（01）
練習問題 １
１ つぎの連式の妥当性を証明せよ。
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１７４頁）
〔（私の）解答〕：
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
１（１）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ） Ａ
１（２） ∀ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ） １ＵＥ
１（３） ∀ｚ（Ｆａｂｚ） ２ＵＥ
１（４） Ｆａｂｃ ３ＵＥ
１（５） ∀ｘ（Ｆｘｂｃ） ４ＵＩ
１（６） ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｃ） ５ＵＩ
１（７）∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ） ６ＵＩ
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ） Ａ
１ （２） ∃ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ） １ＵＥ
２（３） ∀ｚ（Ｆａｂｚ） Ａ
２（４） Ｆａｂｃ １ＵＥ
２（５） ∃ｙ（Ｆａｙｃ） ４ＥＩ
２（６） ∀ｚ∃ｙ（Ｆａｙｚ） ５ＵＩ
１ （７） ∀ｚ∃ｙ（Ｆａｙｚ） １２６ＥＥ
１ （８）∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ） ７ＵＩ
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
１ （１）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ） Ａ
２ （２） ∃ｙ∀ｚ（Ｆａｙｚ） Ａ
３（３） ∀ｚ（Ｆａｂｚ） Ａ
３（４） Ｆａｂｃ ３ＵＥ
３（５） ∃ｘ（Ｆｘｂｃ） ４ＥＩ
２ （６） ∃ｘ（Ｆｘｂｃ） ２３５ＥＥ
２ （７） ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｃ） ６ＥＩ
２ （８）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ） ７ＵＩ
１ （９）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ） １２８ＥＥ
然るに、
（02）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、連言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ） （Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）＆（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）＆（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝
（α）∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、連言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ
（ⅳ） （Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ）＆（Ｆａｙｚ＆Ｆｂｙｚ）
（ⅴ） （Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）
（ⅵ）｛（Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）｝＆｛（Ｆａａｚ＆Ｆｂａｚ）＆（Ｆａｂｚ＆Ｆｂｂｚ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆｂａａ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆａｂｂ＆Ｆｂｂｂ）｝
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、選言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ） （Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）∨（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝
（β）∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）：（（選言の）、連言の）、連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ∨Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ
（ⅳ） （Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ）＆（Ｆｘａｚ∨Ｆｘｂｚ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ∨Ｆｘｂａ）＆（Ｆｘａｂ∨Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ∨Ｆａｂａ）＆（Ｆａａｂ∨Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ∨Ｆｂｂａ）＆（Ｆｂａｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）：（（連言の）、選言の、）選言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ＆Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ
（ⅳ） （Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）∨（Ｆｘｙａ＆Ｆｘｙｂ）
（ⅴ） （Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）
（ⅵ）｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝＆｛（Ｆｘａａ＆Ｆｘａｂ）∨（Ｆｘｂａ＆Ｆｘｂｂ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝
（γ）∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）：（選言の）、選言の、）連言。
（ⅰ） Ｆｘｙｚ
（ⅱ） Ｆｘｙｚ∨Ｆｘｙｚ
（ⅲ） Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ
（ⅳ） （Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ）∨（Ｆａｙｚ∨Ｆｂｙｚ）
（ⅴ） （Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）
（ⅵ）｛（Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）｝＆｛（Ｆａａｚ∨Ｆｂａｚ）∨（Ｆａｂｚ∨Ｆｂｂｚ）｝
（ⅶ）｛（Ｆａａａ∨Ｆｂａａ）∨（Ｆａｂａ∨Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ∨Ｆｂａｂ）∨（Ｆａｂｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
従って、
（03）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
といふ「連式（sequents）」は、｛ａ，ｂ｝のみを含む、「２つの対象」から成る「世界」に於いて、それぞれ、
（ａ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝┤├
（α）｛（Ｆａａａ＆Ｆｂａａ）＆（Ｆａｂａ＆Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ＆Ｆｂａｂ）＆（Ｆａｂｂ＆Ｆｂｂｂ）｝
（ｂ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝├
（β）｛（Ｆａａａ∨Ｆａｂａ）＆（Ｆａａｂ∨Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ∨Ｆｂｂａ）＆（Ｆｂａｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
（ｃ）｛（Ｆａａａ＆Ｆａａｂ）∨（Ｆａｂａ＆Ｆａｂｂ）｝＆｛（Ｆｂａａ＆Ｆｂａｂ）∨（Ｆｂｂａ＆Ｆｂｂｂ）｝├
（γ）｛（Ｆａａａ∨Ｆｂａａ）∨（Ｆａｂａ∨Ｆｂｂａ）｝＆｛（Ｆａａｂ∨Ｆｂａｂ）∨（Ｆａｂｂ∨Ｆｂｂｂ）｝
といふ「連式（sequents）」に「相当」し、尚且つ、「これらの連式」は、３つとも、「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（ａ）∀ｘ∀ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∀ｙ∀ｘ（Ｆｘｙｚ）
（ｂ）∀ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｘ∀ｚ∃ｙ（Ｆｘｙｚ）
（ｃ）∃ｘ∃ｙ∀ｚ（Ｆｘｙｚ）├ ∀ｚ∃ｙ∃ｘ（Ｆｘｙｚ）
といふ「３つの連式（sequents）」すなはち、
（ａ）├ （α）
（ｂ）├ （β）
（ｃ）├ （γ）
といふ「３つの連式（sequents）」が「妥当」である「所以」は、すべて、
① Ｐ＆Ｑ→（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ）
② Ｐ∨Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｑ＆Ｐ）
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
② は、「非妥当（インバリッド）」である、からである。
ｃｆ.
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１（４） Ｑ １＆Ｅ
１（５） Ｑ∨Ｐ ４∨Ｉ
１（６） （Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ） ３５＆Ｉ
（７） Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｑ∨Ｐ） １６ＣＰ
令和０２年０６月０８日、毛利太。
2020年10月8日木曜日
2020年10月7日水曜日
「∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）」と「∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）」の「展開と計算」。
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅱ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅲ）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
同様に、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（01）により、
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
（ⅰ）
１ （１）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｘ（愛ｘｂ） Ａ
２（３） 愛ａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｙ（愛ａｙ） ２ＥＩ
２（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） １２５ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
（ⅰ）
１ （１）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨ （愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ） Ａ
１ （２）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨｛（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）｝ １結合法則
３ （３）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ） Ａ
３ （４） 愛ａａ ３＆Ｅ
３ （５） 愛ａａ∨愛ａｂ∨ ４∨Ｉ
３ （６）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） ５∨Ｉ
３ （７） 愛ｂａ ３＆Ｅ
３ （８） 愛ｂａ∨愛ｂｂ ７∨Ｉ
３ （９） （愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ８∨Ｉ
３ （ア） 愛ｃａ ３＆Ｅ
３ （イ） 愛ｃａ∨愛ｃｂ ア∨Ｉ
３ （ウ） （愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） イ∨Ｉ
３ （エ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ６９＆Ｉ
３ （オ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ウエ＆Ｉ
カ （カ） ｛（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）｝ Ａ
キ （キ） （愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ） Ａ
キ （ク） 愛ａｂ キ＆Ｅ
キ （ケ） 愛ａａ∨愛ａｂ ク∨Ｉ
キ （コ） （愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） ケ∨Ｉ
キ （サ） 愛ｂｂ キ＆Ｅ
キ （シ） 愛ｂａ∨愛ｂｂ サ∨Ｉ
キ （ス） （愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） シ∨Ｉ
キ （セ） 愛ｃｂ キ＆Ｅ
キ （ソ） 愛ｃｂ∨愛ｃｃ セ∨Ｉ
キ （タ） （愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ソ∨Ｉ
キ （チ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） コス＆Ｉ
キ （ツ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） タチ＆Ｉ
テ（テ） （愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ） Ａ
テ（ト） 愛ａｃ テ＆Ｅ
テ（ナ） 愛ａｂ∨愛ａｃ ト∨Ｉ
テ（ニ） （愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） ナ∨Ｉ
テ（ヌ） 愛ｂｃ ニ＆Ｅ
テ（ネ） 愛ｂｂ∨愛ｂｃ ヌ∨Ｉ
テ（ノ） （愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ネ∨Ｉ
テ（ハ） 愛ｃｃ テ＆Ｅ
テ（ヒ） 愛ｃｂ∨愛ｃｃ ハ∨Ｉ
テ（フ） （愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ヒ∨Ｉ
テ（ヘ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ニノ＆Ｉ
テ（ホ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） フヘ＆Ｉ
カ （マ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） カキツテホ∨Ｅ
１ （ミ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ２３オカマ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
然るに、
（02）により、
（04）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｙ（愛ａｙ） １ＵＥ
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
３（５）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） １３５ＥＥ
といふ「述語計算（？）」は、
（ⅱ）
１ （１）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） Ａ
１ （２）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） １＆Ｅ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） 愛ａａ＆愛ａｂ ３３＆Ｉ？
３（〃）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ） ３３＆Ｉ？
３（５）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ） ４∨Ｉ
３（６）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ） ５∨Ｉ
といふ「命題計算（？）」に、「相当」する。
然るに、
（05）
（ⅱ）
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
は、「規則ＵＩ」に対する、「違反」であって、尚且つ、
（ⅱ）
１ （２）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） １＆Ｅ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） 愛ａａ＆愛ａｂ ３３＆Ｉ？
３（〃）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ） ３３＆Ｉ？
といふ「計算（？）」も、「デタラメ」であって、
例へば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
③（愛ａａ ）＆（ 愛ｂｂ ）＆（ 愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であって、
③ ならば、② であるが、
③ と ② は、「同時に真である」ことが、出来るが、
③ と ① は、「同時に真である」ことは、出来ない。
ｃｆ.
