「ド・モルガンの法則（命題変数が３つで、∨と∧が混在する場合）」。

（01）
　― 次に示す通り、例へば、―
① 　　　Ｐ∨　Ｑ
② 　　￢Ｐ∧￢Ｑ
③　　　 Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ
④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）
⑤　　 ￢Ｐ∧　Ｑ∨￢Ｒ　
⑥ ￢（　Ｐ∨￢Ｑ∧　Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
（02）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ　　Ａ
　２　　（２）　　￢Ｐ∧￢Ｑ　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　￢Ｐ　　　　　２∧Ｅ
　２３　（５）　　　Ｐ∧￢Ｐ　　３４∧Ｉ
　　３　（６）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　Ａ
　２　　（８）　　　　　￢Ｑ　　２∧Ｅ
　２　７（９）　　　Ｑ∧￢Ｑ　　７８∧Ｉ
　　　７（ア）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）　１３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　￢（Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　￢（Ｐ∨　Ｑ）∧
　　　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　２４∧Ｉ
　２　　（６）　　￢Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　７（８）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
　２　７（９）　￢（Ｐ∨　Ｑ）∧
　　　　　　　　　（Ｐ∨　Ｑ）　　２８∧Ｉ
　２　　（ア）　　　　　￢Ｑ　　　７９ＲＡＡ
　２　　（イ）　　￢Ｐ∧￢Ｑ　　　６ア∧Ｉ
１２　　（ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）∧
　　　　　　　　（￢Ｐ∧￢Ｑ）　　１イ∧Ｉ
１　　　（エ）￢￢（Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　Ｐ∨　Ｑ　　　エＤＮ
従って、
（02）により、
（03）
① 　　　Ｐ∨　Ｑ
② ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）
により、
①＝② である（命題変数が２つである場合の、ド・モルガンの法則）。
（04）
（ⅲ）
１　　　　　（１）　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ　　　Ａ
１　　　　　（３）　　（Ｐ∨　Ｑ）∨Ｒ　　　１結合法則
　　４　　　（４）　　（Ｐ∨　Ｑ）　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（６）　　￢Ｐ　　　　　　　　　２∧Ｅ
　２　５　　（７）　　　Ｐ∧￢Ｐ　　　　　　５６∧Ｉ
　　　５　　（８）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　２７ＲＡＡ
　　　　９　（９）　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　　　（ア）　　　　　￢Ｑ　　　　　　２∧Ｅ
　２　　９　（イ）　　　Ｑ∧￢Ｑ　　　　　　９ア∧Ｉ
　　　　９　（ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　２９ＲＡＡ
　　４　　　（エ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｅ
　　　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　２　　　　（カ）　　　　　　　　￢Ｒ　　　２∧Ｅ
　２　　　オ（キ）　　　　　　Ｒ∧￢Ｒ　　　オカ∧Ｉ
　　　　　オ（ク）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　２キＲＡＡ
１　　　　　（ケ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　３４エオク∨Ｅ
１２　　　　（コ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧
　　　　　　　　　　（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　２ケ∧Ｉ
１　　　　　（サ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　２コＲＡＡ
（ⅳ）
１　　　　（１）　￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　Ａ
　２　　　（２）　￢（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　３４∨Ｉ
　２３　　（６）　￢（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）∧
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２５∧Ｉ
　２　　　（７）　　　￢Ｐ　　　　　　　　　３６ＲＡＡ
　　　８　（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　８　（９）　　　　Ｐ∨　Ｑ　　　　　　８∨Ｉ
　　　８　（ア）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ
　２　８　（イ）　￢（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）∧
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２ア∧Ｉ
　２　　　（ウ）　　　　　　￢Ｑ　　　　　　８イ∧Ｉ
　２　　　（エ）　　　￢Ｐ∧￢Ｑ　　　　　　７ウ∧Ｉ
　　　　オ（オ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　　オ（キ）　　　　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ　　　∨Ｉ
　２　　オ（ク）　￢（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）∧
　　　　　　　　　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２キ∧Ｉ
　２　　　（ケ）　　　　　　　　　￢Ｒ　　　オクＲＡＡ
　２　　　（コ）　　　￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ　　　エケ∧Ｉ
１２　　　（サ）　￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧
　　　　　　　　　　（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）　　１コ∧Ｉ
１　　　　（シ）￢￢（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　２サＲＡＡ
１　　　　（ス）　　（　Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ）　　シＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
③　　　 Ｐ∨　Ｑ∨　Ｒ
④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（命題変数が３つである場合の、ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅴ）
１　　　　　　　（１）　　￢Ｐ∧　Ｑ　∨￢Ｒ　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　　　Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ　　　Ａ
１　　　　　　　（３）　（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ　　　１結合法則
　２　　　　　　（４）　（　Ｐ∨￢Ｑ）∧　Ｒ　　　２結合法則
　　５　　　　　（５）　（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　Ａ
