「象は鼻が長い」の「述語論理」の「説明」。

（01）
①｛Ｐ　　｝ならば｛Ｐである｝。
②｛Ｐ＆Ｑ｝ならば｛Ｐである｝。
といふ「演繹推理」に於いて、
① ならば、② である。
従って、
（01）により、
（02）
演繹推理では、前提を追加しても結論は不変である。結論は前提に含まれるものだけを導出するため、
新前提を加えても、これらによって結論が変わるわけではないからである。
（岩波全書、論理学入門、１５６頁）
然るに、
（03）
（ａ）
１　　　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　Ａ
　　３　　　　（３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　（４）　　　象ａ→∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝　１ＵＥ
　２　　　　　（５）　　　兎ａ→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）｝　２ＵＥ
　　　６　　　（６）　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　　（７）　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　　（８）　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　　（９）　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
　２　６　　　（ア）　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　５８ＭＰＰ
１　　６　　　（イ）　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　９ＵＥ
　　　　ウ　　（ウ）　　　　　　　　　～鼻ｂａ＆　長ｂ　　　Ａ
　　　　ウ　　（エ）　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　　　　　ウ＆Ｅ
１　　６ウ　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　イエＭＰＰ
　　　　ウ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　ウ＆Ｅ
１　　６ウ　　（キ）　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　オア＆Ｉ
１２　６　　　（ク）　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　アウキＥＥ
１２３　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　～長ｂ＆長ｂ　　　３６クＥＥ
１２　　　　　（コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　３ケＲＡＡ
１２　　　　　（サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　コ量化子の関係
１２　　　　　（シ）　　～（象ａ＆兎ａ）　　　　　　　　　　サＵＥ
　　　　　ス　（ス）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　セ（セ）　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　スセ（ソ）　　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　スセ＆Ｉ
１２　　　スセ（タ）　　～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ）　　シソ＆Ｉ
１２　　　ス　（チ）　　　　　　～兎ａ　　　　　　　　　　　セＲＡＡ
１２　　　　　（ツ）　　　象ａ→～兎ａ　　　　　　　　　　　スチＣＰ
１２　　　　　（テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　ツＵＩ
（ｂ）
１　　　　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　　　（２）　∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝　　　　　　　　　Ａ
　　３　　　　（３）　∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　　（４）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　　　（５）　　　　兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　６　　　（６）　　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　　　（７）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　　（８）　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
１　　６　　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　９ＵＩ
　２　６　　　（イ）　　　　　　　∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ）　　　　　　　　　　５８ＭＰＰ
　　　　ウ　　（ウ）　　　　　　　　　　耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ウ　　（エ）　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　　　　ウ　　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
１　　６ウ　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　アエＭＰＰ
１　　６ウ　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　オカ＆Ｉ
１２　６　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　イウキＥＥ
１２３　　　　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　３６クＥＥ
１２　　　　　（コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３ケＲＡＡ
１２　　　　　（サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コ量化子の関係
１２　　　　　（シ）　　～（象ａ＆兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　サＵＥ
　　　　　ス　（ス）　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　セ（セ）　　　　　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　スセ（ソ）　　　　象ａ＆兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スセ＆Ｉ
１２　　　スセ（タ）　　～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ）　　　　　　　　　　　　　　シソ＆Ｉ
１２　　　ス　（チ）　　　　　　～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　セタＲＡＡ
１２　　　　　（ツ）　　　象ａ→～兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スチＣＰ
１２　　　　　（テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツＵＩ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
『演繹推理では、前提を追加しても結論は不変である。』
といふ「理由」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」は、「事実上」、
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
⑤ ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
⑥ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」に、「等しい」。
従って、
（04）により、
（05）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻ではないが、ｚは長い）｝。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「推論」は、「事実上」、
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
⑤ すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、長いが、ｚは鼻ではない）｝。
⑥ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「推論」に、「等しい」。
従って、
（02）（04）（05）により、
（06）
④ 象は鼻が長い。　　　　　　　　　然るに、
⑤ 兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
⑥ 象は兎ではない。
といふ「推論」は、「事実上」、
① 象は、鼻以外は長くない。然るに、
② 兎は、鼻以外が長い。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」に、「等しい」。
従って、
（06）により、
（07）
④ 象は鼻が長い。　　　　　　　　　然るに、
⑤ 兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
⑥ 象は兎ではない。
といふ「推論」が「妥当」であるならば、
④ 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、「必然的」に、
① 象は、鼻以外は長くない。
といふ「意味」を「含意」する。
然るに、
（08）
④ 象は鼻が長い。　　　　　　　　　然るに、
⑤ 兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
⑥ 象は兎ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
④ 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、「必然的」に、
① 象は鼻以外は長くない。
といふ「意味」を「含意」する。
従って、
（04）（05）（09）により、
（10）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が、「成立」する。
令和５年６月１０日、毛利太。