１ （１） ①→② Ａ
２ （２） ③→② Ａ
３ （３）～（③＆①） Ａ
４ （４） ②→① Ａ
５（５） ③ Ａ
２ ５（６） ② ２５ＭＰＰ
２ ４５（７） ① ４６ＭＰＰ
２ ４５（８） （③＆①） ５７＆Ｉ
２３４５（９）～（③＆①）＆
（③＆①）
２３ ５（ア）～（②→①） ４９ＲＡＡ
従って、
（01）～（05）により、
（06）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（07）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
の場合は、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）
であっても、「真」である。
従って、
（07）により、
（08）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（ａは、ａ自身を愛してゐて、ｂは、ａを愛してゐて、ｃは、ａを愛してゐる。）
であっても、「真」である。
然るに、
（09）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
①（ａは、ａ自身を愛してゐて、ｂは、ａを愛してゐて、ｃは、ａを愛してゐる。）
といふことは、
① ａといふ、ある人は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）に、愛されてゐる。
といふことに、他ならない。
然るに、
（10）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
の場合は、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）
であれば、「偽」であり、それ故、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
でなければ、「真」には、ならない。
然るに、
（11）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふことは、
②（ａはａ自身を愛してゐるか、または、ａはｂを愛してゐるか、または、ａはｃを愛してゐる。）そして、
②（ｂはａを愛してゐるか、または、ｂはｂ自身を愛してゐるか、または、ｂはｃを愛してゐる、）そして、
②（ｃはａを愛してゐるか、または、ｃはｂを愛してゐるか、または、ｃはｃ自身を愛してゐる。）
といふことであって、といふことは、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（06）～（11）により、
（12）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それそれ、
① ある人は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）に、愛されてゐる。
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
① 例へば、ａが、すべての人によって愛されてゐる。
といふのであれば、
② すべての人は、ある人（ａ）を愛してゐる。
然るに、
（14）
② すべての人が、ある人を愛してゐる。
としても、
② すべての人が、一人の、同じ人物（例へば、ａ）を愛してゐる。
とは、限らない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡ ある人は、すべての人によって、愛されてゐる。
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡ すべての人が、ある人を愛してゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
令和０２年１０月０７日、毛利太。
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅱ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅲ）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
同様に、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（01）により、
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
（ⅰ）
１ （１）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｘ（愛ｘｂ） Ａ
２（３） 愛ａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｙ（愛ａｙ） ２ＥＩ
２（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） １２５ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
（ⅰ）
１ （１）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨ （愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ） Ａ
１ （２）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨｛（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）｝ １結合法則
３ （３）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ） Ａ
３ （４） 愛ａａ ３＆Ｅ
３ （５） 愛ａａ∨愛ａｂ∨ ４∨Ｉ
３ （６）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） ５∨Ｉ
３ （７） 愛ｂａ ３＆Ｅ
３ （８） 愛ｂａ∨愛ｂｂ ７∨Ｉ
３ （９） （愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ８∨Ｉ
３ （ア） 愛ｃａ ３＆Ｅ
３ （イ） 愛ｃａ∨愛ｃｂ ア∨Ｉ
３ （ウ） （愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） イ∨Ｉ
３ （エ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ６９＆Ｉ
３ （オ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ウエ＆Ｉ
カ （カ） ｛（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）｝ Ａ
キ （キ） （愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ） Ａ
キ （ク） 愛ａｂ キ＆Ｅ
キ （ケ） 愛ａａ∨愛ａｂ ク∨Ｉ
キ （コ） （愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） ケ∨Ｉ
キ （サ） 愛ｂｂ キ＆Ｅ
キ （シ） 愛ｂａ∨愛ｂｂ サ∨Ｉ
キ （ス） （愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） シ∨Ｉ
キ （セ） 愛ｃｂ キ＆Ｅ
キ （ソ） 愛ｃｂ∨愛ｃｃ セ∨Ｉ
キ （タ） （愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ソ∨Ｉ
キ （チ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） コス＆Ｉ
キ （ツ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） タチ＆Ｉ
テ（テ） （愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ） Ａ
テ（ト） 愛ａｃ テ＆Ｅ
テ（ナ） 愛ａｂ∨愛ａｃ ト∨Ｉ
テ（ニ） （愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） ナ∨Ｉ
テ（ヌ） 愛ｂｃ ニ＆Ｅ
テ（ネ） 愛ｂｂ∨愛ｂｃ ヌ∨Ｉ
テ（ノ） （愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ネ∨Ｉ
テ（ハ） 愛ｃｃ テ＆Ｅ
テ（ヒ） 愛ｃｂ∨愛ｃｃ ハ∨Ｉ
テ（フ） （愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ヒ∨Ｉ
テ（ヘ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ） ニノ＆Ｉ
テ（ホ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） フヘ＆Ｉ
カ （マ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） カキツテホ∨Ｅ
１ （ミ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） ２３オカマ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
然るに、
（02）により、
（04）
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｙ（愛ａｙ） １ＵＥ
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
３（５）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） １３５ＥＥ
といふ「述語計算（？）」は、
（ⅱ）
１ （１）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ） Ａ
１ （２）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） １＆Ｅ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） 愛ａａ＆愛ａｂ ３３＆Ｉ？
３（〃）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ） ３３＆Ｉ？
３（５）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ） ４∨Ｉ
３（６）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ） ５∨Ｉ
といふ「命題計算（？）」に、「相当」する。
然るに、
（05）
（ⅱ）
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
は、「規則ＵＩ」に対する、「違反」であって、尚且つ、
（ⅱ）
１ （２）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ） １＆Ｅ
３（３） 愛ａｂ Ａ
３（４） 愛ａａ＆愛ａｂ ３３＆Ｉ？
３（〃）（愛ａａ＆愛ａｂ＆愛ｃａ） ３３＆Ｉ？
といふ「計算（？）」も、「デタラメ」であって、
例へば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
③（愛ａａ ）＆（ 愛ｂｂ ）＆（ 愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であって、
③ ならば、② であるが、
③ と ② は、「同時に真である」ことが、出来るが、
③ と ① は、「同時に真である」ことは、出来ない。
ｃｆ.