　２　　　　　　（６）　（　Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　４∧Ｅ
　　５　　　　　（７）　　￢Ｐ　　　　　　　　　　５∧Ｅ
　　　８　　　　（８）　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　５８　　　　（９）　　￢Ｐ∧Ｐ　　　　　　　　７８∧Ｉ
　　　８　　　　（ア）￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　５９ＲＡＡ
　　５　　　　　（イ）　　　　　　Ｑ　　　　　　　５∧Ｅ
　　　　ウ　　　（ウ）　　　　　￢Ｑ　　　　　　　Ａ
　　５　ウ　　　（エ）　　　Ｑ∧￢Ｑ　　　　　　　イウ∧Ｉ
　　　　ウ　　　（オ）￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　５エＲＡＡ
　２　　　　　　（カ）￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　２８アウオ∨Ｅ
　　　　　キ　　（キ）　　　　　　　　　￢Ｒ　　　Ａ
　２　　　　　　（ク）　　　　　　　　　　Ｒ　　　４∧Ｅ
　２　　　キ　　（ケ）　　　　　　　￢Ｒ∧Ｒ　　　キク∧Ｉ
　２　　　　　　（コ）　　　　　　　　￢￢Ｒ　　　キケＤＮ
　２　　　　　　（サ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　コＤＮ
　２　　　　　　（シ）￢（￢Ｐ∧　Ｑ）∧　Ｒ　　　カサ∧Ｉ
　　　　　　ス　（ス）　（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　Ａ（３の選言項左）
　２　　　　　　（セ）￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　シ∧Ｅ
　２　　　　ス　（ソ）　（￢Ｐ∧　Ｑ）∧
　　　　　　　　　　　￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　スセ∧Ｉ
　　　　　　ス　（タ）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　２ソＲＡＡ
　　　　　　　チ（チ）　　　　　　　　　￢Ｒ　　　Ａ（３の選言項右）
　２　　　　　　（ツ）　　　　　　　　　　Ｒ　　　シ∧Ｅ
　２　　　　　チ（テ）　　　　　　　￢Ｒ∧Ｒ　　　チツ∧Ｉ
　　　　　　　チ（ト）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　２テＲＡＡ
１　　　　　　　（ナ）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　３スタチト∨Ｅ
１２　　　　　　（ニ）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）∧
　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　２ナ∧Ｉ
１　　　　　　　（ヌ）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　２ニＲＡＡ
（ⅵ）
１　　　　　　　（１）　　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　Ａ
１　　　　　　　（２）　￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧　Ｒ）　　１結合法則
　３　　　　　　（３）　￢（￢Ｐ∧　Ｑ　∨￢Ｒ）　　Ａ
　３　　　　　　（４）￢（（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ）　　３結合法則
　　５　　　　　（５）　　（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　Ａ
　　５　　　　　（６）　　（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ　　　５∨Ｉ
　３５　　　　　（７）￢（（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ）∧
　　　　　　　　　　　　（（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ）　　４６∧Ｉ
　３　　　　　　（８）　￢（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　５７ＲＡＡ
　　　９　　　　（９）　　￢（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　Ａ
　　　　ア　　　（ア）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　　　（イ）　　　　Ｐ∨￢Ｑ　　　　　　　ア∨Ｉ
　　　９ア　　　（ウ）　　￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　９イ∧Ｉ
　　　９　　　　（エ）　　　￢Ｐ　　　　　　　　　　アウＲＡＡ
　　　　　オ　　（オ）　　　　　　￢Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　　　オ　　（カ）　　　　Ｐ∨￢Ｑ　　　　　　　オ∨Ｉ
　　　９　オ　　（キ）　　￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　９カ∧Ｉ
　　　９　　　　（ク）　　　　　￢￢Ｑ　　　　　　　オキＲＡＡ
　　　９　　　　（ケ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　　クＤＮ
　　　９　　　　（コ）　　　￢Ｐ∧　Ｑ　　　　　　　エケ∧Ｉ
　３　９　　　　（サ）　￢（￢Ｐ∧　Ｑ）∧
　　　　　　　　　　　　　（￢Ｐ∧　Ｑ）　　　　　　８コ∧Ｉ
　３　　　　　　（シ）　￢￢（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　９サＲＡＡ
　３　　　　　　（ス）　　　（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　シＤＮ
　　　　　　セ　（セ）　　　　　　　　　　￢Ｒ　　　Ａ
　　　　　　セ　（ソ）　　（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ　　　セ∨Ｉ
　３　　　　セ　（タ）￢（（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ）∧
　　　　　　　　　　　　（（￢Ｐ∧　Ｑ）∨￢Ｒ　　　３ソ∧Ｉ
　３　　　　　　（チ）　　　　　　　　　￢￢Ｒ　　　セタＲＡＡ
　３　　　　　　（ツ）　　　　　　　　　　　Ｒ　　　チＤＮ
　３　　　　　　（テ）　　　（Ｐ∨￢Ｑ）∧　Ｒ　　　スツ∧Ｉ
１３　　　　　　（ト）　　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　１テ∧Ｉ
１　　　　　　　（ナ）￢￢（￢Ｐ∧　Ｑ　∨￢Ｒ）　　３トＲＡＡ
１　　　　　　　（ニ）　　（￢Ｐ∧　Ｑ　∨￢Ｒ）　　ナＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
⑤　　 ￢Ｐ∧　Ｑ∨￢Ｒ　
⑥ ￢（　Ｐ∨￢Ｑ∧　Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（命題変数が３つで、∨と∧が混在する場合のド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）により、
（08）
特に、（ⅵ）の「計算」は、途中で、自分でも「何をやってゐるのか」分からなくなるくらひ、「メチャクチャ、めんどくさい」。
然るに、
（09）
（ⅵ）の「計算」も、「ド・モルガンの法則」を用ひて良いのであれば、
（ⅵ）
１　　　　　　　（１）　￢（Ｐ∨￢Ｑ　∧　Ｒ）　　Ａ
１　　　　　　　（２）￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧　Ｒ）　　１結合法則
１　　　　　　　（３）　￢（Ｐ∨￢Ｑ）∨￢Ｒ　　　２（２項によるド・モルガンの法則）
　４　　　　　　（４）　￢（Ｐ∨￢Ｑ）　　　　　　Ａ
　４　　　　　　（５）　　￢Ｐ∧　Ｑ　　　　　　　４（２項によるド・モルガンの法則）
　４　　　　　　（６）　　￢Ｐ∧　Ｑ∨　￢Ｒ　　　５∨Ｉ
　　７　　　　　（７）　　　　　　　　　￢Ｒ　　　Ａ
　　７　　　　　（８）　　￢Ｐ∧　Ｑ∨　￢Ｒ　　　７∨Ｉ
１　　　　　　　（９）　　￢Ｐ∧　Ｑ∨　￢Ｒ　　　３４６７８∨Ｅ
といふ具合に、「メチャクチャ、簡単である」。
（10）
　― お知らせ ―
しばらく（１週間、あるいは、２週間、あるいは、３週間ほど？）、ブログを、休みます。
令和６年２月２６日、毛利太。

