「∃（ある・ゐる）」について。

（ａ）『返り点と括弧』については、『「括弧」の「順番」（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post.html）』他をお読み下さい。
（ｂ）『返り点』については、『「返り点」の「付け方」を教へます（https://kannbunn.blogspot.com/2018/01/blog-post_3.html）』他をお読み下さい。
（01）
すべての人が子をもつ（Everyone has a parent）と、言いたいのだとしよう。われわれは、無理なくつぎのように書く、
① ∀ｘ∃ｙ親（ｘｙ）
（E.J.ﾚﾓﾝ 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、１２６頁改）
然るに、
（02）
① ∀ｘ∃ｙ親（ｘｙ）＝ すべての人が親をもつ（Everyone has a parent）。
といふことは、
① ∀ｘ∃ｙ子（ｘｙ）＝ すべての人はある人の子である（Everyone is a child of someone）。
といふ、ことである。
然るに、
（03）
（04）で示す通り、
①   ∀ｘ  ∃ｙ　囗（ｘｙ）
② ～∃ｘ～∃ｙ　囗（ｘｙ）
③ ～∃ｘ　∀ｙ～囗（ｘｙ）
といふ「論理式」に於いて、
①＝② であって、
①＝③ である。
（04）
（ａ）
　１　　（１）　∀ｘ　∃ｙ囗（ｘｙ）　　Ａ
　１　　（２）　　　　∃ｙ囗（ａｙ）　　１ＵＥ
　　３　（３）　∃ｘ～∃ｙ囗（ｘｙ）　　Ａ
　　　４（４）　　　～∃ｙ囗（ａｙ）　　Ａ
　１　４（５）　　　　∃ｙ囗（ａｙ）＆
　　　　　　　　　　～∃ｙ囗（ａｙ）　　２４＆Ｉ
　１３　（６）　　　　∃ｙ囗（ａｙ）＆
　　　　　　　　　　～∃ｙ囗（ａｙ）　　３４５ＥＥ
　１　　（７）～∃ｘ～∃ｙ囗（ｘｙ）　　３６ＲＡＡ
（ｂ）
１　　　（１）～∃ｘ～∃ｙ囗（ｘｙ）　　Ａ
　２　　（２）～∀ｘ　∃ｙ囗（ｘｙ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～∃ｙ囗（ａｙ）　　Ａ
　　３　（４）　∃ｘ～∃ｙ囗（ｘｙ）　　Ａ
１　３　（５）～∃ｘ～∃ｙ囗（ｘｙ）＆
　　　　　　　　∃ｘ～∃ｙ囗（ｘｙ）　　１４＆Ｉ
１　　　（６）　　～～∃ｙ囗（ａｙ）　　３５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　∃ｙ囗（ａｙ）　　６ＤＮ
１　　　（８）　∀ｘ　∃ｙ囗（ｘｙ）　　７ＵＩ
１２　　（９）～∀ｘ　∃ｙ囗（ｘｙ）＆
　　　　　　　　∀ｘ　∃ｙ囗（ｘｙ）　　２８＆Ｉ
１　　　（ア）～～∀ｘ∃ｙ囗（ｘｙ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　∀ｘ∃ｙ囗（ｘｙ）　　アＤＮ
（ｃ）
１　　　（１）　　∀ｘ∃ｙ　囗（ｘｙ）　Ａ
１　　　（２）　　　　∃ｙ　囗（ａｙ）　１ＵＥ
　３　　（３）　　　　　　　囗（ａｂ）　Ａ
　　４　（４）　　∃ｘ∀ｙ～囗（ｘｙ）　Ａ
　　　５（５）　　　　∀ｙ～囗（ａｙ）　Ａ
　　　５（６）　　　　　　～囗（ａｂ）　５ＵＥ
　３　５（７）囗（ａｂ）＆～囗（ａｂ）　３５＆Ｉ
　３４　（８）囗（ａｂ）＆～囗（ａｂ）　４５７ＥＥ　
１　４　（９）囗（ａｂ）＆～囗（ａｂ）　１３８ＥＥ
１　　　（ア）　～∃ｘ∀ｙ～囗（ｘｙ）　４９ＲＡＡ
（ｄ）
１　　　（１）～∃ｘ∀ｙ～囗（ｘｙ）　　Ａ
　２　　（２）　　　∀ｙ～囗（ａｙ）　　Ａ
　２　　（３）　∃ｘ∀ｙ～囗（ｘｙ）　　２ＥＩ
１２　　（４）～∃ｘ∀ｙ～囗（ｘｙ）＆
　　　　　　　　∃ｘ∀ｙ～囗（ｘｙ）　　１３＆Ｉ
１　　　（５）　　～∀ｙ～囗（ａｙ）　　２４ＲＡＡ
　　６　（６）　　～∃ｙ　囗（ａｙ）　　Ａ
　　　７（７）　　　　　　囗（ａｙ）　　Ａ
　　　７（８）　　　∃ｙ　囗（ａｙ）　　７ＥＩ
　　６７（９）　　～∃ｙ　囗（ａｙ）＆
　　　　　　　　　　∃ｙ　囗（ａｙ）　　６７＆Ｉ
　　６　（ア）　　　　　～囗（ａｙ）　　７９ＲＡＡ
　　６　（イ）　　　∀ｙ～囗（ａｙ）　　アＵＩ
１　６　（ウ）　　～∀ｙ～囗（ａｙ）＆