１ （１） ①→② Ａ
２ （２） ③→② Ａ
３ （３）～（③＆①） Ａ
４ （４） ②→① Ａ
５（５） ③ Ａ
２ ５（６） ② ２５ＭＰＰ
２ ４５（７） ① ４６ＭＰＰ
２ ４５（８） （③＆①） ５７＆Ｉ
２３４５（９）～（③＆①）＆
（③＆①）
２３ ５（ア）～（②→①） ４９ＲＡＡ
従って、
（01）～（05）により、
（06）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（07）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
の場合は、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）
であっても、「真」である。
従って、
（07）により、
（08）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（ａは、ａ自身を愛してゐて、ｂは、ａを愛してゐて、ｃは、ａを愛してゐる。）
であっても、「真」である。
然るに、
（09）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
①（ａは、ａ自身を愛してゐて、ｂは、ａを愛してゐて、ｃは、ａを愛してゐる。）
といふことは、
① ａといふ、ある人は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）に、愛されてゐる。
といふことに、他ならない。
然るに、
（10）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
の場合は、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）
であれば、「偽」であり、それ故、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
でなければ、「真」には、ならない。
然るに、
（11）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふことは、
②（ａはａ自身を愛してゐるか、または、ａはｂを愛してゐるか、または、ａはｃを愛してゐる。）そして、
②（ｂはａを愛してゐるか、または、ｂはｂ自身を愛してゐるか、または、ｂはｃを愛してゐる、）そして、
②（ｃはａを愛してゐるか、または、ｃはｂを愛してゐるか、または、ｃはｃ自身を愛してゐる。）
といふことであって、といふことは、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（06）～（11）により、
（12）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとして、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それそれ、
① ある人は、すべての人（ａ、ｂ、ｃ）に、愛されてゐる。
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
① 例へば、ａが、すべての人によって愛されてゐる。
といふのであれば、
② すべての人は、ある人（ａ）を愛してゐる。
然るに、
（14）
② すべての人が、ある人を愛してゐる。
としても、
② すべての人が、一人の、同じ人物（例へば、ａ）を愛してゐる。
とは、限らない。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡ ある人は、すべての人によって、愛されてゐる。
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡ すべての人が、ある人を愛してゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
令和０２年１０月０７日、毛利太。
2020年10月6日火曜日
「述語論理」と「日本語の主語」について。
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅱ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅲ）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
同様に、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
然るに、
（01）（02）により、
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① ある人はすべての人によって、愛されてゐる（受動態）。
② すべての人は、ある人を愛してゐる（能動態）。
といふ、「意味」である。
然るに、
（04）
「＆（そして）」と「∨（または）」の「働き」からすれば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、明らかに、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
（05）
例へば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
③（愛ａａ ）＆（ 愛ｂｂ ）＆（ 愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であって、
③ ならば、② であるが、
③ と ② は、「同時に真である」ことが、出来るが。
③ と ① は、「同時に真である」ことは、出来ない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｘ（愛ｘｂ） Ａ
２（３） 愛ａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｙ（愛ａｙ） ２ＥＩ
２（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） １２５ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｙ（愛ａｙ） １ＵＥ
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
３（５）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） １３５ＥＥ
然るに、
（06）により、
（07）
（ⅱ）
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
は、「規則ＵＩ」に対する、「違反」である。
従って、
（03）～（07）により、
（08）
いづれにせよ、
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① ある人はすべての人によって、愛されてゐる（受動態）。
② すべての人は、ある人を愛してゐる（能動態）。
といふ「意味」であって、尚且つ、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（09）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる「少なくとも２つの箇所」を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
然るに、
（10）
括弧は、論理演算子のスコープ（scope）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
従って、
（03）（08）（09）（10）により、
（11）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡ ある人はすべての人によって、愛されてゐる。
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡ すべての人は、ある人を愛してゐる。
といふ「述語論理式」は、「量記号の作用範囲（scope）」といふことからすれば、それぞれ、
① ∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡ ある人はすべての人によって愛されてゐる。
② ∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ すべての人はある人を愛してゐる。
といふ風に、書くのが、「正しい」。
従って、
（11）により、
（12）
① ∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡ ある人はすべての人によって愛されてゐる。
② ∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ すべての人はある人を愛してゐる。
に於ける、「２つの右辺」にしても、
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
といふ「括弧（scope）」が、有るに、違ひ無い。
然るに、
（13）
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
それぞれ、「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる。
然るに、
（14）
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
は、「２つ」とも、「常識的」には、「主語」と言ふ。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
『主に「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる「語」』を「日本語の主語」とするならば、
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝≡∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝ ≡∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝。
③ 象は｛鼻が長い｝≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ 鼻は｛象が長い｝≡∀ｘ｛∃ｙ［鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）］｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
③ 象は
④ 鼻は
は、それぞれ、
①｛すべての人によって愛されてゐる｝。
②｛ある人を愛してゐる｝。
③｛鼻が長い｝。
④｛象が長い｝。
に対する、「主語」である。
然るに、
（16）
実際、文法学者が「主語」という「語」を使わなければならないことは、不幸なことだ。この語は、普通のことばでは、とりわけ「話題」（主題）という意味でも使われているからである。
（イェスペルセン著、安藤貞雄 訳、文法の原理（中）、2006年、４５頁）
（17）
三、主語から主題へ
「主語」を廃止しようというのは、この用語のままでは困るからである。
（三上章、日本語の論理、1963年、１４８頁）
然るに、
（18）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （〃）象は、鼻が長い。 Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
２ （〃）兎は、耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は、象ではない。 ナＵＩ
従って、
（15）～（18）により、
（19）
③ 象は｛鼻が長い｝≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」は、「正しく」、それ故、
『主に「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる「語」』を「日本語の主語」とするならば、
③ 象は｛鼻が長い｝。
に於ける「主語」は、明らかに、
③ 象は
であるといふことになり、そのため、「少しも、困らない。」
令和０２年１０月０６日（は奥歯が痛い）、毛利太。
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅱ）（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）∨（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）
（ⅲ）（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
同様に、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
然るに、
（01）（02）により、
（03）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① ある人はすべての人によって、愛されてゐる（受動態）。
② すべての人は、ある人を愛してゐる（能動態）。
といふ、「意味」である。
然るに、
（04）
「＆（そして）」と「∨（または）」の「働き」からすれば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、明らかに、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
（05）
例へば、
①（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
②（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
③（愛ａａ ）＆（ 愛ｂｂ ）＆（ 愛ｃｃ）
に於いて、
① ならば、② であって、
③ ならば、② であるが、
③ と ② は、「同時に真である」ことが、出来るが。
③ と ① は、「同時に真である」ことは、出来ない。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） Ａ
２（２） ∀ｘ（愛ｘｂ） Ａ
２（３） 愛ａｂ ２ＵＥ
２（４） ∃ｙ（愛ａｙ） ２ＥＩ
２（５）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） ４ＵＩ
１ （６）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） １２５ＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ） Ａ
１ （２） ∃ｙ（愛ａｙ） １ＵＥ
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
３（５）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ） １３５ＥＥ
然るに、
（06）により、
（07）
（ⅱ）
３（３） （愛ａｂ） Ａ
３（４） ∀ｘ（愛ｘｂ） ３ＵＩ
は、「規則ＵＩ」に対する、「違反」である。
従って、
（03）～（07）により、
（08）
いづれにせよ、
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ＆愛ｂａ＆愛ｃａ）∨（愛ａｂ＆愛ｂｂ＆愛ｃｂ）∨（愛ａｃ＆愛ｂｃ＆愛ｃｃ）
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① ある人はすべての人によって、愛されてゐる（受動態）。
② すべての人は、ある人を愛してゐる（能動態）。
といふ「意味」であって、尚且つ、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。とは、限らない。
然るに、
（09）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる「少なくとも２つの箇所」を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
然るに、
（10）
括弧は、論理演算子のスコープ（scope）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
従って、
（03）（08）（09）（10）により、
（11）
① ∃ｙ∀ｘ（愛ｘｙ）≡ ある人はすべての人によって、愛されてゐる。
② ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）≡ すべての人は、ある人を愛してゐる。
といふ「述語論理式」は、「量記号の作用範囲（scope）」といふことからすれば、それぞれ、
① ∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡ ある人はすべての人によって愛されてゐる。
② ∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ すべての人はある人を愛してゐる。
