「述語論理の、最大の難所（eigenvariable 条件）」の具体例。

（01）
矢田部俊介先生曰く：
「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」は、「述語論理最大の難所」であって、これ本当にねぇ、わけわかんないですよね。僕は、初めてこれを習ったとき、見たとき、何のことか、全く理解できなかったんですよ。
然るに、
（02）
１　　　　（１）　　∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　Ａ
　２　　　（２）　　∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）～～∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　２ＤＮ
　２　　　（４）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　　　　　　　∀ｘ（奇ｘ）　Ａ
　　５　　（６）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　５∨I
１　　　　（７）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∀ｘ（奇ｘ）　１２４５６∨Ｅ
１　　　　（８）　～∀ｘ（偶ｘ）→∀ｘ（奇ｘ）　７含意の定義
　　　９　（９）　∃ｘ（～偶ｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　～∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　９量化子の関係
１　　９　（イ）　　　　　　　　　∀ｘ（奇ｘ）　８アＭＰＰ
１　　　　（ウ）　∃ｘ（～偶ｘ）→∀ｘ（奇ｘ）　９イＣＰ
　　　　エ（オ）　　　　～偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ（カ）　∃ｘ（～偶ｘ）　　　　　　　　オＥＩ
１　　　エ（キ）　　　　　　　　　∀ｘ（奇ｘ）　ウカＭＰＰ
１　　　エ（ク）　　　　　　　　　　　　奇ａ　　キＵＥ
１　　　　（ケ）　　　　～偶ａ→奇ａ　　　　　　エクＣＰ
１　　　　（コ）　∀ｘ（～偶ｘ→奇ｘ）　　　　　ケＵＩ
従って、
（02）により、
（03）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
② ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
②「すべての数は、偶数でないならば、奇数である。」
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（05）
①「すべての数は偶数である。」
②「ある数ｘは、偶数でない。」
に於いて、
① と ② は、「矛盾」する。
従って、
（05）により、
（06）
①「すべての数は偶数である。」
②「ある数ｘは、偶数でない。」
に於いて、
② であるならば、① ではない。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
であるとして、
②「任意の数が、偶数でない。」ならば、　「すべての数は奇数である。」
ｃｆ.
「選言三段論法（Disjunctive syllogism）」
然るに、
（08）
②「すべての数が奇数である。」ならば、　「任意の数は、奇数である。」
従って、
（07）（08）により、
（09）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
であるとして、
②「任意の数が、偶数でない。」ならば、　「任意の数は、奇数である。」
従って、
（09）により、
（10）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
であるとして、
②「すべての数（任意の数）は、偶数でないならば、奇数である。」
従って、
（02）～（10）により、
（11）
①「すべての数は偶数である。」か、または「すべての数は奇数である。」
②「すべての数（任意の数）は、偶数でないならば、奇数である。」
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「日本語」で考へたとしても、「妥当」である。
ｃｆ.
① は、当然、「普通の数学」としては、「偽（ウソ）」であるが、
② は、当然、「普通の数学」としても、「真（本当）」であるが、
然るに、
（12）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）
③ ∀ｘ（偶数ｘ）∨∃ｘ（奇数ｘ）
に於いて、
① ではなく、
③ であるため、「次の計算（13）」は、「マチガイ」である。
（13）
１　　　　　（１）　　∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ）　Ａ
　２　　　　（２）　　∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（３）～～∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　２ＤＮ
　２　　　　（４）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ）　３∨Ｉ
　　５　　　（５）　　　　　　　　　∃ｘ（奇ｘ）　Ａ
　　５　　　（６）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ）　５∨I
１　　　　　（７）～～∀ｘ（偶ｘ）∨∃ｘ（奇ｘ）　１２４５６∨Ｅ
１　　　　　（８）　～∀ｘ（偶ｘ）→∃ｘ（奇ｘ）　７含意の定義
　　　９　　（９）　∃ｘ（～偶ｘ）　　　　　　　　Ａ
　　　９　　（ア）　～∀ｘ（偶ｘ）　　　　　　　　９量化子の関係
１　　９　　（イ）　　　　　　　　　∃ｘ（奇ｘ）　８アＭＰＰ
１　　　　　（ウ）　∃ｘ（～偶ｘ）→∃ｘ（奇ｘ）　９イＣＰ
　　　　エ　（エ）　　　　～偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ　（オ）　∃ｘ（～偶ｘ）　　　　　　　　エＥＩ
１　　　エ　（カ）　　　　　　　　　∃ｘ（奇ｘ）　ウオＭＰＰ
　　　　エ　（キ）　　　　　　　　　　　　奇ａ　　Ａ
１　　　　　（ク）　　　　～偶ａ→奇ａ　　　　　　エキＣＰ
１　　　　　（ケ）　∀ｘ（～偶ｘ→奇ｘ）　　　　　クＵＩ（は、マチガイである。）
（14）
（ⅰ）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３つ｝が｛すべての数｝であるとして、
Ａ君は、｛ａ｝だけしか持ってゐなくて、
Ｂ君は、｛ａ，ｂ，ｃ｝のすべてを持ってゐるとする。
（ⅱ）
Ａ君は、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、
それ見て、
Ｂ君も、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、このときは、
（ⅲ）
｛ａ｝＝｛ａ｝
なので、「セーフ」である。
といふ、「ルール」があるとする。
（15）
（ⅳ）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３つ｝が｛すべての数｝であるとして、
Ａ君は、｛ａ｝だけしか持ってゐなくて、
Ｂ君は、｛ｂ｝だけしか持ってゐないとする。
（ⅴ）
Ａ君は、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、
それ見た、
Ｂ君は、止むを得ず、
　　　　｛ｂ｝を、テーブルの上に置いたとして、このときは、
｛ａ｝≠｛ｂ｝
なので、「アウト」とする。
といふ、「ルール」があるとする。
然るに、
（02）（13）（14）（15）により、
（16）
（13）に於ける、
　　　　エ　（エ）　　　　～偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ　（キ）　　　　　　　　　　　　奇ａ　　Ａ
といふ「行」を、
　　　　エ　（エ）　　　　～偶ａ　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ　（キ）　　　　　　　　　　　　奇ｂ　　Ａ
といふ風に、書き直すならば、
（ⅴ）
Ａ君は、｛ａ｝を、テーブルの上に置いたとして、
それ見た、
Ｂ君は、止むを得ず、
　　　　｛ｂ｝を、テーブルの上に置いたとして、このときは、
｛ａ｝＝｛ｂ｝
ではないので、「アウト」である。
といふ「比喩」を、用ひることが、出来る。
従って、
（02）（11）～（16）により、
（17）
① ∀ｘ（偶数ｘ）∨∀ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
② ∀ｘ（偶数ｘ）∨∃ｘ（奇数ｘ）├ ∀ｘ（～偶数ｘ→奇数ｘ）
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
① は、「ルール（eigenvariable 条件）」を満たしてゐるが、
② は、「ルール（eigenvariable 条件）」を満たしてゐない。
令和０３年０３月２３日、毛利太。