「二項述語における、量記号の変換規則」。

（01）
１（１）∀ｘ（Ｆｘ）　Ａ
１（２）　　　Ｆａ　　１ＵＥ
１（３）∃ｘ（Ｆｘ）　１ＵＩ
といふ「計算」は、
　（１）すべてのｘがＦである。 ならば、
　（２）任意のａは、Ｆであり、
　（〃）任意のａが、Ｆである。 ならば、
　（３）　あるｘは、Ｆである。
といふ「意味」であって、この「計算」は「正しい」。
然るに、
（02）
１　（１）∃ｘ（Ｆｘ）　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ　　Ａ
　２（３）∀ｘ（Ｆｘ）　２ＵＩ
１　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　１２３ＥＥ
といふ「計算」は、
　　（１）あるｘが、Ｆである。 ならば、
　　（２）あるａは、Ｆであり、
　　（〃）あるａが、Ｆである。 ならば、
　　（３）すべてのｘがＦである。
といふ「意味」であって、この「計算」は、明らかに、「間違ひ」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇒ ∃ｘ（Ｆｘ）
（ⅱ）∃ｘ（Ｆｘ）⇒ ∀ｘ（Ｆｘ）
といふ「量記号の変換」に於いて、 に於いて、
（ⅰ）は、「正しく」、
（ⅱ）は、「間違ひ」である。
然るに、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘｙ）
② ∃ｙ∀ｘ（Ｆｘｙ）
といふ、「二項述語」は、「括弧」を「省略」しない場合は、
① ∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
② ∃ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝
といふ「形」をしてゐる。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）⇒ ∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「量記号の変換」が「正しい」のであれば、
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
（ⅱ）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」も、当然、「正しい」。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）
１（１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　Ａ
１（２）　　　∀ｙ（Ｆａｙ）　　１ＵＥ
１（３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　２ＥＩ
といふ「述語計算」は、「正しく」、
（ⅱ）
１　（１）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　Ａ
　２（２）　　　∀ｙ（Ｆａｙ）　　Ａ（代表的選言項）
　２（３）　　　　　　Ｆａｂ　　　２ＵＥ
　２（４）　　　∃ｙ（Ｆａｙ）　　３ＥＩ
　２（５）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝　５ＥＩ
１　（６）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝　１２５ＥＥ
といふ「述語計算」も、「正しい」。
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
（ⅱ）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
であるため、「推移律」により、
（ⅲ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」は、「正しい」。
然るに、
（08）
１　　（１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　Ａ
１　　（２）　　　∀ｙ（Ｆａｙ）　　１ＵＥ
１　　（３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　２ＥＩ
　４　（４）　　　∀ｙ（Ｆａｙ）　　Ａ（３の代表的選言項で、それ自体は連言。Ｆａｙであって、Ｆｘｂではない点に、注意せよ。）
　４　（５）　　　　　　Ｆａｂ　　　４ＵＥ（４を＆Ｅ）
　４　（６）　　　∃ｘ（Ｆｘｂ）　　５ＥＩ（５に∨Ｉ）
　４　（７）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝　６ＵＩ
１　　（８）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝　３４７ＥＥ
１　　（９）　　　∃ｘ（Ｆｘｂ）｝　８ＵＥ
　　ア（ア）　　　　　　Ｆａｂ　　　Ａ
　　ア（イ）　　　∃ｙ（Ｆａｙ）　　アＥＩ
１　　（ウ）　　　∃ｙ（Ｆａｙ）　　９アイＥＥ
１　　（エ）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝　ウＥＩ
従って、
（08）により、
（09）
１　　（１）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　Ａ
１　　（３）∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝　２ＥＩ
１　　（８）∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝　３４７ＥＥ
１　　（エ）∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝　ウＥＩ
であって、それ故、
（ⅳ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」は、「正しい」。
従って、
（07）（09）により、
（10）
すぐに、思ひ付くところの、
（ⅲ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒　　　　　　　　　　　　  ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」に加へて、
（ⅳ）∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
といふ「量記号の変換」も、「正しい」。
然るに、
（11）
「沢田允、現代論理学入門、1962年、１４６頁」によると、
① ∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
② ∀ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
④ ∃ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（12）
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝
であるならば、例へば、
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人を愛す。
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人に愛される。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人を愛す。
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人に愛される。
である。
然るに、
（13）
① すべての人は、すべての人を愛す。
といふことは、
② すべての人は、すべての人に愛される。
といふことに、他ならない。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人を愛す。
② ∀ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡すべての人は、すべての人に愛される。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人を愛す。
④ ∃ｙ｛∃ｘ（愛ｘｙ）｝≡ある人は、ある人に愛される。
であるならば、確かに、「命題」としては、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（10）～（14）により、
（15）
「二項述語における、量記号の変換規則」とは、
∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘｙ）｝
∀ｙ｛∀ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∀ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝⇒ ∃ｙ｛∃ｘ（Ｆｘｙ）｝
といふ「規則」を、いふ。
令和０３年０３月３０日、毛利太。