「象の鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
（02）
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外（象と馬）の耳は長くはない。
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外（象と兎）の顔は長くはない。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② 耳は兎が長い。
③ 顔は馬が長い。
といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象が長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
といふ「３つの集合」ではなく、
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
といふ「１つの集合」だけに「注目」するならば、
① 象の鼻が長い。
② 象の鼻は長く、象以外（兎と馬）の鼻は長くはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①｛象、兎、馬｝
といふ「集合」の、
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
といふ「部分集合」に「注目」すれば、
① 象の鼻が長い。
といふことになり、
①｛象、兎、馬｝
といふ「集合」の、
①｛象の鼻、兎の鼻、馬の鼻｝
②｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
③｛象の耳、兎の耳、馬の耳｝
といふ「部分集合」に「注目」すれば、
② 鼻は象が長い。
といふことになる。
従って、
（06）
① 象の鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
といふ「日本語」は、「命題」としては、両方とも、
③ 象の鼻は長く、象の鼻以外（兎の鼻、馬の鼻）は長くない。
といふ「意味」になる。
然るに、
（07）
① ∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
といふ「述語論理」の「読み方（意味）」は、
① すべてのｙとあるｘについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長く、（ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長くない｝。
② すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（ｙが象でなくて、ｘがｙの鼻である）ならば、ｘは長くない｝。
となるものの、この場合は、「語順が異なる」だけで、「真理値」からすれば、
①＝② である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 象の鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
といふ「述語論理式」に、「対応」する。
然るに、
（09）
１　　　　　　　（１）∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝　Ａ
１　　　　　　　（２）　　∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｂｘ）→長ｂ＆（～象ｘ＆鼻ｂｘ）→～長ｂ｝　１ＵＥ
　３　　　　　　（３）　　　　　（象ａ＆鼻ｂａ）→長ｂ＆（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　Ａ）
　３　　　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　（～象ａ＆鼻ｂａ）→～長ｂ　　３＆Ｅ
　　５　　　　　（５）　　∀ｘ｛（兎ｘ→～象ｘ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝　　　　　　　　　　Ａ
　　５　　　　　（６）　　　　　（兎ａ→～象ａ）＆∃ｙ（鼻ｙａ）　　　　　　　　　　　５ＵＥ
　　５　　　　　（７）　　　　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　５　　　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ）　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　９　　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　　　（ア）　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　５　ア　　　（イ）　　　　　　　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７アＭＰＰ
　　５９ア　　　（ウ）　　　　　　　　　～象ａ＆鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　９イ＆Ｉ
　３５９ア　　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　４ウＭＰＰ
　３５９ア　　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　９エ＆Ｉ
　３５９ア　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ）　　　　　　　オＥＩ
　３５　ア　　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ）　　　　　　　８９カＥＥ
３５　　　　　（ク）　　　　　　　　　　　兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ）　　　　　　　アキＣＰ
１　５　　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　兎ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ）　　　　　　　２３クＥＥ
　　　　　コ　　（コ）　　　　　　　　∃ｘ｛兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→　長ｙ）｝　　　　　　Ａ
　　　　　　サ　（サ）　　　　　　　　　　　兎ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→　長ｙ）　　　　　　　Ａ
　　　　　　サ　（シ）　　　　　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サ＆Ｅ
　　　　　　サ　（ス）　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（鼻ｙａ→　長ｙ）　　　　　　　サ＆Ｅ
　　　　　　サ　（セ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ→　長ｂ　　　　　　　　スＵＥ
１　５　　　サ　（ソ）　　　　　　　　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆～長ｂ）　　　　　　　ケシＭＰＰ
　　　　　　　タ（タ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ＆～長ｂ　　　　　　　　Ａ
　　　　　　　タ（チ）　　　　　　　　　　　　　　　　　鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　タ＆Ｅ
　　　　　　　タ（ツ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　　　　　　タ＆Ｅ
　　　　　　サタ（テ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　セチＭＰＰ
　　　　　　サタ（ト）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　　　　　ツテ＆Ｉ
１　５　　　サ　（ナ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　　　　　ソタトＥＥ
１　５　　コ　　（ニ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　　　　　　コサナＥＥ
１　５　　　　　（ヌ）　　　　　　　　～∃ｘ｛兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）｝　　　　　　コニＲＡＡ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）∀ｙ∃ｘ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ）→長ｙ＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ）→～長ｙ｝。然るに、
（ⅱ）　　∀ｘ｛（兎ｘ→～象ｘ）＆∃ｙ（鼻ｙｘ）｝。従って、
（ⅲ）　～∃ｘ｛　兎ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→長ｙ）｝。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｙとあるｘについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長く、（ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻である）ならば、ｙは長くない｝。然るに、
（ⅱ）　　　　すべてのｘについて｛（ｘが兎であるならば、ｘは象ではなく）、あるｙは（ｘの鼻である）｝。従って、
（ⅲ）　　　　　　　　　あるｘが｛　兎であって、すべてのｙについて、（ｙがｘの鼻ならば、ｙは長い）｝といふことはない。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻が長い、といふことはない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
従って、
（07）～（10）により、
（11）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻が長い、といふことはない。
といふ『推論』も、「妥当」である。
令和６年２月２５日、毛利太。