といふ風に、書くのが、「正しい」。
従って、
（11）により、
（12）
① ∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝≡ ある人はすべての人によって愛されてゐる。
② ∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝≡ すべての人はある人を愛してゐる。
に於ける、「２つの右辺」にしても、
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
といふ「括弧（scope）」が、有るに、違ひ無い。
然るに、
（13）
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
それぞれ、「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる。
然るに、
（14）
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
は、「２つ」とも、「常識的」には、「主語」と言ふ。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
『主に「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる「語」』を「日本語の主語」とするならば、
① ある人は｛すべての人によって愛されてゐる｝≡∃ｙ｛∀ｘ（愛ｘｙ）｝。
② すべての人は｛ある人を愛してゐる｝ ≡∀ｘ｛∃ｙ（愛ｘｙ）｝。
③ 象は｛鼻が長い｝≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ 鼻は｛象が長い｝≡∀ｘ｛∃ｙ［鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）］｝。
に於いて、
① ある人は
② すべての人は
③ 象は
④ 鼻は
は、それぞれ、
①｛すべての人によって愛されてゐる｝。
②｛ある人を愛してゐる｝。
③｛鼻が長い｝。
④｛象が長い｝。
に対する、「主語」である。
然るに、
（16）
実際、文法学者が「主語」という「語」を使わなければならないことは、不幸なことだ。この語は、普通のことばでは、とりわけ「話題」（主題）という意味でも使われているからである。
（イェスペルセン著、安藤貞雄 訳、文法の原理（中）、2006年、４５頁）
（17）
三、主語から主題へ
「主語」を廃止しようというのは、この用語のままでは困るからである。
（三上章、日本語の論理、1963年、１４８頁）
然るに、
（18）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （〃）象は、鼻が長い。 Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
２ （〃）兎は、耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は、象ではない。 ナＵＩ
従って、
（15）～（18）により、
（19）
③ 象は｛鼻が長い｝≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「等式」は、「正しく」、それ故、
『主に「文頭」にあって、「その意味」が「文末」にまで及んでゐる「語」』を「日本語の主語」とするならば、
③ 象は｛鼻が長い｝。
に於ける「主語」は、明らかに、
③ 象は
であるといふことになり、そのため、「少しも、困らない。」
令和０２年１０月０６日（は奥歯が痛い）、毛利太。
「鼻は象が長い」の「述語論理」の「展開」（Ⅱ）。
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（01）により、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（03）
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）≡（ａはａ自身を愛してゐるか、または、ａはｂを愛してゐるか、または、ａはｃを愛してゐる。）そして、
③（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）≡（ｂはａを愛してゐるか、または、ｂはｂ自身を愛してゐるか、または、ｂはｃを愛してゐる、）そして、
③（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）≡（ｃはａを愛してゐるか、または、ｃはｂを愛してゐるか、または、ｃはｃ自身を愛してゐる。）
といふことは、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
② すべての人は、ある人を愛してゐる。
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」を「応用」すると、
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
（06）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
③｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝
＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「式」は、
③｛［鼻αは象ａの鼻であって長く］尚且つ［ａが象ではなく、αが長いならば、αはａの鼻ではないか、］または、
［鼻αは象ｂの鼻であって長く］尚且つ［ｂが象ではなく、αが長いならば、αはｂの鼻ではなくて、］｝尚且つ、
③｛［鼻βは象ａの鼻であって長く］尚且つ［ａが象ではなく、βが長いならば、βはａの鼻ではないか、］または、
［鼻βは象ｂの鼻であって長く］尚且つ［ｂが象ではなく、βが長いならば、βはｂの鼻ではなくて、］｝。
といふ「意味」である。
従って、
（06）により、
（07）
③｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝
＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「式」は、
③｛鼻αは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長く、｝尚且つ、｛鼻βは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長い｝。
といふ「意味」になる。
然るに、
（08）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
③｛鼻αは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長く、｝尚且つ、｛鼻βは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長い｝。
といふことは、
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。⇔
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
といふことに、他ならない。
令和０２年１０月０６日（は奥歯が痛い）、毛利太。
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（01）により、
（02）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（03）
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）≡（ａはａ自身を愛してゐるか、または、ａはｂを愛してゐるか、または、ａはｃを愛してゐる。）そして、
③（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）≡（ｂはａを愛してゐるか、または、ｂはｂ自身を愛してゐるか、または、ｂはｃを愛してゐる、）そして、
③（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）≡（ｃはａを愛してゐるか、または、ｃはｂを愛してゐるか、または、ｃはｃ自身を愛してゐる。）
といふことは、
② すべての人（ａ、ｂ、ｃ）は、ある人を愛してゐる。
といふことに、他ならない。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
｛ａ，ｂ，ｃ｝といふ｛３人｝が「変域」であるとき、
① ∀ｘ∃ｙ（愛ｘｙ）
② すべての人は、ある人を愛してゐる。
③（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（05）
（ⅰ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅱ）（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）＆（愛ｘａ∨愛ｘｂ∨愛ｘｃ）
（ⅲ）（愛ａａ∨愛ａｂ∨愛ａｃ）＆（愛ｂａ∨愛ｂｂ∨愛ｂｃ）＆（愛ｃａ∨愛ｃｂ∨愛ｃｃ）
といふ「手順」を「応用」すると、
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
（06）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
③｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝
＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「式」は、
③｛［鼻αは象ａの鼻であって長く］尚且つ［ａが象ではなく、αが長いならば、αはａの鼻ではないか、］または、
［鼻αは象ｂの鼻であって長く］尚且つ［ｂが象ではなく、αが長いならば、αはｂの鼻ではなくて、］｝尚且つ、
③｛［鼻βは象ａの鼻であって長く］尚且つ［ａが象ではなく、βが長いならば、βはａの鼻ではないか、］または、
［鼻βは象ｂの鼻であって長く］尚且つ［ｂが象ではなく、βが長いならば、βはｂの鼻ではなくて、］｝。
といふ「意味」である。
従って、
（06）により、
（07）
③｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝
＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「式」は、
③｛鼻αは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長く、｝尚且つ、｛鼻βは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長い｝。
といふ「意味」になる。
然るに、
（08）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
③｛鼻αは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長く、｝尚且つ、｛鼻βは、象ａの鼻であるか、象ｂの鼻であるならば、その時に限って、長い｝。
といふことは、
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。⇔
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
といふことに、他ならない。
令和０２年１０月０６日（は奥歯が痛い）、毛利太。
2020年10月5日月曜日
「鼻は象が長い」の「述語論理」の「展開」。
（01）
（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。然るに、
（ⅱ）ある兎は、象ではないが鼻が有る。 従って、
（ⅲ）ある兎の鼻は長くない。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）により、
（02）
「記号」と書くと、
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）。 従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
７（７） 兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
７（８） 兎ｂ＆ ７＆Ｅ
７（９） ～象ｂ ７＆Ｅ
７（ア） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
７（イ） ～～鼻ａｂ アＤＮ
３ ７（ウ） ～（～象ｂ＆ 長ａ） ４イＭＴＴ
３ ７（エ） ～～象ｂ∨～長ａ ウ、ド・モルガンの法則
３ ７（オ） ～象ｂ→～長ａ エ含意の定義
３ ７（カ） ～長ａ ９オＭＰＰ
７（キ） 兎ｂ＆鼻ａｂ ８ア＆Ｉ
３ ７（ク） 兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ カキ＆Ｉ
３ ７（ケ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） クＥＩ
３ ６ （コ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） ６７ケＥＥ
３ ６ （サ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） コＥＩ
３５ （シ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ５６サＥＥ
１ ５ （ス）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） １３シＥＥ
従って、
（02）（03）により、
（04）
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝，∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）├ ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）
といふ「推論（連式）」は、果たして、「妥当」である。
然るに、
（05）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ） ［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］
（ⅱ）｛［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］｝＆｛［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］｝
（ⅲ）｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（04）（05）により、
（06）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（07）
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。
といふ「日本語」を、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝。
といふ風に、
② ∀ｘ∃ｙ
といふ「量記号（quantifiers）」を用ひて、「翻訳」すべきであると、「感じた」のは、
①｛ｘ│ｘは鼻である。｝
といふ「集合」の、「真部分集合」として、
②｛ｙ│ｙは象の鼻である。｝
といふ「集合」があるためである。
然るに、
（07）により、
（08）
さうだとすると、
ｎ（鼻）＝「鼻といふ集合の要素の個数」は、必ず、
ｎ（象）＝「象といふ集合の要素の個数」よりも、「多い」ことになる。
従って、
（06）（08）により、
（09）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
といふ風に、
ｎ（鼻）＝ｎ（象）
であるのは、「マズイ」のであって、例へば、
鼻＝｛α，β，γ，δ，ε，｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝ は「集合」である。
といふに、
ｎ（鼻）＞ｎ（象）
でなければ、ならない。
従って、
（06）（09）により、
（10）
「厳密」には、
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
といふ風には、言へない。
（11）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② 鼻は象が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。
といふ「翻訳」もさうであるやうに、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。
Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached.
