「恒真式（トートロジー）」について。

（01）
１（１）Ｐ　Ａ
に対応する「連式（sequent）」は、
① Ｐ├ Ｐ
である。
然るに、
（02）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１ＣＰ
に対応する「連式（sequent）」は、
② 　├ Ｐ→Ｐ
である。
然るに、
（03）
① Ｐ├ Ｐ
②　 ├ Ｐ→Ｐ
といふ「連式」は、
① Ｐなれ（已然形）ばＰなり。
② Ｐなら（未然形）ばＰなり。
といふ「古文」、並びに、
① Ｐなので、Ｐである。
② Ｐならば、Ｐである。
といふ「口語」に相当する。
従って、
（01）～（03）により、
（04）
① Ｐなれ（已然形）ばＰなり。
② Ｐなら（未然形）ばＰなり。
といふ「古文」に相当する所の、
① Ｐ├ Ｐ
②　 ├ Ｐ→Ｐ
といふ「連式」に於いて、
① であれば、「Ｐである」と、「断定」してゐるが、
② であれば、「Ｐであるとも、Ｐでないとも」言ってゐない。
然るに、
（05）
① Ｐなれ（已然形）ばＰなり。
② Ｐなら（未然形）ばＰなり。
に於いて、
① であれば、『場合によっては、本当であり、場合によってはウソである。』が、
② であれば、『ウソでは、あり得ない。』
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① Ｐ├ Ｐ
②　 ├ Ｐ→Ｐ
といふ「連式」に於いて、
① は、『本当、または、ウソ』であるが、
② は、『恒に真である』所の、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（07）
① Ｐ├ Ｐ
②　 ├ Ｐ→Ｐ
に於いて、
① であれば、├ の「左側」には「Ｐ」があり、
② であれば、├ の「左側」には「　」がある。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ├ Ｐ
②　 ├ Ｐ→Ｐ
に於いて、
① であれば、├ の「左側」には「何か」が有るが、
② であれば、├ の「左側」には「何も」無い。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① ├ の「左側」には「何か（仮定）」が残ってゐるならば、「その連式」は、「恒真式（トートロジー）」ではなく、
② ├ の「左側」には「何も（仮定）」残ってゐないならば「その連式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）（09）により、
（10）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１ＣＰ
に対応する「連式（sequent）」が、
②　 ├ Ｐ→Ｐ
であるが故に、
②　　  Ｐ→Ｐ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
１（１）　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）　１１ＲＡＡ
従って、
（09）（11）により、
（12）
１（１）　　Ｐ＆～Ｐ　　Ａ
　（２）～（Ｐ＆～Ｐ）　１１ＲＡＡ
に対応する「連式（sequent）」が、
③ 　├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
であるが故に、
③ 　　 ～（Ｐ＆～Ｐ）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
１　（１）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ
　２（２）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　２（３）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１２＆Ｉ
１　（５）　　～Ｐ　　　　　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　５∨Ｉ
１　（７）　～（Ｐ∨～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｐ∨～Ｐ）　　１６＆Ｉ
　　（８）～～（Ｐ∨～Ｐ）　　１７ＲＡＡ
　　（９）　　（Ｐ∨～Ｐ）　　８ＤＮ
従って、
（09）（13）により、
（14）
１　（１）　～（Ｐ∨～Ｐ）　　Ａ
　　（９）　　　Ｐ∨～Ｐ　　　８ＤＮ
に対応する「連式（sequent）」が、
④ 　├ Ｐ∨～Ｐ
であるが故に、
④ 　   Ｐ∨～Ｐ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（10）（12）（14）により、
（15）
「番号」を付け直すと、
①     Ｐ→　Ｐ　≡ＰならばＰである（同一律）。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）≡ＰであってＰでない、といふことはない（矛盾律）。
③　　 Ｐ∨～Ｐ　≡Ｐであるか、または、Ｐでない（排中律）。
といふ「論理式」は、３つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（16）
１　　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　２含意の定義
１２　　（４）　　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
１　　　（５）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　　　２４ＣＰ
１　　　（６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　５含意の定義
　　７　（７）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　Ａ
　　７　（８）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　７ド・モルガンの法則
　　７　（９）　　Ｐ　　　　　　　　　８＆Ｅ
　　　ア（ア）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　（イ）　　Ｐ　　　　　　　　　６７９アア∨Ｅ
　　　　（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１イＣＰ
従って、
（09）（16）により、
（17）
①     Ｐ→　Ｐ　≡ＰならばＰである（同一律）。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）≡ＰであってＰでない、といふことはない（矛盾律）。
③　　 Ｐ∨～Ｐ　≡Ｐであるか、または、Ｐではい（排中律）。
④ （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡Ｐならば、Ｑであらうと、なからうと、ＰなのでＰである（パースの法則）。
といふ「論理式」は、４つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（18）
（ⅴ）
１　　　　　（１）　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　　　（２）　　～Ｑ∨　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（３）　　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
　　４　　　（４）　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　　Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　　　４５＆Ｉ
　　４　　　（７）　～（Ｑ＆～Ｐ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　８９＆Ｉ
　　　８　　（イ）　～（Ｑ＆～Ｐ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）　～（Ｑ＆～Ｐ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　　Ｑ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）　～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　ウカ
１　　　エ　（ク）　　　　～～Ｐ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　　Ｐ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　Ｑ→　Ｐ　　　エケＣＰ
　　　　　　（サ）Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　　１コＣＰ
（ⅵ）
１　　（１）Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）Ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２３（４）　　　Ｑ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２３ＭＰＰ
１　３（５）　　　Ｑ→Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１３ＭＰＰ
１２３（６）　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５ＭＰＰ
１２　（７）　　　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３６ＣＰ
１　　（８）（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　　　　　　　　　　　　２７ＣＰ
　　　（９）　（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））　１８ＣＰ
（ⅶ）
１　　（１）　　～Ｐ→～Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ　
　　３（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１　３（４）　　　　　～Ｑ　　　　　　　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　２４＆Ｉ
１２３（６）　～～Ｐ　　　　　　　　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　Ｐ　　　　　　　　　　６ＤＮ
１　　（８）　Ｑ→Ｐ　　　　　　　　　　２７ＣＰ
　　　（９）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）　１８ＣＰ
従って、
（09）（17）（18）により、
（19）
例へば、
①     Ｐ→　Ｐ　                                  ≡ＰならばＰである（同一律）。
② ～（Ｐ＆～Ｐ）                                  ≡ＰであってＰでない、といふことはない（矛盾律）。
③　　 Ｐ∨～Ｐ　                                  ≡Ｐであるか、または、Ｐではい（排中律）。
④ （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ                          ≡Ｐならば、Ｑであらうと、なからうと、ＰなのでＰである（パースの法則）。
⑤　　 Ｐ→（Ｑ→Ｐ）  　　　　　　　　　　　　　  ≡Ｐならば、Ｑであらうと、なからうと、Ｐである（ルカジェヴィッツの公理Ⅰ）。
⑥　 （Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→（（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ））≡Ｐならば、ＱならばＲ。であるならば、ＰならばＱである、ならば、ＰならばＲである（ルカジェヴィッツの公理Ⅱ）。
⑦ （～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）                      ≡Ｐでないならば、Ｑでない。であるならば、ＱならばＰである（ルカジェヴィッツの公理Ⅲ）。
といふ「論理式」は、７つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
令和０２年０７月０７日、毛利太。