「象は鼻が長い（動物である）」の「述語論理」の解説。

（01）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（02）
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、　鼻以外は長くない。　然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ『推論（背理法）』は、「妥当」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、　鼻以外は長くない。　然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ「推論（背理法）」が「妥当」であるが故に、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（04）
１　　　　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　　（２）　∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　　（３）　∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　（４）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　　（５）　　　　兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　６　　　（６）　　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　　（７）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　　（８）　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　　（９）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
１　　６　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　９＆Ｅ
１　　６　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　アＵＥ
　２　６　　　（ウ）　　　　　　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　５８ＭＰＰ
　　　　エ　　（エ）　　　　　　　　　　耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　エ　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
　　　　エ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　エ＆Ｅ
１　　６エ　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　イオＭＰＰ
１　　６エ　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　カキ＆Ｉ
１２　６　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　ウエクＥＥ
１２３　　　　（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　３６ケＥＥ
１２　　　　　（サ）～∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３コＲＡＡ
　　　　　シ　（シ）　　～（象ａ→～兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　シ　（ス）　～（～象ａ∨～兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シ含意の定義
　　　　　シ　（セ）　　　　象ａ＆　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ス、ド・モルガンの法則
　 　　　 シ　（ソ）　∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　セＥＩ
１２　　　シ　（タ）～∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）＆∃ｘ（象ｘ＆　兎ｘ）　　　　　　　　　　サソ＆Ｉ
１２　　　　　（チ）　～～（象ａ→～兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シタＲＡＡ
１２　　　　　（ツ）　　　（象ａ→～兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チＤＮ
　　　　　　テ（テ）　　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　テ（ト）　　　　　　～～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テＤＮ
１２　　　　テ（ナ）　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツトＭＴＴ
１２　　　　　（ニ）　　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テナＣＰ
１２　　　　　（ヌ）　∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ニＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。
といふ『推論』、すなはち、
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、　鼻以外は長くない。　然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（ⅳ）兎は象ではない。
といふ『推論』は「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』が、「妥当」であるならば、
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、　鼻以外は長くない。　然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」であり、
（ⅰ）象といふ動物のパーツ（部分）の中では、鼻は長く、　鼻以外は長くない。　然るに、
（ⅱ）兎といふ動物のパーツ（部分）の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
（〃）兎は象ではない。
といふ『推論』が、「妥当」であるならば、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳は長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ『推論』は、
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ『推論』に「他ならない」。
従って、
（07）により、
（08）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）により、
（09）
② 象は鼻が長い動物である。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆動物ｘ｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くなく）、その上、ｘは動物である｝。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
③ 象は動物である。
④ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるなら、ｘは動物である｝。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「番号」を付け直すとして、
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻が長い動物である。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ｝。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆動物ｘ｝。
といふ「述語論理式」に「対応」する。
然るに、
（11）により、
（12）
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻が長い動物である。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は
② 象は
③ 象は
といふ「主語（主辞）」は、３つとも、「述語論理的」には、
① ∀ｘ｛象ｘ→
② ∀ｘ｛象ｘ→
③ ∀ｘ｛象ｘ→
であって、「区別」は無い。
従って、
（13）
① 象は動物である。
に於ける、
① 象は が「主語」であるならば、
① 象は動物である。
② 象は鼻が長い。
③ 象は鼻が長い動物である。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は
② 象は
③ 象は
は、３つとも、「主語（主辞）」である。
然るに、
（14）
「象は鼻が長い」はどれが主辞がわからないから、このままでは非論理的な構造の文である、と言う人がもしあった（沢田『入門』二九ペ）とすれば、その人は旧『論理学』を知らない人であろう、これはこのままで、
　象は　鼻が長い。
　主辞　賓辞
とはっきりしている。速水式に簡単明リョウである。意味も、主辞賓辞の関係も小学生にもわかるはずの文である。これに文句をつけたり、それを取り次いだりするのは、人々が西洋文法に巻かれていることを語る以外の何物でもない。このまま定理扱いしてもよろしい。そしてこの定理の逆は真でないとして、鼻の長いもの例に、鞍馬山の天狗だの、池の尾の禅珍内供だのを上げるのも一興だろう。それでおしまいである（三上章、日本語の論理、1963年、１３・１４頁）。
従って、
（13）（14）により、
（15）
三上章 による、
　象は　鼻が長い。
　主辞　賓辞
とはっきりしている。 といふ「意見」は、「述語論理的」には、「正しい」。
然るに、
（16）

