ
が「真」であれば、
① Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（12）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆ＃
が「３つ」とも「偽」であれば、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
は「偽」であるとしても、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
然るに、
（13）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（14）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ＆Ｇｂ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（15）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（16）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇ＃
が「３つ」とも「偽」であれば、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
は「偽」であるとしても、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
は「真」であり、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
従って、
（05）（09）～（16）により、
（17）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「正しい」。
従って、
（01）（08）（17）により、
（18）
沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（18）により、
（19）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ（２の選言項・左）
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ（は、１回目であるため、マチガイではない。）
３ （５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ（２の選言項・右）
６（７） ∃ｘ（Ｇｘ） ６ＥＩ（であって、ＵＩではないので、正しい。）
６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ
といふ「計算」は、「正しい」と、せざるを得ない。
令和０３年０３月２５日、毛利太。
１２.∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１３９頁）
従って、
（01）により、
（02）
沢田允先生が書いてゐることが、「本当」であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ（２の選言項・左）
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ（は、マチガイ？）
３ （５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ（２の選言項・右）
６（７） ∃ｘ（Ｇｘ） ６ＥＩ（であって、ＵＩではないので、正しい。）
６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＵＩ
６ （６） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
７（７） Ｇａ Ａ
７（８） Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
７（９） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ（は、完全なマチガイ。）
１ （ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２５７９∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ
といふ「∨Ｅによる結論」を得る際の、
３ （３） Ｆａ Ａ（２の選言項・左）
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ（は、マチガイ？）
といふ、「（２度ではなく）１度だけ」の「ＵＩ」であっても、「eigenvariable 条件」を「満たしてゐない」するならば、
沢田允先生が書いてゐることは、「本当」ではなく、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② ではないし、
② ならば、① でもない。
といふことに、ならざるを得ない。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
② Ｇａ
が「真」であるならば、それだけで、
② ∃ｘ（Ｇｘ）≡Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ
は、「真」である。
然るに、
（06）
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、それだけで、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は、「真」である。
然るに、
（07）
① Ｇａ
が「真」であるとしても、その上、
① Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であることによって、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であるか、または、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」でなければ、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
は、「真」であるとは、限りない。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
② ならば、① ではない。
といふことは、「正しい」。
然るに、
― 以下の説明は、述語論理に慣れてゐない方にとっては、いくぶん、ややこしくなります。―
（09）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
は「真」であり、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（10）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ
が「真」であれば、
① Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（11）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ
が「真」であれば、
① Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（12）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆ＃
が「３つ」とも「偽」であれば、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
は「偽」であるとしても、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
然るに、
（13）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（14）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ＆Ｇｂ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（15）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（16）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇ＃
が「３つ」とも「偽」であれば、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
は「偽」であるとしても、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
は「真」であり、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
従って、
（05）（09）～（16）により、
（17）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「正しい」。
従って、
（01）（08）（17）により、
（18）
沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（18）により、
（19）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ（２の選言項・左）
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ（は、１回目であるため、マチガイではない。）
３ （５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ（２の選言項・右）
６（７） ∃ｘ（Ｇｘ） ６ＥＩ（であって、ＵＩではないので、正しい。）
６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ
といふ「計算」は、「正しい」と、せざるを得ない。
令和０３年０３月２５日、毛利太。
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