(01)
{a、b、c}の3人がゐるとして、
(ⅰ)aはフランス人であって、
(ⅱ)bもフランス人であって、
(ⅲ)cもフランス人である。
か、または、
(ⅰ)aは学生であって、
(ⅱ)bも学生であって、
(ⅲ)cも学生である。
とするならば、
① すべての人(主語)は、フランス人である(述語)か、または、
① すべての人(主語)は、学生である(述語)。
といふ「命題」は、「真」である。
然るに、
(02)
① すべての人(主語)は、フランス人である(述語)か、または、
① すべての人(主語)は、学生である(述語)。
といふ「命題」が、「真」であるならば、
② すべての人(主語)は、フランス人であるか学生である(述語)。
といふ「命題」も、「真」である。
然るに、
(03)
(ⅰ)aはフランス人の教師であり、
(ⅱ)bはイギリス人の学生であり、
(ⅲ)cはフランス人の学生である。
といふのであれば、
② すべての人(主語)は、フランス人であるか、学生である(述語)。
といふ「命題」は、「真」ではあるが、
① すべての人(主語)は、フランス人である(述語)か、または、
① すべての人(主語)は、学生である(述語)。
といふ「命題」は、「真」ではない。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① すべての人(主語)は、フランス人である(述語)か、または、すべての人(主語)は、学生である(述語)。
② すべての人(主語)は、フランス人であるか学生である(述語)。
に於いて、
① ならば、② である。が、
② ならば、① ではない。
従って、
(04)により、
(05)
F=フランス人である。
G=学生である。
として、
① ∀x(Fx)∨∀x(Gx)
② ∀x(Fx∨Gx)
に於いて、
① ならば、② である。が、
② ならば、① ではない。
然るに、
(06)
(ⅰ)
1 (1)∀x(Fx)∨∀x(Gx) A
2 (2)∀x(Fx) A
2 (3) Fa 1UE
2 (4) Fa∨Ga 3∨I
2 (5)∀x(Fx∨Gx) 2UI
6(6) ∀x(Gx) A
6(7) Ga 6UE
6(8) Fa∨Ga 7∨I
6(9) ∀x(Fx∨Gx) 8UI
1 (ア)∀x(Fx∨Gx) 12569∨E
(ⅱ)
1 (1)∀x(Fx∨Gx) A
1 (2) Fa∨Ga 1UE
3 (3) Fa A
3 (4)∀x(Fx) 3UI(は、マチガイ。∴ 以下も、マチガイ)
3 (5)∀x(Fx)∨∀x(Gx) 4∨I
6(6) Ga A
6(7) ∀x(Gx) 6UI
6(8)∀x(Fx)∨∀x(Gx) 7∨I
1 (9)∀x(Fx)∨∀x(Gx) 13568∨E
の、(ⅱ)に於いて、「正しい」のは、
1 (1)∀x(Fx∨Gx) A
1 (2) Fa∨Ga 1UE
といふ「2行」だけである。
すなはち、
(07)
かくして、
1 (1)∀x(Fx∨Gx) A
1 (2) Fa∨Ga 1UE
3 (3) Fa A
Fa∨Ga を(1)から結論し、そして第1の選言項 Fa を(3)の行に仮定する。
しかし、(3)は、a を含むが故に、∀x(Fx) を結論することをさしとめられる。
この段階が許されるとするならば、∀x(Fx)∨∀x(Gx) を、∨Iによって、結論し、つぎに Ga からも同じことを結論することができるであろう。そして、∨Eによって不妥当な連式が作り出されるであろう(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、156頁)。
といふ、ことに他ならない。
令和03年03月03日、毛利太。
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