といふ『主語を殺した男』といふ「タイトル」が示してゐる通り、に、三上章先生は、固より、「（日本語に於ける）主語」といふモノを、認めない。
令和６年２月２４日、毛利太。

「（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ」の「対偶」について。

（01）
① （Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、明らかに「偽（矛盾）」である（？？）。
然るに、
（02）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅰ）
１（１）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　１含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
１（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　４＆Ｅ
１（７）　　　　　　　　　～Ｐ　　３＆Ｅ
１（８）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　５７＆Ｉ
１（９）　　　（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ　　６８＆Ｉ
（〃）
１（１）　　　（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ　　Ａ
１（２）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ
１（４）　　　　　　～Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１（５）　　　　　　　　　　Ｑ　　１＆Ｅ
１（６）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３５＆I
１（７）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ　　４６＆I
１（８）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｐ｝　７ド・モルガンの法則
１（９）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ｝　８含意の定義
従って、
（02）により、
（03）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であるものの、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であれば、
①（矛盾）＆Ｑ
であって、
①（矛盾）＆Ｑ
は、「偽」である。
然るに、
（04）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅱ）
１（１）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝　Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝　１含意の定義
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆　Ｐ　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
（ⅲ）
１（１）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　Ａ
１（２）　　　　Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　（Ｐ＆Ｑ）＆　Ｐ　　１２＆Ｉ
１（４）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝　３ド・モルガンの法則
１（５）　～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝　４含意の定義
従って、
（04）により、
（05）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
③ 　Ｐ＆Ｑ
であるものの、
③ 　Ｐ＆Ｑ
は、それ自体は、「真」でも、「偽」でもない。
然るに、
（04）により、
（06）
いづれにせよ、
② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③　　　 Ｐ＆Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
② ～～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③　 　～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② 　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
然るに、
（09）
（ⅲ）
１　　（１）～（Ｐ＆Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆Ｑ）　　１３＆Ｉ
１２　（６）　　　～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　Ｐ→～Ｑ　　　２６ＣＰ
（ⅳ）
１　　（１）　Ｐ→～Ｑ　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　～Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　（６）　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　２６ＲＡＡ
従って、
（09）により、
（10）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④　 Ｐ→～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
② 　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ 　　Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（12）
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　Ａ
１　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ　Ａ
　３　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ
　３　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　ド・モルガンの法則
　３　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　～Ｐ　Ａ
　　６（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ　７∨Ｉ
１　　（８）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　１３５６７∨Ｅ
１　　（９）～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　８交換法則
１　　（ア）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　９冪等律
１　　（イ）　Ｐ→～Ｑ　　　　　ア含意の定義
（ⅲ）
１　　（１）　　Ｐ→～Ｑ　　　　　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　１含意の定義
１　　（３）　～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　２冪等律。
１　　（４）　～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　３交換法則
１　　（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ　４結合法則
　６　（６）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　Ａ
　６　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　６ド・モルガンの法則
　６　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　～Ｐ　Ａ
　　９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　９∨Ｉ
１　　（イ）　（Ｐ＆Ｑ）→　～Ｐ　　ア含意の定義
従って、
（12）により、
（13）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③  Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　２　（３）　　　　　　～～Ｐ　２ＤＮ
１２　（４）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　１３ＭＴＴ
１２　（５）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　４ド・モルガンの法則
１２　（６）　Ｐ→～Ｑ　　　　　５含意の定義
１　　（７）　Ｐ→（Ｐ→～Ｑ）　２６ＣＰ
　　８（８）　Ｐ　　　　　　　　Ａ
１　８（９）　　　　Ｐ→～Ｑ　　７８ＭＰＰ
１　８（ア）　　　　　　～Ｑ　　８９ＭＰＰ
１　　（イ）　Ｐ→～Ｑ　　　　　８アＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　Ｐ→～Ｑ　　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆　Ｑ　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　～Ｑ　　　　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　Ｑ　　　　　２＆Ｅ
１２　（６）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　２６ＲＡＡ
１　　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ　７∨Ｉ
１　　（９）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　８含意の定義
従って、
（14）により、
（15）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③  Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ は「対偶」である。
従って、
（12）（15）により、
（16）
（ⅱ）
１　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ　Ａ
１　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ　Ａ
　３　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ
　３　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　ド・モルガンの法則
　３　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　～Ｐ　Ａ
　　６（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ　７∨Ｉ
１　　（８）～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　１３５６７∨Ｅ
１　　（９）～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　８交換法則
１　　（ア）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　９冪等律
１　　（イ）　Ｐ→～Ｑ　　　　　ア含意の定義
（ⅲ）
１　　（１）　　Ｐ→～Ｑ　　　　　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　１含意の定義
１　　（３）　～Ｐ∨～Ｐ∨　～Ｑ　２冪等律。
１　　（４）　～Ｐ∨～Ｑ∨　～Ｐ　３交換法則
１　　（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ　４結合法則
　６　（６）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　Ａ
　６　（７）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　６ド・モルガンの法則
　６　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　７∨Ｉ
　　９（９）　　　　　　　　～Ｐ　Ａ
　　９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨　～Ｐ　９∨Ｉ
１　　（イ）　（Ｐ＆Ｑ）→　～Ｐ　　ア含意の定義
といふ「計算」は、結局は、「対偶の計算」であった。
といふことになる。
従って、
（11）～（16）により、
（17）
いづれにせよ、
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③  Ｐ→～Ｑ
に於いて、すなはち、
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（17）により、
（18）
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
といふ「命題」は、言ふまでもなく、「矛盾」ではない。
従って、
（01）（18）により、
（19）
① （Ｐ＆Ｑ）→　Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、決して、「偽（矛盾）」ではない（！！）。
令和６年２月２３日、毛利太。

