∃ｘ（～偶数ｘ）→∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）（Ⅱ）

　―（14）以後に、「昨日（令和０３年０３月１８日）の記事」の「続き」を書きます。―
従って、
（01）～（10）により、
（11）
果たして、
① ∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
① ∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての整数は偶数であるか、または、すべての整数が奇数である。
② ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）≡ある整数が偶数でないならば、　　　　すべての整数は奇数である。
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての整数は、偶数であるか、または、奇数である。
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての整数は、偶数でないならば、　　奇数である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（13）
① ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての整数は、偶数であるか、または、奇数である。
② ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての整数は、偶数でないならば、　　奇数である。
といふ「命題」は、「真（本当）」であるが、言ふ迄もなく、
① ∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての整数は偶数であるか、または、すべての整数が奇数である。
② ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）≡ある正数が偶数でないならば、　　　　すべての整数は奇数である。
といふ「命題」は、「偽（ウソ）」である。

　―「以後」が「続き」です。―
然るに、
（14）
① ∀ｘ（　Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ），～∀ｘ（　Ｆｘ）├ ∀ｘ（Ｇｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ），　∃ｘ（～Ｆｘ）├ ∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① は、「選言三段論法」であって、「選言三段論法」は「妥当」である。
② は、「 肯定肯定式 」であって、「 肯定肯定式 」は「妥当」である。
ｃｆ.
① Ａか、あるいは、Ｂである。然るに、Ａでない。故に、Ｂである（選言三段論法）。
② Ａであるならば、Ｂである。然るに、Ａである。故に、Ｂである（ 肯定肯定式 ）。
然るに、
（15）
そこで演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
定理２．２　Ａ と Ｂ は論理式で、Γ は論理式の有限の列であるとする。もし、
　Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
　Γ├ Ａ→Ｂ
である（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、４０頁）。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「演繹定理」により、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）， ～∀ｘ（Ｆｘ）├ ∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→ ∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→ ∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（18）
１　　（１）　～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　１含意の定義
　３　（３）～～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　（４）　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＤＮ
　３　（５）　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　３ＵＥ
　３　（６）　　　～～Ｆａ　　　　　　　　　５ＤＮ
　３　（７）　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　６∨Ｉ
　３　（８）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　７含意の定義
　３　（９）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　８ＵＩ
　  ア（ア）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　ア（イ）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　アＵＥ
　　ア（ウ）　　　　　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　イ∨Ｉ
　　ア（エ）　　　　　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　ウ含意の定義
　　ア（オ）　　　　　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　エＵＩ
１　　（カ）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　１３９アオ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　　～Ｆａ→Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　２含意の定義
　４　（４）　　　～～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　４　（５）　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　４ＤＮ
　４　（６）　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　５ＵＩ（はマチガイである。）
　４　（７）～～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　６ＤＮ
　４　（８）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　９（ア）　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　　　　　９ＵＩ（はマチガイである。）
１　　（イ）～～∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）　３４８９イ∨Ｅ
１　　（ウ）　～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　イ含意の定義
従って、
（18）により、
（19）
③ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「推論」は、「妥当」であるが、逆に、
③ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
② 　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ 　∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「２つの推論」は、「妥当」である。
従って、
（20）により、
（21）
「推移律」により、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（12）（13）（21）により、
（22）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）「すべての整数は偶数であるか、または、すべての整数が奇数である。」従って、
（ⅱ）「すべての整数は偶数でないならば、　　　　　　　　　奇数である。」
（〃）「すべての整数は奇数でないならば、　　　　　　　　　偶数である。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（23）
「実際の数学（の世界）」であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての整数は偶数であるか、または、すべての整数が奇数である。
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　≡すべての整数は偶数であるか、または、奇数である。
に於いて、
① は「偽（ウソ）」あって、
② が「真（本当）」である。
然るに、
（24）
（ⅱ）
１　　（１）　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　１ＵＥ
　３　（３）　　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　３　（４）　　～～Ｆａ　　　　　３ＤＮ
　３　（５）　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　６（７）　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　６∨I
１　　（８）　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　２３５６７∨Ｅ
１　　（９）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　８含意の定義
１　　（ア）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　９ＵＩ
（ⅲ）
１　　（１）∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
１　　（２）　　　～Ｆａ→Ｇａ　　１ＵＥ
１　　（３）　　～～Ｆａ∨Ｇａ　　２含意の定義
　４　（４）　　～～Ｆａ　　　　　Ａ
　４　（５）　　　　Ｆａ　　　　　４ＤＮ
　４　（６）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　７（８）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
１　　（９）　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　３４６７８∨Ｅ
１　　（ア）　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　９ＵＩ
従って、
（24）により、
（25）
② ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「推論」は、「妥当」であって、その上、
③ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「推論」も、「妥当」である。
従って、
（25）により、
（26）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）「すべての整数は偶数であるか、または、奇数である。」従って、
（ⅱ）「すべての整数は偶数でないならば、　　奇数である。」
（〃）「すべての整数は奇数でないならば、　　偶数である。」
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（27）
「実際の数学（の世界）」であっても、
② ∀ｘ（  Ｆｘ∨Ｇｘ）≡すべての整数は偶数であるか、または、奇数である。
③ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべての整数は偶数でないならば、　　奇数である。
に於いて、
② は「真（本当）」あって、
③ は「真（本当）」である。
従って、
（22）（23）（26）（27）により、
（28）
「実際の数学（の世界）」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）≡すべての整数は偶数であるか、または、すべての整数が奇数である。
② ∀ｘ（　Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　≡すべての整数は偶数であるか、または、奇数である。
③ ∀ｘ（～Ｆｘ→Ｇｘ）　　　≡すべての整数は偶数でないならば、　　奇数である。
に於いて、
① は「偽（ウソ）」であって、
② は「真（本当）」であって、
③ も「真（本当）」であるものの、
「述語論理」としては、
① ならば、③ であって、
② ならば、③ である。
令和０３年０３月１９日、毛利太。