（01）
１１２ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ １ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＵＩ
６（６） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
６（７） Ｇａ ６ＵＥ
６（８） Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
６（９） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ
１ （ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２５６９∨Ｅ
「すべてのものがＦをもつか、あるいはすべてのものがＧをもつ。」ならば、「すべてのものはＦあるいはＧをもつ。」
証明は ∨Ｅ による。（５）と（９）の行において、ＵＩを用いる際に、仮定された選言（１）のいずれの選言項にも「ａ」が含まれず、
従って、制限が満たされていることに注意する。
逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） は妥当ではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５頁改）
従って、
（01）により、
（02）
E.J.レモンが述べてゐるやうに、「結論」として、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（03）
｛すべてのもの｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ（Ｆｘ）≡「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が性質Ｆを持つ。」といふことは、
（〃）∀ｘ（Ｆｘ）≡「ａはＦを持ち、ｂもＦを持ち、ｃもＦを持つ。」といふことである。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅱ）「ａは性質Ｆを持たない（ａはＦでない）。」
とするならば、それだけで、
（ⅱ）～∀ｘ（Ｆｘ）≡「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が、性質Ｆを持つ。」といふわけではない。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」 然るに、
（ⅱ）「ａは性質Ｆを持たない。」 従って、
（ⅲ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が、性質Ｇを持つ。」
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（07）
（ⅲ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が、性質Ｇを持つ。」といふのであれば、必然的に、
（ⅳ）「ａは性質Ｇを持つ。」
従って、
（06）（07）により、
（08）
（ⅰ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」 然るに、
（ⅱ）「ａは性質Ｆを持たない。」 従って、「選言三段論法」により、
（ⅲ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が、性質Ｇを持つ。」が故に、「ａは性質Ｇを持つ。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）により、
（09）
（ⅰ）「すべてのもの（ｂ，ａ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ｂ，ａ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」 然るに、
（ⅱ）「ｂは性質Ｆを持たない。」 従って、「選言三段論法」により、
（ⅲ）「すべてのもの（ｂ，ａ，ｃ）が、性質Ｇを持つ。」が故に、「ｂは性質Ｇを持つ。」
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
（ⅰ）「すべてのもの（ｃ，ａ，ｂ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ｃ，ａ，ｂ）は、性質Ｇを持つ。」 然るに、
（ⅱ）「ｃは性質Ｆを持たない。」 従って、「選言三段論法」により、
（ⅲ）「すべてのもの（ｃ，ａ，ｂ）が、性質Ｇを持つ。」が故に、「ｃは性質Ｇを持つ。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」 然るに、
（ⅱ）「ａか、ｂか、ｃの、いづれかが、性質Ｆを持たない。」 が故に、
（ⅲ）「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）が、性質Ｇを持つ。」
といふ「推論（選言三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（11）により、
（12）
①「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」
②「ａか、ｂか、ｃの、いづれかが、性質Ｆを持たない。」ならば、「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（02）（12）により、
（13）
「記号」で書くと、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（14）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３）～～∀ｘ（Ｆｘ） ２ＤＮ
２ （４）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ３∨Ｉ
５ （５） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
５ （６）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ５∨I
１ （７）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ７含意の定義
９ （９） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
９ （ア） ～∀ｘ（Ｆｘ） ９量化子の関係
１ ９ （イ） ∀ｘ（Ｇｘ） ８アＭＰＰ
１ （ウ） ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ９イＣＰ
エ（オ） ～Ｆａ Ａ
エ（カ） ∃ｘ（～Ｆｘ） オＥＩ
１ エ（キ） ∀ｘ（Ｇｘ） ウカＭＰＰ
１ エ（ク） Ｇａ キＵＥ
１ （ケ） ～Ｆａ→Ｇａ エクＣＰ
１ （コ） ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） ケＵＩ
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、すなはち、
①「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｆを持つ。」か、あるいは「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」
②「ａか、ｂか、ｃの、いづれかが、性質Ｆを持たない。」ならば、「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、性質Ｇを持つ。」