「恒真式（トートロジー」ではない「式」の作り方。

（01）
１（１）　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅱ）
１（１）　　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　Ｑ　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅲ
１（１）　　　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅳ
１　（１）　　　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１　（２）　　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ
　２（３）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ
　２（４）　　　　　　Ｑ　　　　３＆Ｅ
１２（５）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２５ＲＡＡ
１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ　　　６∨Ｉ
１　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　７∨Ｉ
１　（９）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　８含意の定義
（ⅴ
１（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅵ
１（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　Ｑ　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅶ
１（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅷ
１　（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１　（２）　　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ
　２（３）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　Ａ
　２（４）　　　　　　Ｑ　　　　３＆Ｅ
１２（５）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　３４＆Ｉ
１　（６）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２５ＲＡＡ
１　（７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ　　　６∨Ｉ
１　（８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ　７∨Ｉ
１　（９）　　Ｐ＆Ｑ→　Ｑ∨Ｒ　８含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
① 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ 　（～Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）に、「等しい」。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨　～Ｑ∨Ｒ　　Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　１結合法則
１（３）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）　２含意の定義
（〃）
１（１）　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）　Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　１含意の定義
１（３）～Ｐ∨　～Ｑ∨Ｒ　　２結合法則
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ 　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）に、「等しく」、
⑥ 　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）は、「含意の定義」により、
⑥ 　　～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）に、「等しい」。
従って、
（07）により、
（08）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、
⑥ を「否定」すると、
⑥ 　　～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
であるため、「否定」をする前の、
⑥ 自体は、 「二重否定」により、
⑥ ～（～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
でなければ、ならない。
従って、
（02）（08）により、
（09）
この場合は、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
のやうに、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風には、ならずに、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風に、なるに「違ひない」。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１（１）　　　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅱ）
１（１）　　Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～～Ｐ　　　　　　　２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　４∨Ｉ
１（６）　～Ｐ→Ｑ∨Ｒ　　　５∨Ｉ
（ⅲ）
１（１）　　　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅳ）
１（１）　　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１（２）　　Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１（３）～～Ｐ　　　　　　　２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　　　４∨Ｉ
１（６）　～Ｐ→Ｑ∨Ｒ　　　５∨Ｉ
（ⅴ）
１（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　３∨Ｉ
１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　４含意の定義
（ⅵ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
１２　　（４）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　２３ＭＰＰ
　　５　（５）　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
１　　　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　１＆Ｅ
１　５　（７）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　５６＆Ｉ
　　５　（８）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　１７ＲＡＡ
　　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　Ａ
１　　　（ア）　　　　　　　　～Ｒ　　１＆Ｅ
１　　９（イ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　９ア＆Ｉ
　　　９（ウ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　１イＲＡＡ
１２　　（エ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　４５８９ウ∨Ｅ
１２　　（オ）　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　２オＲＡＡ
（ⅶ）
１（１）　　～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ　Ａ
１（２）　　　　　　　　　Ｒ　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　　　２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　３∨Ｉ
１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　　　４含意の定義
（ⅷ）
１（１）　～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ　Ａ
１（２）　　　　～Ｑ　　　　１＆Ｅ
１（３）　　　　～Ｑ∨Ｒ　　２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　３∨Ｉ
１（５）　～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ　　４含意の定義
従って、
（09）（10）により、
（11）
果たして、
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ 　　Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である。
然るに、
（12）
（ⅵ）
１　　　（１）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１２　　（４）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　２３ＭＰＰ
　　５　（５）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
１　　　（６）　　　　　　Ｑ　　　　　　１＆Ｅ
１　５　（７）　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　　６７＆Ｉ
　　５　（８）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１７ＲＡＡ
　　　９（９）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
１　　　（ア）　　　　　　　　～Ｒ　　　１＆Ｅ
１　　９（イ）　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　　９ア＆Ｉ
　　　９（ウ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１イＲＡＡ
１２　　（エ）～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　４５８９ウ∨Ｉ
１２　　（オ）　（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　～（～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　２オＲＡＡ
（〃）
１　　　（１）～（～Ｐ→～Ｑ∨　Ｒ）　　Ａ
１　　　（２）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　１含意の定義
　３　　（３）　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　３　　（４）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　３∨Ｉ
　３　　（５）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　４∨Ｉ
１３　　（６）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　
　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２５＆Ｉ
１　　　（７）　　～Ｐ　　　　　　　　　５６ＲＡＡ
　　８　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　８　（９）　　　Ｐ∨～Ｑ　　　　　　８∨Ｉ
　　８　（ア）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　９∨Ｉ
１　８　（イ）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　
　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２ア＆Ｉ
１　　　（ウ）　　　　～～Ｑ　　　　　　８ＲＡＡ
１　　　（エ）　　　　　　Ｑ　　　　　　ウＤＮ
　　　オ（オ）　　　　　　　　　Ｒ　　　Ａ
　　　オ（カ）　　　　　～Ｑ∨　Ｒ　　　オ∨Ｉ
　　　オ（キ）　　　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ　　　∨Ｉ
１　　オ（ク）～（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）＆　
　　　　　　　　（　Ｐ∨～Ｑ∨　Ｒ）　　２キ＆Ｉ
１　　　（ケ）　　　　　　　　～Ｒ　　　オクＲＡＡ
１　　　（コ）　　～Ｐ＆　Ｑ　　　　　　７エ＆Ｉ
１　　　（サ）　　～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ　　　ケコ＆Ｉ
従って、
（12）により、
（13）
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ 　├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
であるだけではなく、
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
である。
従って、
（11）（13）により、
（14）
① 　Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
②　 Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ 　Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ 　Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆　Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆　Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である一方で、
⑥ ～Ｐ＆　Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
であるため、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」、
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
⑥ 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことには、ならない。
従って、
（03）（14）により、
（15）
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
⑥ は、「恒真式（トートロジー）」ではない。
令和６年２月２２日、毛利太。

