「述語論理」は「難解である」。

　―「昨日（令和０３年０３月２２日）の記事」を、書き直します。―
（01）
（ⅰ）「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」然るに、
（ⅱ）「すべての数は偶数である。」ではない。従って、
（ⅲ）「すべての数は奇数である。」
といふ「推論」は、「選言三段論法（Disjunctive syllogism）」である。
従って、
（01）により、
（02）
「記号」で書くと、
（ⅰ）　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）。然るに、
（ⅱ）～∀ｘ（Ｆｘ）。従って、
（ⅲ）　∀ｘ（Ｇｘ）。
といふ「推論」は、「選言三段論法（Disjunctive syllogism）」である。
然るに、
（03）
演繹定理（Deduction theorem）は次のように表現される。
定理２．２　Ａ と Ｂ は論理式で、Γ は論理式の有限の列であるとする。もし、
　Γ，Ａ├ Ｂ
ならば、
　Γ├ Ａ→Ｂ
である（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、４０頁）。
従って、
（02）（03）により、
（03）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）， ～∀ｘ（Ｆｘ）├ ∀ｘ（Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→ ∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
① は、「三段論法」として「妥当」であり、
② は、「演繹定理」として「妥当」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１　　　　（１）　～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　　（２）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）　～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　２量化子の関係
１２　　　（４）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　１３ＭＰＰ
１　　　　（５）　∃ｘ（～Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）　２４ＣＰ
　　６　　（６）　∃ｘ（～Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　　　Ａ
　　　７　（７）　　　　～Ｆａ＆～Ｇａ　　　　　Ａ
　　　７　（８）　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　７　（９）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　８ＥＩ
　　６　　（ア）　∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　６７９ＥＥ
１　６　　（イ）　　　　　　　　　∀ｘ（Ｇｘ）　５アＭＰＰ
１　６　　（ウ）　　　　　　　　　　　　Ｇａ　　イＵＩ
　　　７　（エ）　　　　　　　　　　　～Ｇａ　　７＆Ｅ
１　６７　（オ）　　　　　　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　ウエ＆Ｉ
１　６　　（カ）　　　　　　　　Ｇａ＆～Ｇａ　　６７オＥＥ
１　　　　（キ）～∃ｘ（～Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　　　６カＲＡＡ
１　　　　（ク）∀ｘ～（～Ｆｘ＆～Ｇｘ）　　　　キ量化子の関係
１　　　　（ケ）　　～（～Ｆａ＆～Ｇａ）　　　　クＵＥ
１　　　　（コ）　　　　　Ｆａ∨　Ｇａ　　　　　ケ、ド・モルガンの法則
１　　　　（サ）　　∀ｘ（Ｆｘ∨　Ｇｘ）　　　　コＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
③ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（03）（05）
（06）
② 　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ～∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ 　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
④ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ～∀ｘ（Ｆｘ）→ ∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」であり、それ故、「推移律」により、
④ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
（ⅰ）　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）。然るに、
（ⅱ）～∀ｘ（Ｆｘ）。従って、
（ⅲ）　∀ｘ（Ｇｘ）。
といふ「推論（選言三段論法）」が「妥当」である。が故に、
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
といふ「連式（Sequent）」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に対して、その「逆の連式」に関しては、
逆の連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ） は妥当ではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５頁）
従って、
（09）により、
（10）
① ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない。
従って、
（10）により、
（11）
１　　（１）∀ｘ（偶ｘ∨奇ｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　偶ａ∨奇ａ　　　　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　３ＵＩ
　３　（５）∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　奇ａ　　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　∀ｘ（奇ｘ）　６ＵＩ
　　６（８）∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　７∨Ｉ
１　　（９）∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　２３５６８∨Ｅ
といふ「計算（11）」は、実際には、「 マチガイ」である。
すなはち、
（12）
「すべての正の整数は、偶数であるか、または、奇数である」が、
「すべての正の整数が偶数であるか、または、すべての正の整数が奇数である」というわけではない。
この場合には、
この連式、∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を証明しようとする自然な試みをさしとめるのは、ＵＩに対する制限である。
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　Ａ
１　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａを（１）から結論し、そして第１の選言項 Ｆａ を（３）の行に仮定する。しかし（３）は ａ を含む故、ここで、
　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）を結論することをさしとめられる。この段階が許されるとするならば、
　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）∨∀ｘ（Ｇｘ）を ∨Ｉ によって結論し、つぎに Ｇａ からも同じことを結論することができるであろう。
　　　　　そして ∨Ｅ によって不当な連式が作り出されるであろう。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５５・１５６頁）
然るに、
（13）
京都大学文学部・矢田部俊介先生は、ユーチューブの中で、「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「述語論理最大の難所」であって、「これ本当にねぇ、わけわかんないですよね。僕は、初めてこれを習ったとき、見たとき、何のことか、全く理解できなかったんですよねこれ。」といふ風に、言はれてゐる。
尚且つ、
（14）
１　　（１）∀ｘ（偶ｘ∨奇ｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　偶ａ∨奇ａ　　　　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　３ＵＩ
の場合は、「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「∨Ｅ（選言除去の規則）」との「合はせ技」なので、「猶のこと、難しい」。
（15）
「E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英、論理学初歩」の「書評」を見ると、「難解です。」と書かれてゐる方がゐるものの、「E.J.レモン 著、論理学初歩」は、「それなりに難解」である上に、「惜しむらく」は、「練習問題」に対する「解答」が無いことである。
令和０３年０３月２３日、毛利太。