「ＵＩに対する制限（eigenvariable 条件）」の「例外」。

（01）
１２.∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１３９頁）
従って、
（01）により、
（02）
沢田允先生が書いてゐることが、「本当」であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ（２の選言項・左）
　３　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＵＩ（は、マチガイ？）
　３　（５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ（２の選言項・右）
　　６（７）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　６ＥＩ（であって、ＵＩではないので、正しい。）
　　６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　７∨Ｉ
１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　２３５６８∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　（２）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　２ＵＥ
　２　　（４）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　２　　（５）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　４ＵＩ
　　６　（６）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　７（７）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　Ｆａ∨Ｇａ　　７∨Ｉ
　　　７（９）　　　　∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　８ＵＩ（は、完全なマチガイ。）
１　　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　１２５７９∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　２３５６８∨Ｅ
といふ「∨Ｅによる結論」を得る際の、
　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ（２の選言項・左）
　３　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＵＩ（は、マチガイ？）
といふ、「（２度ではなく）１度だけ」の「ＵＩ」であっても、「eigenvariable 条件」を「満たしてゐない」するならば、
沢田允先生が書いてゐることは、「本当」ではなく、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② ではないし、
② ならば、① でもない。
といふことに、ならざるを得ない。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
② Ｇａ
が「真」であるならば、それだけで、
② ∃ｘ（Ｇｘ）≡Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ
は、「真」である。
然るに、
（06）
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、それだけで、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は、「真」である。
然るに、
（07）
① Ｇａ
が「真」であるとしても、その上、
① Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であることによって、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であるか、または、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」でなければ、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
は、「真」であるとは、限りない。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
② ならば、① ではない。
といふことは、「正しい」。
然るに、
　― 以下の説明は、述語論理に慣れてゐない方にとっては、いくぶん、ややこしくなります。―
（09）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
は「真」であり、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（10）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ
が「真」であれば、
① Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（11）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆａ
が「真」であれば、
① Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（12）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｆ＃
が「３つ」とも「偽」であれば、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
は「偽」であるとしても、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
然るに、
（13）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（14）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ＆Ｇｂ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（15）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇａ
が「真」であれば、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」であり、
② ∃ｘ（Ｆｘ）
が「真」であれば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
（16）
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
が「真」であるとして、
① Ｇ＃
が「３つ」とも「偽」であれば、
① Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ
は「偽」であるとしても、
① Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
が「真」になり、このとき、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
に加へて、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
は「真」であり、
② ∀ｘ（Ｆｘ）
が「真」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
は「真」である。
従って、
（05）（09）～（16）により、
（17）
｛すべてのｘ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② である。
といふことは、「正しい」。
従って、
（01）（08）（17）により、
（18）
沢田允先生が書いてゐる通り、確かに、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
従って、
（18）により、
（19）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨Ｇｘ）　　　　　Ａ
１　　（２）　　　Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　１ＵＥ
　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ（２の選言項・左）
　３　（４）∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　３ＵＩ（は、１回目であるため、マチガイではない。）
　３　（５）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ（２の選言項・右）
　　６（７）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　６ＥＩ（であって、ＵＩではないので、正しい。）
　　６（８）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　７∨Ｉ
１　　（９）∀ｘ（Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　２３５６８∨Ｅ
といふ「計算」は、「正しい」と、せざるを得ない。
令和０３年０３月２５日、毛利太。