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）
令和０２年１０月０５日、毛利太。
（ⅰ）鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。然るに、
（ⅱ）ある兎は、象ではないが鼻が有る。 従って、
（ⅲ）ある兎の鼻は長くない。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）により、
（02）
「記号」と書くと、
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）。 従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）。
といふ「論証（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ→長ａ）＆（～象ｙ＆長ａ→～鼻ａｙ）｝ １ＵＥ
３ （３） （鼻ａｂ＆象ｂ→長ａ）＆（～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ） Ａ
３ （４） ～象ｂ＆長ａ→～鼻ａｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ａｙ） Ａ
７（７） 兎ｂ＆～象ｂ＆鼻ａｂ Ａ
７（８） 兎ｂ＆ ７＆Ｅ
７（９） ～象ｂ ７＆Ｅ
７（ア） 鼻ａｂ ７＆Ｅ
７（イ） ～～鼻ａｂ アＤＮ
３ ７（ウ） ～（～象ｂ＆ 長ａ） ４イＭＴＴ
３ ７（エ） ～～象ｂ∨～長ａ ウ、ド・モルガンの法則
３ ７（オ） ～象ｂ→～長ａ エ含意の定義
３ ７（カ） ～長ａ ９オＭＰＰ
７（キ） 兎ｂ＆鼻ａｂ ８ア＆Ｉ
３ ７（ク） 兎ｂ＆鼻ａｂ＆～長ａ カキ＆Ｉ
３ ７（ケ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） クＥＩ
３ ６ （コ） ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ＆～長ａ） ６７ケＥＥ
３ ６ （サ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） コＥＩ
３５ （シ）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） ５６サＥＥ
１ ５ （ス）∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ） １３シＥＥ
従って、
（02）（03）により、
（04）
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝，∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆～象ｙ＆鼻ｘｙ）├ ∃ｘ∃ｙ（兎ｙ＆鼻ｘｙ＆～長ｘ）
といふ「推論（連式）」は、果たして、「妥当」である。
然るに、
（05）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
（ⅰ） ［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］
（ⅱ）｛［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］｝＆｛［（鼻ｘａ＆象ａ→長ｘ）＆（～象ａ＆長ｘ→～鼻ｘａ）］∨［（鼻ｘｂ＆象ｂ→長ｘ）＆（～象ｂ＆長ｘ→～鼻ｘｂ）］｝
（ⅲ）｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
といふ「手順」で、「展開」出来る。
従って、
（04）（05）により、
（06）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（07）
① 鼻は象が長い（鼻は象以外は長くない）。
といふ「日本語」を、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝⇔
② すべてのｘとあるｙについて｛ｘがｙの鼻であって、ｙが象であるならば、ｘは長く、ｙが象でなくて、ｘが長いならば、ｘはｙの鼻ではない｝。
といふ風に、
② ∀ｘ∃ｙ
といふ「量記号（quantifiers）」を用ひて、「翻訳」すべきであると、「感じた」のは、
①｛ｘ│ｘは鼻である。｝
といふ「集合」の、「真部分集合」として、
②｛ｙ│ｙは象の鼻である。｝
といふ「集合」があるためである。
然るに、
（07）により、
（08）
さうだとすると、
ｎ（鼻）＝「鼻といふ集合の要素の個数」は、必ず、
ｎ（象）＝「象といふ集合の要素の個数」よりも、「多い」ことになる。
従って、
（06）（08）により、
（09）
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
といふ風に、
ｎ（鼻）＝ｎ（象）
であるのは、「マズイ」のであって、例へば、
鼻＝｛α，β，γ，δ，ε，｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝ は「集合」である。
といふに、
ｎ（鼻）＞ｎ（象）
でなければ、ならない。
従って、
（06）（09）により、
（10）
「厳密」には、
鼻＝｛α，β｝は「集合」である。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
として、
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝
③ ｛［（鼻αａ＆象ａ→長α）＆（～象ａ＆長α→～鼻αａ）］∨［（鼻αｂ＆象ｂ→長α）＆（～象ｂ＆長α→～鼻αｂ）］｝＆｛［（鼻βａ＆象ａ→長β）＆（～象ａ＆長β→～鼻βａ）］∨［（鼻βｂ＆象ｂ→長β）＆（～象ｂ＆長β→～鼻βｂ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
といふ風には、言へない。
（11）
① 象は鼻が長い≡∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② 鼻は象が長い≡∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ→長ｘ）＆（～象ｙ＆長ｘ→～鼻ｘｙ）｝。
といふ「翻訳」もさうであるやうに、
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。
Flexibility of mind is generally required for translating from ordinary speech into sentences of the predicate calculus. No firm rules can be given, and practice is needed before full familiarity with quantifiers is reached.