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「述語計算（Predicate calculus）」としても、「正しい」。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
１ （２） ～Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
３ （３） ～（Ｆａ∨Ｇａ） Ａ
４ （４） Ｆａ Ａ
４ （５） Ｆａ∨Ｇａ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
（Ｆａ∨Ｇａ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｆａ ４６ＲＡＡ
１３ （８） Ｇａ ２７ＭＰＰ
１３ （９） Ｆａ∨Ｇａ ８∨Ｉ
１３ （ア） ～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
（Ｆａ∨Ｇａ） ３９＆Ｉ
１ （イ） ～～（Ｆａ∨Ｇａ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） （Ｆａ∨Ｇａ） イＤＮ
１ （オ） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ウＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨ Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨ Ｇａ １ＵＥ
３ （３） ～Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
４ （４） Ｆａ Ａ
３ （５） ～Ｆａ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｆａ＆～Ｇａ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｆａ＆～Ｇａ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｇａ Ａ
３ （９） ～Ｇａ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｇａ＆～Ｇａ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｆａ Ａ
オ（オ） ～Ｇａ Ａ
エオ（カ） ～Ｆａ＆～Ｇａ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（～Ｆａ＆～Ｇａ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｇａ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｇａ クＤＮ
１ （コ） ～Ｆａ→Ｇａ エケＣＰ
１ （サ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） コＵＩ
従って、
（16）により、
（17）
① ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（ Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「述語計算（Predicate calculus）」としても、「正しい」。
然るに、
（19）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふことは、
② すべてのもの（ｘ）は、Ｆであるか、または、Ｇである。
といふ、ことである。
従って、
（03）（19）により、
（20）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
②「すべてのもの（ｘ）は、Ｆであるか、または、Ｇである。」
といふのであれば、例へば、
① ａはＦではあるが、Ｇではなく、
① ｂはＦではあるが、Ｇではなく、
① ｃはＦではあるが、Ｇではない。
といふ場合には、「真（本当）」である。
然るに、
（21）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
①「すべてのもの（ｘ）は、Ｆである。」か、または「すべてのもの（ｘ）は、Ｇである。」
といふのであれば、この場合も、
① ａはＦではあるが、Ｇではなく、
① ｂはＦではあるが、Ｇではなく、
① ｃはＦではあるが、Ｇではない。
といふ場合には、「真（本当）」である。
然るに、
（22）
② ａはＦではあるが、Ｇではなく、
② ｂはＧではあるが、Ｆではなく、
② ｃはＧではあるが、Ｆではない。
であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
②「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、Ｆであるか、または、Ｇである。」
としては、「真（本当）」であるが、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
①「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、Ｆである。」か、または「すべてのもの（ａ，ｂ，ｃ）は、Ｇである。」
としては、「偽（ウソ）」である。
従って、
（18）～（21）により、
（22）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
従って、
（01）（02）（22）により、
（23）
E.J.レモンが述べてゐるやうに、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（24）
１１２ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ １ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＵＩ
６（６） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
６（７） Ｇａ ６ＵＥ
６（８） Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
６（９） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ
１ （ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２５６９∨Ｅ
「すべてのものがＦをもつか、あるいはすべてのものがＧをもつ。」ならば、「すべてのものはＦあるいはＧをもつ。」
証明は ∨Ｅ による。（５）と（９）の行において、ＵＩを用いる際に、仮定された選言（１）のいずれの選言項にも「ａ」が含まれず、
従って制限が満たされていることに注意する。
逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） は妥当ではない。
なぜなら、
「すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である」が、
「すべての正の整数が偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である」というわけではない。
この場合には、
この連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を証明しようとする自然な試みをさしとめるのは、ＵＩに対する制限である。
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３（３） Ｆａ Ａ