　　　　　　　　　　∀ｙ～囗（ａｙ）　　５イ＆Ｉ
１　　　（エ）　～～∃ｙ　囗（ａｙ）　　６ウＲＡＡ
１　　　（オ）　　　∃ｙ　囗（ａｙ）　　エＤＮ
１　　　（カ）　∀ｘ∃ｙ　囗（ｘｙ）　　オＵＩ
従って、
（01）～（04）により、
（05）
①   ∀ｘ  ∃ｙ　子（ｘｙ）＝ すべての人はある人の子である。
② ～∃ｘ～∃ｙ　子（ｘｙ）＝ ある人に親がゐない。といふことはない。
③ ～∃ｘ　∀ｙ～子（ｘｙ）＝ ある人が、いかなる人の子でもない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
ｃｆ.
① ∀ｘ∃ｙ囗（ｘｙ）＝ ～～｛∀ｘ∃ｙ囗（ｘｙ）｝＝ ～｛∃ｘ～∃ｙ囗（ｘｙ）｝＝ ～｛∃ｘ∀ｘ～囗（ｘｙ）｝
従って、
（05）により、
（06）
① すべての人はある人の子である。
② ある人に親がゐない。といふことはない。
③ ある人が、いかなる人の子でもない。といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことは、「論理学的（logical）」である。
従って、
（07）
① すべての人はある人の子である。
② ある人に親がゐない。といふことはない。
③ ある人が、いかなる人の子でもない。といふことはない。
といふ「日本語」は、「論理学的（logical）」である。
然るに、
（08）
① すべての人はある人の子である。
② ある人に親がゐない。といふことはない。
③ ある人が、いかなる人の子でもない。といふことはない。
といふ「日本語」は、
④ Every person is a child of someone.
⑤ It is not the case that someone has no parent.
⑥ It is not the case that someone is not a child of anyone.
といふ「英語」に、対応する。
従って、
（05）（08）により、
（09）
「日本語」は「英語」よりも「論理学的（logical）」ではない。
といふのであれば、例へば、
② ～∃ｘ～∃ｙ子（ｘｙ）＝ ある人に親がゐない。といふことはない。
⑤ ～∃ｘ～∃ｙ子（ｘｙ）＝ It is not the case that someone has no parent.
に於いて、
② の「右辺」は、⑤ の「右辺」よりも、「論理学的（logical）」ではない。
といふ、ことになる。
然るに、
（10）
存在記号（そんざいきごう、existential quantifier）とは、数理論理学（特に述語論理）において、少なくとも1つのメンバーが述語の特性や関係を満たすことを表す記号である。通常「∃」と表記され、存在量化子（そんざいりょうかし）、存在限量子（そんざいげんりょうし）、存在限定子（そんざいげんていし）などとも呼ばれる。
（ウィキペディア）
従って、
（10）により、
（11）
　「∃」＝「ゐる」
　「∃」＝「ある」
　「∃」＝「有る」
　「∃」＝「在る」
　「∃」＝「存在する」
「～∃」＝「ゐない」
「～∃」＝「存在しない」
といふ、ことになる。
従って、
（09）（11）により、
（12）
② ∃ｘ～∃ｙ子（ｘｙ）＝ ある人には親がゐない。
に於ける、
② 　∃＝ある
② ～∃＝ゐない
に於いて、「右辺」は、「左辺の直訳」である。
然るに、
（09）（12）により、
（13）
⑤ ～∃ｘ～∃ｙ子（ｘｙ）＝ It is not the case that someone has no parent.
に於ける、
② 　∃＝some
② ～∃＝has no
に於いて、「右辺」は、「左辺の直訳」ではない。
従って、
（12）（13）により、
（14）
② ～∃ｘ～∃ｙ子（ｘｙ）＝ ある人に親がゐない。といふことはない。
⑤ ～∃ｘ～∃ｙ子（ｘｙ）＝ It is not the case that someone has no parent.
に於いて、
② の「右辺」は、⑤ の「右辺」よりも、「論理学的（logical）」ではない。
といふことには、ならない。
平成３０年０８月２２日、毛利太。