「あるフランス人は学生である。」の「述語論理」。

（01）
｛ａ、ｂ、ｃ｝を｛ｘの、変域｝とし、
｛ａ、ｂ、ｃ｝は｛３人の個人｝であるとする。
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）≡（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ≡（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
然るに、
（03）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
を見れば、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふことが、「一目瞭然」である。
然るに、
（04）
どのやうに、「一目瞭然」であるのか、といふことを、「説明」すると「長くなる」。
然るに、
（01）により、
（05）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ
に於いて、
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝学生である。
とすると、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ
は、それぞれ、
① あるフランス人は学生である。
② フランス人は存在し、学生も存在する。
といふ風に、読むことが、出来る。
然るに、
（06）
① あるフランス人は学生である。
といふのであれば、
② フランス人は存在するし、学生も存在する。
然るに、
（07）
② フランス人（２歳）は存在し、学生（２０歳）も存在する。
としても、
① ある（２歳の）フランス人は、（２０歳の）学生である。
といふことは、有り得ない。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　　（１）　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）　　　　Ｆａ＆Ｇａ　　Ａ
　２　（３）　　　　Ｆａ　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　∃ｘＦｘ　　　　　３ＥＩ
１　　（５）　　∃ｘＦｘ　　　　　１２４ＥＥ
　　６（６）　　　　　　　Ｇａ　　２＆Ｅ
　　６（７）　　　　　∃ｘＧｘ　　６＆Ｅ
１　　（８）　　　　　∃ｘＧｘ　　１６７ＥＥ
１　　（９）∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ　　５７＆Ｉ
従って、
（08）（09）により、
（10）
「述語計算」の「結果」も、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１　　（１）　∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ　Ａ
１　　（２）　∃ｘＦｘ　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　　　∃ｘＧｘ　１＆Ｅ
　４　（４）　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　　Ｇａ　Ａ
　４５（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　　４５＆Ｉ
　４５（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　６ＥＩ
１４　（８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　３５７ＥＥ
然るに、
（12）
ＥＥを適用する際には、任意の名前ａが、結論（８）を得るために用いられた（代表的選言項以外の）仮定のなかに現われてはならない。
（Ｅ.Ｊ.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１４７頁改）
従って、
（11）（12）により、
（13）
（ⅱ）
１　　（１）　∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ　Ａ
１　　（２）　∃ｘＦｘ　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　　　∃ｘＧｘ　１＆Ｅ
　４　（４）　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　　Ｇａ　Ａ
　４５（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　　４５＆Ｉ
　４５（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　６ＥＩ
１４　（８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　３５７ＥＥ
といふ「計算」は、
『結論（８）を得るために用いられた（代表的選言項以外の）仮定（４）のなかに「任意の名前ａ」現われている。』ため、「マチガイ」である。
従って、
（08）（13）により、
（14）
「述語計算」の「結果」も、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ
に於いて、
② ならば、① であるとは、限らない。
従って、
（08）（10）（14）により、
（15）
「計算」の「結果」も、
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
然るに、
（16）
（ⅱ）
１　　（１）　　　∃ｘＦｘ＆∃ｙＧｙ　Ａ
１　　（２）　　　∃ｘＦｘ　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　　　　　∃ｘＧｙ　１＆Ｅ
　４　（４）　　　　　Ｆａ　　　　　　Ａ
　　５（５）　　　　　　　　　　Ｇｂ　Ａ
　４５（６）　　　　　Ｆａ＆Ｇｂ　　　４５＆Ｉ
　４５（７）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｇｂ）　　６ＥＩ
１４　（８）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｇｙ）　　３５７ＥＥ
１４　（９）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｇｙ）　　８ＥＩ
１　　（ア）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｇｙ）　　２４９ＥＥ
（ⅲ）
１　　（１）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｇｙ）　　Ａ
　２　（２）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｇｙ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｆａ＆Ｇｂ　　　Ａ
　　３（４）　　　　　Ｆａ　　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　　∃ｘＦｘ　　　　　　４ＥＩ
　　３（６）　　　　　　　　Ｇｂ　　　３＆Ｅ
　　３（７）　　　　　　∃ｙＧｙ　　　６ＥＩ
　　３（８）　∃ｘＦｘ＆∃ｙＧｙ　　　５７＆Ｉ
　２　（９）　∃ｘＦｘ＆∃ｙＧｙ　　　２３８ＥＥ
１　　（ア）　∃ｘＦｘ＆∃ｙＧｙ　　　１２９ＥＥ
従って、
（16）により、
（17）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｙＧｙ
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｇｙ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（18）
性質Ｆをもつ少なくとも２つの相異なった対象が存在する、ということを表現するためには、われわれは符号を必要とする。すなわち、
　∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆～（ｘ＝ｙ）｝
― どちらもＦをもつ同一でないｘとｙが存在する。
（Ｅ.Ｊ.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２１０頁）
従って、
（18）により、
（19）
性質Ｆと性質Ｇをもつ少なくとも２つの相異なった対象が存在する、ということを表現するためには、われわれは符号を必要とする。すなわち、
　∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｇｙ）＆～（ｘ＝ｙ）｝
従って、
（19）により、
（20）
性質Ｆと性質Ｇをもつ少なくとも１つの対象が存在する、ということを表現するためには、われわれは符号を必要とする。すなわち、
　∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝
然るに、
（21）
（ⅴ）
１　　（１）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２　（２）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆Ｇｙ）＆（ａ＝ｙ）｝　Ａ
　　３（３）　　　　　　Ｆａ＆Ｇｂ　＆（ａ＝ｂ）　　Ａ
　　３（４）　　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　　　　　　　　Ｇｂ　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３（６）　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　３＆Ｅ
　　３（７）　　　　　　　　　Ｇａ　　　　　　　　　５６＝Ｅ
　　３（８）　　　　　　Ｆａ＆Ｇａ　　　　　　　　　５７＆Ｉ
　　３（９）　　　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　　　　８ＥＩ
　２　（ア）　　　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　　　　２３９ＥＥ
１　　（イ）　　　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　　　　１２アＥＥ
従って、
（14）（17）（21）により、
（22）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ
③ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｇｙ）｝
④ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｇｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
① ⇒ ②
② ＝ ③
④ ⇒ ①
である。
従って、
（22）により、
（23）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ＆（ｘ＝ｙ）
であるならば、
①＝② である。
従って、
（05）（23）により、
（24）
① ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘＦｘ＆∃ｘＧｘ＆（ｘ＝ｙ）
であるならば、すなはち、
① あるフランス人は学生である。
② フランス人は存在し、学生も存在し、そのフランス人と学生は「同一人物」である。
であるならば、そのときに限って、
①＝② である。
従って、
（24）により、
（25）
① あるフランス人は学生である。
② フランス人は存在し、学生も存在する（が、そのフランス人と学生は「同一人物」ではない）。
であるならば、
①＝② ではない。
然るに、
（03）（05）（25）により、
（26）
①（Ｆａ＆Ｇａ）∨（Ｆｂ＆Ｇｂ）∨（Ｆｃ＆Ｇｃ）
②（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）＆（Ｇａ∨Ｇｂ∨Ｇｃ）
を見れば、
① ならば、② であるが、
② ならば、① であるとは、限らない。
といふことが、「一目瞭然」である。
といふことと、
① あるフランス人は学生である。
② フランス人は存在し、学生も存在する（が、そのフランス人と学生は「同一人物」ではない）。
ならば、
①＝② ではない。
といふことは、「同じこと」である。
令和０２年７月２５日、毛利太。