Ｆａ∨Ｇａを（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。しかし（３）は ａ を含む故、ここで、
∀ｘ（Ｆｘ）を結論することをさしとめられる。この段階が許されるとするならば、
∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を ∨Ｉ によって結論し、つぎに Ｇａ からも同じことを結論することができるであろう。
そして ∨Ｅ によって不当な連式が作り出されるであろう。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５・１５６頁改）
従って、
（24）により、
（25）
E.J.レモンも、述べてゐる通り、
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ
３ （５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ
６（７） ∀ｘ（Ｇｘ） ６ＵＩ
６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ
といふ「計算（11）」は、実際には、「 マチガイ」である。
従って、
（01）～（25）により、
（26）
（ａ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３） Ｆａ １ＵＥ
２ （４） Ｆａ∨Ｇａ ３∨Ｉ
２ （５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ４ＵＩ
６（６） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
６（７） Ｇａ ６ＵＥ
６（８） Ｆａ∨Ｇａ ７∨Ｉ
６（９） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ８ＵＩ
１ （ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） １２５６９∨Ｅ
（ｂ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （３）～～∀ｘ（Ｆｘ） ２ＤＮ
２ （４）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ３∨Ｉ
５ （５） ∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
５ （６）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ５∨I
１ （７）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） １２４５６∨Ｅ
１ （８） ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ７含意の定義
９ （９） ∃ｘ（～Ｆｘ） Ａ
９ （ア） ～∀ｘ（Ｆｘ） ９量化子の関係
１ ９ （イ） ∀ｘ（Ｇｘ） ８アＭＰＰ
１ （ウ） ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ９イＣＰ
エ（オ） ～Ｆａ Ａ
エ（カ） ∃ｘ（～Ｆｘ） オＥＩ
１ エ（キ） ∀ｘ（Ｇｘ） ウカＭＰＰ
１ エ（ク） Ｇａ キＵＥ
１ （ケ） ～Ｆａ→Ｇａ エクＣＰ
１ （コ） ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） ケＵＩ
（ｃ）
１ （１）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
１ （２） ～Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
３ （３） ～（Ｆａ∨Ｇａ） Ａ
４ （４） Ｆａ Ａ
４ （５） Ｆａ∨Ｇａ ４∨Ｉ
３４ （６） ～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
（Ｆａ∨Ｇａ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～Ｆａ ４６ＲＡＡ
１３ （８） Ｇａ ２７ＭＰＰ
１３ （９） Ｆａ∨Ｇａ ８∨Ｉ
１３ （ア） ～（Ｆａ∨Ｇａ）＆
（Ｆａ∨Ｇａ） ３９＆Ｉ
１ （イ） ～～（Ｆａ∨Ｇａ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） （Ｆａ∨Ｇａ） イＤＮ
１ （オ） ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） ウＵＩ
（ｄ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨ Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨ Ｇａ １ＵＥ
３ （３） ～Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
４ （４） Ｆａ Ａ
３ （５） ～Ｆａ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｆａ＆～Ｇａ ４５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｆａ＆～Ｇａ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｇａ Ａ
３ （９） ～Ｇａ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｇａ＆～Ｇａ ８９＆Ｉ
８ （イ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ） ３アＲＡＡ
１ （ウ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｆａ Ａ
オ（オ） ～Ｇａ Ａ
エオ（カ） ～Ｆａ＆～Ｇａ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ）～（～Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（～Ｆａ＆～Ｇａ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｇａ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｇａ クＤＮ
１ （コ） ～Ｆａ→Ｇａ エケＣＰ
１ （サ）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ） コＵＩ
といふ「計算」が「正しい」。といふことと、
（ｅ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ∨Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ
３ （４）∀ｘ（Ｆｘ） ３ＵＩ
３ （５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ４∨Ｉ
６（６） Ｇａ Ａ
６（７） ∀ｘ（Ｇｘ） ６ＵＩ
６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ７∨Ｉ
１ （９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） ２３５６８∨Ｅ
といふ「計算」が「マチガイ」である。
といふこととに関しては、今の私は、「少しの疑ひ」も、持ってはゐない。
令和０３年０３月２４日、毛利太。
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