「ある入門書」にある「述語論理」の「例題」（Ⅱ）。

（01）
たとえ名辞が三つに限られていても、ヴェン図形では処理できない推論がある。
たとえば、以下の推論を考えよう。
　　もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
　　しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴　論理学の問題はどれもやさしくない。
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
結合子については、われわれの推論の方法をすでに習得している。
結合子で結ばれた命題については、ヴェン図で処理できるだろう。
しかし、この二つ混ざった命題については、われわれはどう処理してよいのかまだわからないのである。
われわれは本格的な述語論理へすすまなければならない。
（昭和堂入門選書２５、論理学基礎、1994年、１１４頁）
然るに、
（02）
「昭和堂入門選書２５、論理学基礎」には、
　　もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
　　しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴　論理学の問題はどれもやさしくない。
に対する、「述語論理」よる「証明（解答）」が、示されてゐない。
加へて、
（03）
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とすると、私には、「証明（解答）」が書けない。
従って、
（04）
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
といふ「第一の前提」に関しては、
特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とはせずに、
全称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
としたいものの、その場合、「証明（解答）」は、次（05）の通りとなる。
すなはち、
（05）
論理＝論理学の問題である。
容易＝易しい。
学生＝受講者である。
単位＝論理学の単位がもらえる。
であるとして、
１　　　（１）　　　∀ｘ｛論理ｘ＆容易ｘ→∀ｙ（学生ｙ→単位ｙｘ）｝　Ａ
　２　　（２）　　　∃ｙ（学生ｙ＆～単位ｙａ）　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（３）　　　　　　論理ａ＆容易ａ→∀ｙ（学生ｙ→単位ｙａ）　　１ＵＥ
　　４　（４）　　　　　　学生ｂ＆～単位ｂａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　５（５）　　　　　　論理ａ＆容易ａ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　５（６）　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（学生ｙ→単位ｙａ）　　３５ＭＰＰ
１　　５（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　学生ｂ→単位ｂａ　　　６ＵＥ
　　４　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　学生ｂ　　　　　　　　４＆Ｅ
１　４５（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　単位ｂａ　　　７８ＭＰＰ
１　４５（ア）　　　　　　　　　　　　　　　～単位ｂａ　　　　　　　　４＆Ｅ
１　４５（イ）　　　　　　　　　　　　　　　～単位ｂａ＆単位ｂａ　　　９ア＆Ｉ
１　４　（ウ）　　　　～（論理ａ＆容易ａ）　　　　　　　　　　　　　　５イＲＡＡ
１　４　（エ）　　　　～論理ａ∨～容易ａ　　　　　　　　　　　　　　　ウ、ド・モルガンの法則
１　４　（オ）　　　　　論理ａ→～容易ａ　　　　　　　　　　　　　　　エ含意の定義
１　４　（カ）　　∀ｘ（論理ｘ→～容易ｘ）　　　　　　　　　　　　　　オＵＩ
１２　　（キ）　　∀ｘ（論理ｘ→～容易ｘ）　　　　　　　　　　　　　　２４カＥＥ
といふ風に、書くことが出来る（はずである）。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
　　もし論理学の問題がやさしければ、すべての学生は単位がもらえる。
　　しかし、ある学生は単位がもらえない。
∴　論理学の問題はどれもやさしくない。
といふ「推論」は、正しい（はずである）。
令和６年２月２０日、毛利太。

