∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）

　―「昨日（令和０３年０３月１９日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　Ａ
１　　（２）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　２含意の定義
　４　（４）　　～～偶数ａ　　　　　　Ａ
　４　（５）　　　　偶数ａ　　　　　　４ＤＮ
　４　（６）　　　　偶数ａ∨奇数ａ　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　奇数ａ　　Ａ
　　７（８）　　　　偶数ａ∨奇数ａ　　７∨Ｉ
１　　（９）　　　　偶数ａ∨奇数ａ　　３４６７８∨Ｅ
１　　（ア）　∀ｘ（偶数ｘ∨奇数ｘ）　９ＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ（偶数ｘ∨奇数ｘ）　Ａ
１　　（２）　　　　偶数ａ∨奇数ａ　　１ＵＥ
　３　（３）　　　　偶数ａ　　　　　　Ａ
　３　（４）　　～～偶数ａ　　　　　　３ＤＮ
　３　（５）　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　奇数ａ　　Ａ
　　６（７）　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　６∨Ｉ
１　　（８）　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　２３５６７∨Ｅ
１　　（９）　　　～偶数ａ→奇数ａ　　８含意の定義
１　　（ア）∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　９ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
② ∀ｘ（　偶数ｘ∨奇数ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべての自然数は、偶数でないならば、奇数である。
② すべての自然数は、偶数であるか、　　奇数である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② ∀ｘ（偶数ｘ∨奇数ｘ）
② すべての自然数は、偶数であるか、奇数である。
といふことは、
②「１、２、３、４、５、６、７、８、９、・・・・・」
といふ「普通の状態」を言ふ。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
① すべての自然数は、偶数でないならば、奇数である。
といふことも、
①「１、２、３、４、５、６、７、８、９、・・・・・」
といふ「普通の状態」を言ふ。
然るに、
（05）
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
② すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。
といふことは、
②「２、４、６、８、・・・」または「１、３、５、７、・・・」
といふ「異常な状態」を言ふ。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）      ≡すべての自然数は、偶数でないならば、奇数である。
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）≡すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。
に於いて、
① ならば、② である。
といふことには、ならず、それ故、
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）├ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」ではない。
然るに、
（07）
（ⅰ）「Ａか、または、Ｂである。」然るに、
（ⅱ）「Ａでない。」故に、
（ⅲ）「Ｂである。」
といふ「推論（選言三段論法）」は「妥当」である。
然るに、
（08）
演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
定理２．２　Ａ と Ｂ は論理式で、Γ は論理式の有限の列であるとする。もし、
　Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
　Γ├ Ａ→Ｂ
である（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、４０頁）。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① Ａ∨Ｂ，～Ａ├ Ｂ
② Ａ∨Ｂ├ ～Ａ→Ｂ
に於いて、
① は、「三段論法」として、「妥当」であり、
② は、「演繹定理」として、「妥当」である。
従って、
（09）により、
（10）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）， ～∀ｘ（偶数ｘ）├ ∀ｘ（奇数ｘ）
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ～∀ｘ（偶数ｘ）→ ∀ｘ（奇数ｘ）
に於いて、
① は、「三段論法」として、「妥当」であり、
② は、「演繹定理」として、「妥当」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　　（１）　～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）　Ａ
１　　（２）～～∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）　１含意の定義
　３　（３）～～∀ｘ（偶数ｘ）　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）　　∀ｘ（偶数ｘ）　　　　　　　　　３ＤＮ
　３　（５）　　　　　偶数ａ　　　　　　　　　　３ＵＥ
　３　（６）　　　～～偶数ａ　　　　　　　　　　５ＤＮ
　３　（７）　　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　　　　　６∨Ｉ
　３　（８）　　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　７含意の定義
　３　（９）　∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　８ＵＩ
　 ア（ア）　　　　　　　　　　∀ｘ（奇数ｘ）　Ａ
　　ア（イ）　　　　　　　　　　　　　奇数ａ　　アＵＥ
　　ア（ウ）　　　　　　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　イ∨Ｉ
　　ア（エ）　　　　　　　　～偶数ａ→奇数ａ　　ウ含意の定義
　　ア（オ）　　　　　∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　エＵＩ
１　　（カ）　∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　１３９アオ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　　～偶数ａ→奇数ａ　　　　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　～～偶数ａ∨奇数ａ　　　　　　２含意の定義
　４　（４）　　　～～偶数ａ　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）　　　　　偶数ａ　　　　　　　　　４ＤＮ
　４　（６）　　∀ｘ（偶数ｘ）　　　　　　　　５ＵＩ（はマチガイである。）
　４　（７）～～∀ｘ（偶数ｘ）　　　　　　　　６ＤＮ
　４　（８）～～∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　奇数ａ　　　　　　Ａ
　　９（ア）　　　　　∀ｘ（奇数ｘ）　　　　　９ＵＩ（はマチガイである。）
１　　（イ）～～∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）　３４８９イ∨Ｅ
１　　（ウ）　～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）　イ含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
③ ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
② 　∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）
③ ～∀ｘ（偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）├ 　∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」である。
従って、
（13）により、
（14）
「推移律」により、
④ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（推論）」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
④ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」従って、
（ⅱ）「すべての自然数は偶数でないならば、　　　　　　　  　　奇数である。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」として、
（ⅱ）「ａ＝３ である。」とする。
然るに、
（17）
（ⅱ）「ａ＝３」は「奇数」である。
従って、
（16）（17）により、
（18）
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」として、
（ⅱ）「ａ＝３（奇数）である。」ならば、　  「すべての自然数は偶数である。」ではなく、
（ⅲ）「すべての自然数は奇数である。」
然るに、
（19）
（ⅲ）「すべての自然数が奇数である。」ならば、必然的に、
（ⅳ）「ａ＝３ は奇数であって、偶数ではない。」
従って、
（15）～（19）により、
（20）
（ⅰ）「すべての自然数は偶数であるか、または、すべての自然数は奇数である。」従って、
（ⅱ）「　任意の自然数は偶数でないならば、　　　　　　　　　  奇数である。」
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（06）（15）（20）により、
（21）
① ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）├ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
④ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
に於いて、
① は、「妥当」ではないが、それとは「逆」の、
④ は、「妥当」である。
令和０３年０３月２０日、毛利太。