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）
令和０２年１０月０５日、毛利太。
2020年10月4日日曜日
「象は鼻は長い」の「述語論理」の「展開」。
（01）
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
鼻＝｛α，β｝も「集合」である。
として、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
３ （４） 象ａ Ａ
１ ３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
６（６） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
３６（７） 象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ ４６＆Ｉ
３６（８） ∃ｙ（象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） ７ＥＩ
１ ３ （９） ∃ｙ（象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） ５６８ＥＥ
１ ３ （ア） ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） ９ＥＩ
１２ （イ） ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） ２３アＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
１ （１）｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝＆
｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝ Ａ
２ （２） 象ａ∨象ｂ Ａ
１ （３）｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝ １＆Ｅ
４ （４） 象ａ Ａ
５ （５） 象ａ→（鼻αａ＆長α） Ａ
４５ （６） 鼻αａ＆長α ４５ＭＰＰ
４５ （７） 象ａ＆鼻αａ＆長α ４６＆Ｉ
４５ （８） （象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β） ７∨Ｉ
９ （９） 象ａ→（鼻βａ＆長β） Ａ
４ ９ （ア） 鼻βａ＆長β ４９ＭＰＰ
４ ９ （イ） 象ａ＆鼻βａ＆長β ４ア＆Ｉ
４ ９ （ウ） （象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β） イ∨Ｉ
１ ４ （エ） （象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β） ３５８９ウ∨Ｅ
１ ４ （オ）｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨
｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝ オ∨Ｉ
１ （カ）｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝ １＆Ｅ
キ （キ） 象ａ Ａ
ク （ク） 象ｂ→（鼻αｂ＆長α） Ａ
キク （ケ） 鼻αｂ＆長α キクＭＰＰ
キク （コ） 象ｂ＆鼻αｂ＆長α キケ＆Ｉ
キク （シ） （象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β） コ∨Ｉ
ス（ス） 象ｂ→（鼻βｂ＆長β） Ａ
キ ス（セ） 鼻βｂ＆長β キシＭＰＰ
キ ス（ス） 象ｂ＆鼻βｂ＆長β キス＆Ｉ
キ ス（セ） （象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β） セ∨Ｉ
１ キ （ソ） （象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β） カクシスセ∨Ｅ
１ キ （タ）｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨
｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝ ソ∨Ｉ
１２ （チ）｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨
｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝ ２４オキタ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「相当」する。
従って、
（01）により、
（02）
｛ａとｂ｝が「象」であって、
｛αとβ｝が「鼻」である「世界」を想定すると、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝，∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）
②｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝＆｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝, (象ａ∨象ｂ）├ ｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
｛ａとｂ｝が「象」であって、
｛αとβ｝が「鼻」である「世界」を想定すると、
① 象は鼻は長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い｝。
とするならば、
②｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝⇔
②｛（象ａの鼻はαであって、αは長い）か、または、（象ａの鼻はβであって、βは長い）｝か、または、｛（象ｂの鼻はαであって、αは長い）か、または、（象ｂの鼻はβであって、βは長い）｝。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（04）
つぎの２章において取り扱をうとする述語計算のような、より複雑なレベルの論理学においては、真理表の方法は無効となる。実際このレベルにおける表現を、妥当なものと不妥当なものにふるいわける機械的な手段は存在しないことが知られているのである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１１５頁）
然るに、
（05）
「述語論理」ではなく、「命題論理」の場合は、「妥当なものと不妥当なものにふるいわける機械的な手段が存在する。」
従って、
（04）（05）
（06）
「すべての述語倫理式」が、「命題論理式」に「翻訳」出来るとするならば、「矛盾」する。
従って、
（03）（06）
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝，∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）
②｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝＆｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝, (象ａ∨象ｂ）├ ｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である。
といふのは、あるいは、「方便」である。
といふ、ことになる（？）。
令和０２年１０月０４日、毛利太。
象＝｛ａ，ｂ｝は「集合」である。
鼻＝｛α，β｝も「集合」である。
として、
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
２ （２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
３ （４） 象ａ Ａ
１ ３ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３４＆Ｉ
６（６） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
３６（７） 象ａ＆鼻ｂａ＆長ｂ ４６＆Ｉ
３６（８） ∃ｙ（象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） ７ＥＩ
１ ３ （９） ∃ｙ（象ａ＆鼻ｙａ＆長ｙ） ５６８ＥＥ
１ ３ （ア） ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） ９ＥＩ
１２ （イ） ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ） ２３アＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
１ （１）｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝＆
｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝ Ａ
２ （２） 象ａ∨象ｂ Ａ
１ （３）｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝ １＆Ｅ
４ （４） 象ａ Ａ
５ （５） 象ａ→（鼻αａ＆長α） Ａ
４５ （６） 鼻αａ＆長α ４５ＭＰＰ
４５ （７） 象ａ＆鼻αａ＆長α ４６＆Ｉ
４５ （８） （象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β） ７∨Ｉ
９ （９） 象ａ→（鼻βａ＆長β） Ａ
４ ９ （ア） 鼻βａ＆長β ４９ＭＰＰ
４ ９ （イ） 象ａ＆鼻βａ＆長β ４ア＆Ｉ
４ ９ （ウ） （象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β） イ∨Ｉ
１ ４ （エ） （象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β） ３５８９ウ∨Ｅ
１ ４ （オ）｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨
｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝ オ∨Ｉ
１ （カ）｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝ １＆Ｅ
キ （キ） 象ａ Ａ
ク （ク） 象ｂ→（鼻αｂ＆長α） Ａ
キク （ケ） 鼻αｂ＆長α キクＭＰＰ
キク （コ） 象ｂ＆鼻αｂ＆長α キケ＆Ｉ
キク （シ） （象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β） コ∨Ｉ
ス（ス） 象ｂ→（鼻βｂ＆長β） Ａ
キ ス（セ） 鼻βｂ＆長β キシＭＰＰ
キ ス（ス） 象ｂ＆鼻βｂ＆長β キス＆Ｉ
キ ス（セ） （象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β） セ∨Ｉ
１ キ （ソ） （象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β） カクシスセ∨Ｅ
１ キ （タ）｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨
｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝ ソ∨Ｉ
１２ （チ）｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨
｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝ ２４オキタ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「相当」する。
従って、
（01）により、
（02）
｛ａとｂ｝が「象」であって、
｛αとβ｝が「鼻」である「世界」を想定すると、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝，∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）
②｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝＆｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝, (象ａ∨象ｂ）├ ｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
｛ａとｂ｝が「象」であって、
｛αとβ｝が「鼻」である「世界」を想定すると、
① 象は鼻は長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、ｙは長い｝。
とするならば、
②｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝⇔
②｛（象ａの鼻はαであって、αは長い）か、または、（象ａの鼻はβであって、βは長い）｝か、または、｛（象ｂの鼻はαであって、αは長い）か、または、（象ｂの鼻はβであって、βは長い）｝。
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（04）
つぎの２章において取り扱をうとする述語計算のような、より複雑なレベルの論理学においては、真理表の方法は無効となる。実際このレベルにおける表現を、妥当なものと不妥当なものにふるいわける機械的な手段は存在しないことが知られているのである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１１５頁）
然るに、
（05）
「述語論理」ではなく、「命題論理」の場合は、「妥当なものと不妥当なものにふるいわける機械的な手段が存在する。」
従って、
（04）（05）
（06）
「すべての述語倫理式」が、「命題論理式」に「翻訳」出来るとするならば、「矛盾」する。
従って、
（03）（06）
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝，∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（象ｘ＆鼻ｙｘ＆長ｙ）
②｛象ａ→（鼻αａ＆長α）∨象ａ→（鼻βａ＆長β）｝＆｛象ｂ→（鼻αｂ＆長α）∨象ｂ→（鼻βｂ＆長β）｝, (象ａ∨象ｂ）├ ｛（象ａ＆鼻αａ＆長α）∨（象ａ＆鼻βａ＆長β）｝∨｛（象ｂ＆鼻αｂ＆長α）∨（象ｂ＆鼻βｂ＆長β）｝
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
①＝② である。
といふのは、あるいは、「方便」である。
といふ、ことになる（？）。
令和０２年１０月０４日、毛利太。
2020年10月2日金曜日
「象といふ動物がゐる」の「述語論理」の「展開」。
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
４（４） 象ａ Ａ
１ ４（５） 動物ａ ３４ＭＰＰ
１ ４（６） 象ａ＆動物ａ ４５＆Ｉ
１ ４（７）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ６ＥＩ
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
１２ （〃）象といふ動物がゐる。 ２４７ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
１ （１）（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ） Ａ
２ （２）（象ａ∨象ｂ∨象ｃ） Ａ
１ （３）（象ａ→動物ａ） １＆Ｅ
１ （４）（象ｂ→動物ｂ） １＆Ｅ
１ （５）（象ｃ→動物ｃ） １＆Ｅ
２ （６） 象ａ∨（象ｂ∨象ｃ） ２結合法則
７ （７） 象ａ Ａ
１ ７ （８） 動物ａ ３７ＭＰＰ
１ ７ （９） 象ａ＆動物ａ ７８＆Ｉ
１ ７ （ア）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ） ９∨Ｉ