「ある入門書」にある「論理学」の「例題」。

（01）
他方、ヴェン図は、三段論法の枠にはまらない推論にも使える。
たとえば、次の推論を考えてみよう。
　　哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
　　すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴　あるエゴイストは嘘つきではない。
（昭和堂入門選書２５、論理学基礎、1994年、１１２頁）
然るに、
（02）
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
① すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
といふことは、
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（05）
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
（06）
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐて、その哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
（07）
③ 嘘つきでない者がゐて、その者はエゴイストである。
といふのであれば、
② あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ、ことになる。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
「日本語」で考へる限り、たしかに、
　　哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
　　すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴　あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（09）
１　　（１）　∀ｘ（哲学者ｘ→　エゴイストｘ∨嘘つきｘ）　Ａ
　２　（２）～∀ｘ（哲学者ｘ→　嘘つきｘ）　　　　　　　　Ａ
１　　（３）　　　　哲学者ａ→　エゴイストａ∨嘘つきａ　　１ＵＥ
　２　（４）∃ｘ～（哲学者ｘ→　嘘つきｘ）　　　　　　　　２量化子の関係
　　５（５）　　～（哲学者ａ→　嘘つきａ）　　　　　　　　Ａ
　　５（６）　～（～哲学者ａ∨　嘘つきａ）　　　　　　　　５含意の定義
　　５（７）　　　　哲学者ａ＆～嘘つきａ　　　　　　　　　６ド・モルガンの法則
　　５（８）　　　　哲学者ａ　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　５（９）　　　　　　　　　～嘘つきａ　　　　　　　　　７＆Ｅ
１　５（ア）　　　　　　　　　　エゴイストａ∨嘘つきａ　　３８ＭＰＰ
１　５（イ）　　　　　　　　　　嘘つきａ∨エゴイストａ　　ア交換法則
１　５（ウ）　　　　　　　　～～嘘つきａ∨エゴイストａ　　イＤＮ
１　５（エ）　　　　　　　　　～嘘つきａ→エゴイストａ　　ウ含意の定義
１　５（オ）　　　　　　　　　　　　　　　エゴイストａ　　９エＭＰＰ
１　５（カ）　　　　　　　　　エゴイストａ＆～嘘つきａ　　９オ＆Ｉ
１　５（キ）　　　　　　∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ）　カＥＩ
１２　（ク）　　　　　　∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ）　４５キＥＥ
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ）　∀ｘ（哲学者ｘ→　エゴイストｘ∨嘘つきｘ）。然るに、
（ⅱ）～∀ｘ（哲学者ｘ→　嘘つきｘ）。　従って、
（ⅲ）　∃ｘ（エゴイストｘ＆～嘘つきｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが哲学者であるならば、ｘはエゴイストであるか、または、ｘは嘘つきである）。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて（ｘが哲学者であるならば、ｘは嘘つきである）といふわけではない。従って、
（ⅲ）　　あるｘについて（ｘはエゴイストであるが、ｘは嘘つきではない）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
　　哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
　　すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴　あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「日本語」で考へても、「述語論理」で「計算」しても、「妥当」である。
然るに、
（12）
法律家、つまり弁護士とか裁判官とか検事などは、
自分たちが論理を得意とすると思っているようです。
（横浜の弁護士のブログ）
従って、
（11）（12）により、
（13）
「弁護士とか裁判官とか検事」などは、
　　原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
　　すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴　あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来ることが「期待」される。
然るに、
（14）
でも、他分野の学問にそれなりに触れた人にとっては、
法律家が論理を理解しているようには思えないと思います。
むしろ、法律学というのは極めて非論理的なものという印象を抱くのではないでしょうか。
然るに、
（15）
短答式試験の試験科目は、民法、憲法、刑法の計3科目です。
論文式試験の試験科目は、憲法、行政法、民法、商法、民事訴訟法、刑法、刑事訴訟法、選択科目の系8科目です。
といふ風に、「司法試験の試験科目」に「論理学」は無い。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
大変、「由々しきこと」ではあるものの、恐らくは、ある裁判官は、
　　原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
　　すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴　あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来るとは、限らない（！？）。
令和６年２月１９日、毛利太。

「恒真式（トートロジー）」の「研究」の続き。

―「昨日（令和６年２月１７日）」の「続き」を書きます。―
然るに、
（27）
（ⅰ）
１　　（１）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　　　　　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　　　　Ｑ　　　　　１＆Ｅ
　４　（４）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１４　（５）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　３４＆Ｉ
１４　（６）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　Ｐ　　　　　　　　Ａ
　　７（８）　　　　　　　　Ｐ＆Ｑ　　３７＆Ｉ
１　７（９）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）　８∨Ｉ
１　　（ア）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）　２４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）　Ａ
　２　（２）　～Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　～Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（５）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　３∨Ｉ
　２　（６）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　　　　　４５＆Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ＆Ｑ　　Ａ
　　７（８）　　　　　　　　Ｐ　　　　７＆Ｅ
　　７（９）　　　　　　　　　　Ｑ　　７＆Ｅ
　　７（ア）　　　　　～Ｐ∨Ｐ　　　　８∨Ｉ
　　７（イ）　　　（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　　９ア＆Ｉ
１　　（ウ）（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ　　　　　１２６７イ∨Ｅ
従って、
（27）により、
（28）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である（分配法則）。
然るに、
（29）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
が「真」であるならば、
① Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
② Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
然るに、
（30）
① Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
② Ｐであろうと、Ｐでなかろうと、いづれにせよ、Ｑである。
といふことは、要するに、
① Ｑである。
② Ｑである。
といふことに、「他ならない」。
従って、
（29）（30）により、
（31）
①（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
②（～Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｑ）
といふ「論理式」は、
① Ｑ
② Ｑ
といふ「命題変数」に「等しい」が、言ふまでもなく、
① Ｑ
② Ｑ
といふ「命題変数」は「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（18）（31）により、
（32）
①（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ
②（～Ｐ∨Ｐ）＆Ｑ
に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は「恒真式（トートロジー）」ではない。
令和６年２月１８日、毛利太。