「対偶」の「真偽」の「一致」について。

（01）
（ⅰ）
１　（１）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　Ａ
１　（２）　　　　象ａ→　動物ａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　　　　　～動物ａ　　Ａ
１３（４）　　　～象ａ　　　　　　　２３ＭＴＴ
１　（５）　　　～動物ａ→～象ａ　　３４ＣＰ
１　（６）∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）　５ＵＩ
（ⅱ）
１　（１）∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）　Ａ
１　（２）　　　～動物ａ→～象ａ　　１ＵＥ
　３（３）　　　　　　　　　象ａ　　Ａ
　３（４）　　　　　　　～～象ａ　　３ＤＮ
１３（５）　　～～動物ａ　　　　　　２４ＭＴＴ
１３（６）　　　　動物ａ　　　　　　５ＤＮ
１　（７）　　　　象ａ→　動物ａ　　３６ＣＰ
１　（８）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　７ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（　象ｘ→　動物ｘ）
② ∀ｘ（～動物ｘ→～象ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて（ｘが象でないならば、ｘは動物でない）。
に於いて、すなはち、
①「象の集合」は、「動物の集合」の「部分集合」である。
②「動物の集合」の「補集合」は「象の集合」の「部分集合」ではない。
に於いて、すなはち、
①「象であるものは動物であるものである。」
②「動物でないものは象でないものである。」
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
①「象であるものは動物であるものである。」
②「動物でないものは象でないものである。」
に於いて、
① は、② の「対偶（contraposition）」であり、
② は、① の「対偶（contraposition）」である。
従って、
（04）
「対偶（の真偽）」は、「（互いに）等しい」。
然るに、
（05）
「Ａである」といふ「事態の集合」
「Ｂである」といふ「事態の集合」
を「想定」しても、
①「事態Ａ」であるならば「事態Ｂ」である。
②「事態Ｂ」でないならば「事態Ａ」でない。
に於いて、
①＝② は「対偶（contraposition）」である。
ｃｆ.
事実は諸「事態」から、そして事態は諸対象から構成されている（ヴィトゲンシュタイン）。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
①「象であるものは動物であるものである。」
②「動物でないものは象でないものである。」
といふ「命題」に於ける、
①＝② を含めて、一般に、
① Ａであるならば、Ｂである。
② Ｂでないならば、Ａでない。
といふ「事態」に於いて、
①＝② は「対偶（contraposition）」である。
因みに、
（07）
（ⅰ）
１　　（１）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　Ａ
　２　（２）　∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　Ａ
１　　（３）　　　　象ａ→　動物ａ　　１ＵＥ
　　４（４）　　　　象ａ＆～動物ａ　　Ａ
　　４（５）　　　　象ａ　　　　　　　４＆Ｅ
１　４（６）　　　　　　　　動物ａ　　３５ＭＰＰ
　　４（７）　　　　　　　～動物ａ　　４＆Ｅ
１　４（８）　　　動物ａ＆～動物ａ　　６７＆Ｉ
　　４（９）～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　１８ＲＡＡ
　２　（ア）～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　２４９ＥＥ
１２　（イ）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）＆
　　　　　　～∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　１ア＆Ｉ
１　　（ウ）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　２イＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）　　Ａ
１　　（２）∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ）　　１量化子の関係
１　　（３）     ～（象ａ＆～動物ａ）　 ２ＵＥ
　４　（４）　　　　象ａ　　　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　～動物ａ　　　Ａ
　４５（６）　　　　象ａ＆～動物ａ　　　４５＆Ｉ
１４５（７）　　～（象ａ＆～動物ａ）＆
　　　　　　　　　（象ａ＆～動物ａ）　　３６＆Ｉ
１４　（８）　　　　　　～～動物ａ　　　５７ＲＡＡ
１４　（９）　　　　　　　　動物ａ　　　８ＤＮ
１　　（ア）　　　　象ａ→　動物ａ　　　９ＣＰ
１　　（イ）　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）　　アＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
① 　∀ｘ（象ｘ→　動物ｘ）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
②（象であって、動物でないｘ）は存在しない。
に於いて、
①＝② は「対偶（contraposition）」である。
令和５年６月２０日、毛利太。