１ ７ （イ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ア∨Ｉ
ウ （ウ） （象ｂ∨象ｃ） Ａ
エ （エ） 象ｂ Ａ
１ エ （オ） 動物ｂ ４エＭＰＰ
１ エ （カ） 象ｂ＆動物ｂ エオ＆Ｉ
１ エ （キ） （象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｘ＆動物ｃ） カ∨Ｉ
１ エ （ク）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） キ∨Ｉ
ケ（ケ） 象ｃ Ａ
１ ケ（コ） 動物ｃ ５ケＭＰＰ
１ ケ（サ） 象ｃ＆動物ｃ ケコ＆Ｉ
１ ケ（シ） （象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｘ＆動物ｃ） サ∨Ｉ
１ ケ（ス）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） シ∨Ｉ
ウ （セ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ウエクケス∨Ｅ
１２ （ソ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ２７イウセ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
従って、
（01）により、
（02）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （〃）象は、鼻が長い。 Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
２ （〃）兎は、耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は、象ではない。 ナＵＩ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」であっても、「命題計算（Propositional calculus）」に、「置き換へ」ることが、出来るはずであるが、「大変（面倒）」なので、「やりたくない」。
然るに、
（01）により、
（03）
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
といふ「結論」は、
∀ｘ（象ｘ→動物ｘ），∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ）
といふ「連式」に、相当する。
従って、
（01）（03）により、
（04）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
といふ「結論」は、
（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ），（象ａ∨象ｂ∨象ｃ）├（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ）
といふ「連式」に、相当する。
従って、
（04）により、
（05）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
といふ「結論」は、
（ａが象ならば、ａは動物である。）＆（ｂが象ならば、ｂは動物である。）＆（ｃが象ならば、ｃは動物である。），（ａは象であるか、または、ｂは象であるか、または、ｃは象である。）それ故、（ａは象であって、動物である）か、または、（ｂは象であって、動物である）か、または、（ｃは象であって、動物である）。
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ａが象ならば、ａは動物である。）＆（ｂが象ならば、ｂは動物である。）＆（ｃが象ならば、ｃは動物である。）
といふのであれば、
（ａは、象ではない）かも知れないし、
（ｂは、象ではない）かも知れないし、
（ｃは、象ではない）かも知れない。
然るに、
（07）
（ａは象であるか、または、ｂは象であるか、または、ｃは象である。）
といふのであれば、「結論」としては、
（ａ、ｂ、ｃの内の、少なくとも、１個体は、象である。）
といふことになり、そのため、「象は、存在する。」
従って、
（01）（03）～（07）により、
（08）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
２（２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
１ （１）（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ） Ａ
２（２）（象ａ∨象ｂ∨象ｃ） Ａ
に於いて、
２（２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
といふ「前提２」ではなく、
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）≡（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ） Ａ
といふ「前提１」自体は、「象の存在」を「確認」してはゐない。
従って、
（08）により、
（09）
∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
の形の文が意味していることはＡのクラスにはどのようなｘも存在しないということであって、ｘがどこか特定のクラスの中に存在しているということをいっているのではない（沢田允、現代論理学入門、1962年、１２４頁）。
といふ、ことになる。
令和０２年１０月０２日、毛利太。
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
２ （２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
４（４） 象ａ Ａ
１ ４（５） 動物ａ ３４ＭＰＰ
１ ４（６） 象ａ＆動物ａ ４５＆Ｉ
１ ４（７）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ６ＥＩ
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
１２ （〃）象といふ動物がゐる。 ２４７ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
１ （１）（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ） Ａ
２ （２）（象ａ∨象ｂ∨象ｃ） Ａ
１ （３）（象ａ→動物ａ） １＆Ｅ
１ （４）（象ｂ→動物ｂ） １＆Ｅ
１ （５）（象ｃ→動物ｃ） １＆Ｅ
２ （６） 象ａ∨（象ｂ∨象ｃ） ２結合法則
７ （７） 象ａ Ａ
１ ７ （８） 動物ａ ３７ＭＰＰ
１ ７ （９） 象ａ＆動物ａ ７８＆Ｉ
１ ７ （ア）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ） ９∨Ｉ
１ ７ （イ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ア∨Ｉ
ウ （ウ） （象ｂ∨象ｃ） Ａ
エ （エ） 象ｂ Ａ
１ エ （オ） 動物ｂ ４エＭＰＰ
１ エ （カ） 象ｂ＆動物ｂ エオ＆Ｉ
１ エ （キ） （象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｘ＆動物ｃ） カ∨Ｉ
１ エ （ク）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） キ∨Ｉ
ケ（ケ） 象ｃ Ａ
１ ケ（コ） 動物ｃ ５ケＭＰＰ
１ ケ（サ） 象ｃ＆動物ｃ ケコ＆Ｉ
１ ケ（シ） （象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｘ＆動物ｃ） サ∨Ｉ
１ ケ（ス）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） シ∨Ｉ
ウ （セ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ウエクケス∨Ｅ
１２ （ソ）（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ） ２７イウセ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
従って、
（01）により、
（02）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （〃）象は、鼻が長い。 Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
２ （〃）兎は、耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。 Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ） ア＆Ｅ
オ（オ） 長ｂ＆耳ｂａ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない）。 ナＵＩ
１２ （〃）兎は、象ではない。 ナＵＩ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」であっても、「命題計算（Propositional calculus）」に、「置き換へ」ることが、出来るはずであるが、「大変（面倒）」なので、「やりたくない」。
然るに、
（01）により、
（03）
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
といふ「結論」は、
∀ｘ（象ｘ→動物ｘ），∃ｘ（象ｘ）├ ∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ）
といふ「連式」に、相当する。
従って、
（01）（03）により、
（04）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
といふ「結論」は、
（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ），（象ａ∨象ｂ∨象ｃ）├（象ａ＆動物ａ）∨（象ｂ＆動物ｂ）∨（象ｃ＆動物ｃ）
といふ「連式」に、相当する。
従って、
（04）により、
（05）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１２ （８）∃ｘ（象ｘ＆動物ｘ） ２４７ＥＥ
といふ「結論」は、
（ａが象ならば、ａは動物である。）＆（ｂが象ならば、ｂは動物である。）＆（ｃが象ならば、ｃは動物である。），（ａは象であるか、または、ｂは象であるか、または、ｃは象である。）それ故、（ａは象であって、動物である）か、または、（ｂは象であって、動物である）か、または、（ｃは象であって、動物である）。
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ａが象ならば、ａは動物である。）＆（ｂが象ならば、ｂは動物である。）＆（ｃが象ならば、ｃは動物である。）
といふのであれば、
（ａは、象ではない）かも知れないし、
（ｂは、象ではない）かも知れないし、
（ｃは、象ではない）かも知れない。
然るに、
（07）
（ａは象であるか、または、ｂは象であるか、または、ｃは象である。）
といふのであれば、「結論」としては、
（ａ、ｂ、ｃの内の、少なくとも、１個体は、象である。）
といふことになり、そのため、「象は、存在する。」
従って、
（01）（03）～（07）により、
（08）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
２（２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
１ （１）（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ） Ａ
２（２）（象ａ∨象ｂ∨象ｃ） Ａ
に於いて、
２（２）∃ｘ（象ｘ） Ａ
といふ「前提２」ではなく、
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）≡（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ） Ａ
といふ「前提１」自体は、「象の存在」を「確認」してはゐない。
従って、
（08）により、
（09）
∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
の形の文が意味していることはＡのクラスにはどのようなｘも存在しないということであって、ｘがどこか特定のクラスの中に存在しているということをいっているのではない（沢田允、現代論理学入門、1962年、１２４頁）。
といふ、ことになる。
令和０２年１０月０２日、毛利太。
2020年10月1日木曜日
∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１１１
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ＆Ｇａ Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
２（５） Ｇａ ２＆Ｅ
２（６） ∃ｘ（Ｇａ） ５ＥＩ
２（７）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） ４６＆Ｉ
１ （８）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） １２７ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
１ （１）（Ｆａ＆Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
１ （２）（Ｆａ＆Ｇａ）∨｛（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）｝ １結合法則
３ （３）（Ｆａ＆Ｇａ） Ａ
３ （４） Ｆａ ３＆Ｅ
３ （５） Ｆａ∨Ｆｂ ４∨Ｉ
３ （６） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ５∨Ｉ
３ （７） Ｇａ ３＆Ｅ
３ （８） Ｇａ∨Ｇｂ ７∨Ｉ
３ （９） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ８∨Ｉ
３ （ア）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ６９＆Ｉ
イ （イ） （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
ウ （ウ） Ｆｂ＆Ｇｂ Ａ
ウ （エ） Ｆｂ ウ＆Ｅ
ウ （オ） Ｆａ∨Ｆｂ エ∨Ｉ
ウ （カ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ オ∨Ｉ
ウ （キ） Ｇｂ ウ＆Ｅ
ウ （ク） Ｇａ∨Ｇｂ キ∨Ｉ
ウ （ケ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ク∨Ｉ
ウ （コ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） カケ＆Ｉ
サ（サ） Ｆｃ＆Ｇｃ Ａ
サ（シ） Ｆｃ サ＆Ｅ
サ（ス） Ｆｂ∨Ｆｃ シ∨Ｉ
サ（セ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ス∨Ｉ
サ（ソ） Ｇｃ サ＆Ｅ
サ（タ） Ｇｂ∨Ｇｃ ソ∨Ｉ
サ（チ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ タ∨Ｉ
サ（ツ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） セチ＆Ｉ
イ （テ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） イウコサツ∨Ｅ
１ （ト）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ２３アイテ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
ｃｆ.
