「あるフランス人は寛大である。」の述語論理（Ⅴb）。

―「昨日（令和０３年０３月１２日）の記事」を書き直します。―
（01）
① あるフランス人は寛大である。
② フランス人であって、尚且つ、寛大な人がゐる。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）
ｘ＝人
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝寛大である。
として、
② フランス人であって、尚且つ、寛大な人がゐる。
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① あるフランス人は寛大である。
② フランス人であって、尚且つ、寛大な人がゐる。
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（04）
③ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
④ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
③＝④ ではない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① あるフランス人は寛大である。
④ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
①＝④ ではなく、
従って、
（06）
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違いである。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁）
然るに、
（07）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
といふ「３つの式」を比較すると、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
といふことは、「見ただけで、すぐに分かる」。
すなはち、
（08）
｛ａ、ｂ、ｃ｝といふ｛３人｝が、｛変域（ドメイン）｝であるならば、
（ⅱ）
１　（１）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　Ａ
　２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　Ａ
　２（３）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　２（４）　Ｆａ∨Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３∨Ｉ
　２（〃）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　４∨Ｉ
１２（５）　　　　　　　　　　　（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　１５ＭＰＰ
１　（６）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　２６ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　Ａ
　２　（２）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（４）　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３＃＆Ｉ（は不可。）
　　３（５）　Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　４＃＆Ｉ（は不可。）
　２　（６）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　２３ＥＥ
１２　（７）　　　　　　　　　　　（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　１６ＭＰＰ
１　　（８）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）→（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）　２７ＣＰ
であって、それ故、
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② である。ではない。
といふことは、固より、「当然」である。
然るに、
（09）
（ⅱ）
１　（１）∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　２ＵＥ
　２（４）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２ＥＩ
１２（５）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１２ＭＰＰ
１　（６）∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　２５ＣＰ
（ⅲ）
１　　　　　（１）　∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　　　　（２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１ＵＥ
　３　　　　（３）～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　　　　（４）∃ｘ～（Ｆｘ）　　　　　　　　３含意の定義
　　５　　　（５）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　５　　　（６）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　５∨Ｉ
　　５　　　（７）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　５含意の定義
　　　８　　（８）　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　５　９　（ア）　　　　　　　Ｇａ　　　　　　７９ＭＰＰ
　　５　９　（イ）　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　アＥＩ
　　５８　　（ウ）　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　８９イＥＥ（に於いて、９は８に戻ったが、５が残ったので、マチガイである。）
　　５　　　（エ）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　８ウＣＰ
　３　　　　（オ）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　３５エＥＥ
　　　　　カ（カ）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　　　カ（キ）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　∨Ｉ
　　　　　カ（ク）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　キ含意の定義
１　　　　　（ケ）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　２３オカク∨Ｅ
従って、
（08）（09）により、
（10）
「述語計算」の「結果」も、果たして、
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② である。ではない。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　Ａ
　　３（３）　　　　∀ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　　３（４）　　　　　　　Ｆａ　　　　　３ＵＥ
　２３（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　２４ＭＰＰ
　２３（６）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　５ＥＩ
１　３（７）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１２６ＥＥ
１　　（８）∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　３７ＣＰ
（ⅲ）
１　　　　（１）　∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　　　（２）～∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１含意の定義
　３　　　（３）～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）∃ｘ～（Ｆｘ）　　　　　　　　３量化子の関係
　　５　　（５）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　５　　（６）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　５∨Ｉ
　　５　　（７）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　６含意の定義
　　５　　（８）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　７ＥＩ
　３　　　（９）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　４５８ＥＥ
　　　ア　（ア）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　　イ（イ）　　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　　　イ（ウ）　　　　　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　イ∨Ｉ
　　　　イ（エ）　　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　ウ含意の定義
　　　　イ（オ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　エＥＩ
１　　　　（カ）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　２３９イオ∨Ｅ
従って、
（11）により、
（12）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（10）（12）により、br> （13）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではなく、尚且つ、
①＝③ である。
従って、
（13）により、
（14）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
① ならば、② ではないが、
② ならば、① である。
然るに、
（15）
（ⅰ）
１　　　（１）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　Ａ
　　３　（３）　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　２　４（５）　　　　　　　Ｇａ　　　　　　２４ＭＰＰ
　２　４（６）　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　５ＥＩ
　２３　（７）　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　　　　　３４６ＥＥ（に於いて、４は３に戻ったが、２が残ったので、マチガイである。）
　２　　（８）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　３７ＣＰ
１　　　（９）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　１２８ＥＥ
（ⅱ）
１　　　（１）　∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　　（２）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１含意の定義
　３　　（３）～∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　３　　（４）∀ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　３量化子の関係
　３　　（５）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　４ＵＥ
　３　　（６）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　５∨Ｉ
　３　　（７）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　６含意の定義
　３　　（８）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　７ＥＩ
　　９　（９）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　　ア（イ）　　　　　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　ア∨Ｉ
　　　ア（ウ）　　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　イ含意の定義
　　　ア（エ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　ウＥＩ
　　９　（オ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　９アエＥＥ
１　　　（カ）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　２３８９オ∨Ｅ
従って、
（15）により、
（16）
「述語計算」の「結果」としても、
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
① ならば、② ではないが、
② ならば、① である。
従って、
（10）（12）（16）により、
（17）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝③ であって、
尚且つ、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
が故に、
② ならば、① であるが、
① ならば、② ではない。
従って、
（17）により、
（18）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝② ではないし、
②＝③ ではないが、
①＝③ である。
然るに、
（19）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
①＝② ではない。
といふことは、「直観的」には、「不思議な感じ（somewhat surprising）」である。
然るに、
（20）
固より、
② ∃ｘ（Ｆｘ）≡　　あるｘはＦである。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）≡すべてのｘはＦである。
に於いて、
②＝③ でないことは、「当然」であるため、
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
に於いて、
②＝③ ではない。
といふことは、「当然」である。
従って、
（21）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　≡（ＦであるならばＧである所の、そのやうなｘ）が存在する。
② ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆである所のｘが）存在するならば（Ｇである所のｘが）存在する。
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡すべてのｘついて（ｘがＦである）ならば（Ｇである所のｘが）存在する。
といふ「論理式」に於いて、「述語論理」は、「不思議」でもあり、「当然」でもある。
といふ、ことになる。
令和０３年０３月１２・１３日、毛利太。