三上先生も知ってゐる「ド・モルガンの有名な論証」。

（01）
「何々の」というものを重視したいものである。
　すべての馬が動物であれば、馬の頭は動物の頭である。（ド・モルガンの例）
というようなものに備えて、「何々の」に対して敏感でることが望ましい。以上のように、条件文で道理を表わすことわざで了解事項となるものは、ガノニヲの範囲である。
（三上章、日本語の論理、1963年、３８頁）
然るに、
（02）
① すべての馬が動物であれば、　　馬の頭は動物の頭である。
② すべての馬は動物である。故に、馬の頭は動物の頭である。
② All horses are animals; therefore all horses' heads are animals' heads.
に於いて、
①＝② であるが、（ド・モルガンの例）といふのであれば、
① ではなく、
② である。
（03）
ド・モルガンが、明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的な論理学のわくぐみのなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。
　（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
　― 中略 ―
あるものが馬の頭であるためには、それがその馬の頭であるようなある馬が存在しなかければならない。記号で書くと、
ａは、∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）であるとき、またそのときに限って、「動物」の頭である。同様に、
ａは、∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）であるとき、またそのときに限って、 「馬」 の頭である。従って、
われわれが（１）の論証を正当化するために必要のある連式はつぎの通りである。
（１）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　馬ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　 　Ａ
　　３（４）　　　　　　馬ｂ　　　　　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　　　　　　　　頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　馬ｂ→動ｂ　　　 　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
１　３（７）　　　　　　　　　動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　 ４６ＭＰＰ
１　３（８）　　　　　　動ｂ＆頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　５７＆Ｉ
１　３（９）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　８ＥＩ
１２　（ア）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　２３９ＥＥ
１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　 ２アＣＰ
１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ 　イＵＩ
（論理学初歩、E.J.レモン 著、 竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１６６・７頁改）
然るに、
（04）
（２）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ（馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ）｝→∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ＆動ｘ）｝
１　　　（１）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　 　　　　　　 Ａ
　２　　（２）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ）｝ Ａ
１　　　（３）　　　馬ａ→動ａ　　　　　　　　　　１ＵＥ
　２　　（４）　　　馬ａ→∃ｙ（頭ｙａ） ２ＵＥ
　　５　（５）　　　馬ａ　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　５　（６）　　　　　　動ａ　　　　　　　　　　３５ＭＰＰ
　２５　（７）　　　　　　∃ｙ（頭ｙａ）　　　　　Ａ
　　　８（８）　　　　　　　　　頭ｂａ　　　　　　Ａ
１　５８（９）　　　　　　　　　頭ｂａ＆動ａ　　　６８＆Ｉ
１　５８（ア）　　　　　　∃ｙ（頭ｙａ＆動ａ）　　９ＥＩ
１２５　（イ）　　　　　　∃ｙ（頭ｙａ＆動ａ）　　７８アＥＥ
１２　　（ウ）　　　馬ａ→∃ｙ（頭ｙａ＆動ａ）　　５イＣＰ
１２　　（エ）∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ＆動ｘ）｝　ウＵＩ　
１　　　（オ）∀ｘ（馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ）｝→
　　　　　　　∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ＆動ｘ）｝　２エＣＰ
然るに、
（05）
馬には動物の頭がある。⇔
∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ＆動ｘ）｝⇔
すべてのｘについて｛ｘが馬であるならば、あるｙはｘの頭であって、ｘは動物である｝。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
（１）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
（２）∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ）｝→∀ｘ｛馬ｘ→∃ｙ（頭ｙｘ＆動ｘ）｝
といふ「論証」、すなはち、
（１）すべての馬は動物である。故に、すべての馬の頭は、動物の頭である。
（２）すべての馬は動物である。故に、すべての馬に頭が有るならば、すべての馬には動物の頭が有る。
といふ「論証」は、両方とも、「妥当」である。
令和０２年０７月０４日、毛利太。