（01）
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく、
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違いである。しかし、
∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、
それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在することを主張するのであって、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかるに、
「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３ （３） ～（～Ｆａ∨Ｇａ） Ａ
４（４） ～Ｆａ Ａ
４（５） ～Ｆａ∨Ｇａ ４∨Ｉ
３４（６） ～（～Ｆａ∨Ｇａ）＆
（～Ｆａ∨Ｇａ） ３５＆Ｉ
３ （７） ～～Ｆａ ４６ＲＡＡ
３ （８） Ｆａ ７ＤＮ
２３ （９） Ｇａ ２８ＭＰＰ
２３ （ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ９∨Ｉ
２３ （イ） ～（～Ｆａ∨Ｇａ）＆
（～Ｆａ∨Ｇａ） ３ア＆Ｉ
２ （ウ）～～（～Ｆａ∨Ｇａ） ３イＲＡＡ
２ （エ） ～Ｆａ∨Ｇａ ウＤＮ
２ （オ）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） エＥＩ
１ （カ）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） １２オＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） Ａ
２ （２） ～Ｆａ∨Ｇａ Ａ
３ （３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
４ （４） ～Ｆａ Ａ
３ （５） Ｆａ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｆａ＆Ｆａ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３６ＲＡＡ
６ （８） Ｇａ Ａ
３ （９） ～Ｇａ ３＆Ｅ
３ ６ （ア） Ｇａ＆～Ｇａ ８９＆Ｉ
６ （イ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３アＲＡＡ
２ （ウ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ２４７６イ∨Ｅ
エ （エ） Ｆａ Ａ
オ（オ） ～Ｇａ Ａ
エオ（カ） Ｆａ＆～Ｇａ エオ＆Ｉ
２ エオ（キ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（Ｆａ＆～Ｇａ） ウカ＆Ｉ
２ エ （ク） ～～Ｇａ オキＲＡＡ
２ エ （ケ） Ｇａ クＤＮ
２ （コ） Ｆａ→Ｇａ エケＣＰ
２ （サ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） コＥＩ
１ （シ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） １２サＥＥ
従って、
（02）により、
（03）
① ∃ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）≡あるｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
② ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）≡（フランス人でないｘか、または、寛大なｘ）が存在する。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
② （フランス人でないｘか、または、寛大なｘ）が存在する≡∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）。
といふのであれば、確かに、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。
といふことは、「真」である。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２） ～（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）） Ａ
３（３） ～∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
３（４） ～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ３∨Ｉ
２３（５） ～（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ））＆
（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～∃ｘ（Ｆｘ） ３５ＲＡＡ
２ （７） ∃ｘ（Ｆｘ） ６ＤＮ
１２ （８） ∃ｘ（Ｇｘ） １７ＭＰＰ
１２ （９） ～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ））＆
（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） イＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～∃ｘ（Ｆｘ）∨ ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
３ （３） ～∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２ （４） ∃ｘ（Ｆｘ） ２＆Ｅ
２３ （５） ～∃ｘ（Ｆｘ）＆ ∃ｘ（Ｆｘ） ３４＆Ｉ
３ （６）～（∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ）） ２５ＲＡＡ
７ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
２ （８） ～∃ｘ（Ｇｘ） ２＆Ｅ
２ ７ （９） ∃ｘ（Ｇｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ） ７８＆Ｉ
７ （ア）～（∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ）） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ）） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
エ（エ） ～∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
ウエ（オ） ∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ） ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ））＆
（∃ｘ（Ｆｘ）＆～∃ｘ（Ｇｘ）） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～∃ｘ（Ｇｘ） エカＲＡＡ
１ ウ （ク） ∃ｘ（Ｇｘ） キＤＮ
１ （ケ） ∃ｘ（Ｆｘ）→ ∃ｘ（Ｇｘ） ウクＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
③ ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡フランス人であるｘが存在するならば、 寛大なｘが存在する。
④ ～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）≡フランス人であるｘは存在しないか、または、寛大なｘが存在する。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（07）
④ フランス人であるｘは存在しないか、または、寛大なｘが存在する≡～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）。
といふのであれば、尚のこと、確実に、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。
といふことは、「真」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３ （３） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
２ ４（５） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２ ４（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２３ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） ３４６ＥＥ
２ （８） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ３７ＣＰ
１ （９） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） １２８ＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）～∃ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ） １含意の定義
３ （３）～∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
３ （４）∀ｘ（～Ｆｘ） ３量化子の関係
３ （５） ～Ｆａ ４ＵＥ
３ （６） ～Ｆａ∨Ｇａ ５∨Ｉ
３ （７） Ｆａ→Ｇａ ６含意の定義
３ （８） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ７ＥＩ
９ （９） ∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
ア（ア） Ｇａ Ａ
ア（イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ア∨Ｉ
ア（ウ） Ｆａ→Ｇａ イ含意の定義
ア（エ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ウＥＩ
９ （オ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ９アエＥＥ
１ （カ） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ２３８９オ∨Ｅ
従って、
（08）により、
（09）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡あるｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
③ ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡フランス人であるｘが存在するならば、寛大なｘが存在する。
に於いて、
①＝③ である。
と、思ったのであるが、「よく見る」と、
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
３ （３） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
２ ４（５） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２ ４（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２３ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） ３４６ＥＥ
２ （８） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） ３７ＣＰ
１ （９） ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ） １２８ＥＥ
といふ「計算」の、
２ ４（６） ∃ｘ（Ｇｘ） ５ＥＩ
２３ （７） ∃ｘ（Ｇｘ） ３４６ＥＥ
の「部分」は、「マチガイ」である。
何となれば、
（10）
「説明」をするのは、「難しい」ものの、
（６）の行の「結論」は、
２ （２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
４（４） Ｆａ Ａ
に依存してゐて、この「２行」があるため、
（７）の行の「結論」は、E.J.レモンも、「他の計算」の際に述べてゐるやうに、「マチガイ」になる。
ｃｆ．
「E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１５４頁」
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ≡あるｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
③ ∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）≡フランス人であるｘが存在するならば、寛大なｘが存在する。
に於いて、
③ ならば、① ではあるが、
① ならば、③ ではない。
ｃｆ．
１６．［∃ｘ（Ｆｘ）→∃ｘ（Ｇｘ）］⊃∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１３９頁、１３行目）
従って、
（12）
少なくとも、「述語論理」的には、
① あるｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
③ フランス人であるｘが存在するならば、寛大なｘが存在する。
に於いて、
①＝③ ではない。
といふことに、なるものの、このことは、「直観的」には、「不思議な感じ（somewhat surprising）」である。
然るに、
（13）
一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する（ウィキペディア）。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① あるｘについて（ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である）。
③ フランス人であるｘが存在するならば、寛大なｘが存在する。
に於いて、
①＝③ ではない。
といふことは、「日本語」としては、「不思議」ではあるものの、「数学的（？）」には、「真」である。
といふことに、なる。
令和０３年０３月０４日、毛利太。
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