「述語計算」は「命題計算」の「拡張」であるが、「（１）～（ト）」は、「命題計算の規則」だけを用ひてゐる。従って、以上に示した「（１）～（ト）」は「命題計算」である。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
といふ「３つの選言支」の中に、
③（Ｆａ＆Ｇｂ）
といふ「選言支」は無い。
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
①と③ が、「同時に、真になる」ことはない。
然るに、
（05）
「∨のマトリックス（真理表）」と、「＆のマトリックス（真理表）」により、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
②と③ が、「同時に、真になる」ことは、「可能」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
①と③ は、「同時に、真になる」ことが、「不可能」であるが、
②と③ は、「同時に、真になる」ことが、「 可能」である。
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
② ならば、① である。
とは、限らない。
従って、
（02）（05）（06）（07）により、
（08）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（09）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」は、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
といふ「述語論理式」に、相当する。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（11）
１１１ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
に対して、
逆の連式 ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） は妥当ではない。
― 中略、―
この連式を証明しようとする自然な試みが、ＥＥ に対する制限に照らして、どのようにして失敗に帰するかを見ておくことは有益である。われわれは次のように証明をはじめるであろう。
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
１ （３） ∃ｘ（Ｇｘ） １＆Ｅ
４ （４） Ｆａ Ａ
５（５） Ｇａ Ａ
４５（６） Ｆａ＆Ｇａ ４５＆Ｉ
４５（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ６ＥＩ
存在命題（２）および（３）に対して、われわれは代表的選言項（４）および（５）を仮定して、それらから結論 ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） を導出した。しかし ＥＥ を適用するどのようなくわだても、（２）を用いるにせよ（３）を用いるにせよ、こんどはうまく行かない。（７）の行の結論は（４）と（５）に依存し、そのいずれも「ａ」が現れているからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５４頁改）
従って、
（01）～（11）により、
（12）
いづれにせよ、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（13）
Ｆ＝フランス人
Ｇ＝学生
とするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① あるフランス人は、学生である。
② フランス人がゐて、学生もゐる。
といふ「意味」である。
然るに、
（14）
① あるフランス人（ギイ）は、学生である。
とするならば、当然、
② フランス人（ギイ）がゐて、学生（ギイ）もゐる。
然るに、
（15）
② フランス人（ギイ）がゐて、学生（カトリーヌ）もゐる。
としても、
② ギイ≠カトリーヌ
であって、
② ギイ＝カトリーヌ
ではないのであれば、
① あるフランス人（ギイ）は、学生である。
といふことには、ならない。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」が、例へば、
① あるフランス人は、学生である。
② フランス人がゐて、学生もゐる。
といふ「意味」であったとしても、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
令和０２年１０月０１日、毛利太。
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
１１１
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ＆Ｇａ Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
２（５） Ｇａ ２＆Ｅ
２（６） ∃ｘ（Ｇａ） ５ＥＩ
２（７）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） ４６＆Ｉ
１ （８）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） １２７ＥＥ
といふ「述語計算（Predicate calculus）」は、
１ （１）（Ｆａ＆Ｇａ）∨ （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
１ （２）（Ｆａ＆Ｇａ）∨｛（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）｝ １結合法則
３ （３）（Ｆａ＆Ｇａ） Ａ
３ （４） Ｆａ ３＆Ｅ
３ （５） Ｆａ∨Ｆｂ ４∨Ｉ
３ （６） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ５∨Ｉ
３ （７） Ｇａ ３＆Ｅ
３ （８） Ｇａ∨Ｇｂ ７∨Ｉ
３ （９） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ８∨Ｉ
３ （ア）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ６９＆Ｉ
イ （イ） （Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ） Ａ
ウ （ウ） Ｆｂ＆Ｇｂ Ａ
ウ （エ） Ｆｂ ウ＆Ｅ
ウ （オ） Ｆａ∨Ｆｂ エ∨Ｉ
ウ （カ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ オ∨Ｉ
ウ （キ） Ｇｂ ウ＆Ｅ
ウ （ク） Ｇａ∨Ｇｂ キ∨Ｉ
ウ （ケ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ ク∨Ｉ
ウ （コ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） カケ＆Ｉ
サ（サ） Ｆｃ＆Ｇｃ Ａ
サ（シ） Ｆｃ サ＆Ｅ
サ（ス） Ｆｂ∨Ｆｃ シ∨Ｉ
サ（セ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ス∨Ｉ
サ（ソ） Ｇｃ サ＆Ｅ
サ（タ） Ｇｂ∨Ｇｃ ソ∨Ｉ
サ（チ） Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ タ∨Ｉ
サ（ツ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） セチ＆Ｉ
イ （テ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） イウコサツ∨Ｅ
１ （ト）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ） ２３アイテ∨Ｅ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」に、「等しい」。
ｃｆ.
「述語計算」は「命題計算」の「拡張」であるが、「（１）～（ト）」は、「命題計算の規則」だけを用ひてゐる。従って、以上に示した「（１）～（ト）」は「命題計算」である。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
といふ「３つの選言支」の中に、
③（Ｆａ＆Ｇｂ）
といふ「選言支」は無い。
従って、
（03）により、
（04）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
①と③ が、「同時に、真になる」ことはない。
然るに、
（05）
「∨のマトリックス（真理表）」と、「＆のマトリックス（真理表）」により、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
②と③ が、「同時に、真になる」ことは、「可能」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
③（Ｆａ ＆ Ｇｂ ）
に於いて、
①と③ は、「同時に、真になる」ことが、「不可能」であるが、
②と③ は、「同時に、真になる」ことが、「 可能」である。
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
② ならば、① である。
とは、限らない。
従って、
（02）（05）（06）（07）により、
（08）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（09）
｛ａ，ｂ，ｃ｝のみを含む、「３つの対象」から成る「世界」に於いて、
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」は、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
といふ「述語論理式」に、相当する。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（11）
１１１ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）
に対して、
逆の連式 ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） は妥当ではない。
― 中略、―
この連式を証明しようとする自然な試みが、ＥＥ に対する制限に照らして、どのようにして失敗に帰するかを見ておくことは有益である。われわれは次のように証明をはじめるであろう。
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
１ （３） ∃ｘ（Ｇｘ） １＆Ｅ
４ （４） Ｆａ Ａ
５（５） Ｇａ Ａ
４５（６） Ｆａ＆Ｇａ ４５＆Ｉ
４５（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ６ＥＩ
存在命題（２）および（３）に対して、われわれは代表的選言項（４）および（５）を仮定して、それらから結論 ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） を導出した。しかし ＥＥ を適用するどのようなくわだても、（２）を用いるにせよ（３）を用いるにせよ、こんどはうまく行かない。（７）の行の結論は（４）と（５）に依存し、そのいずれも「ａ」が現れているからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５４頁改）
従って、
（01）～（11）により、
（12）
いづれにせよ、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（13）
Ｆ＝フランス人
Ｇ＝学生
とするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」は、それぞれ、
① あるフランス人は、学生である。
② フランス人がゐて、学生もゐる。
といふ「意味」である。
然るに、
（14）
① あるフランス人（ギイ）は、学生である。
とするならば、当然、
② フランス人（ギイ）がゐて、学生（ギイ）もゐる。
然るに、
（15）
② フランス人（ギイ）がゐて、学生（カトリーヌ）もゐる。
としても、
② ギイ≠カトリーヌ
であって、
② ギイ＝カトリーヌ
ではないのであれば、
① あるフランス人（ギイ）は、学生である。
といふことには、ならない。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
といふ「式」が、例へば、
① あるフランス人は、学生である。
② フランス人がゐて、学生もゐる。
といふ「意味」であったとしても、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
令和０２年１０月０１日、毛利太。
登録:
投稿 (Atom)