「矛盾律」と「同一律」と「排中律」の「述語論理」。

（01）
① ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）≡（Ｆであって、Ｆでないｘ）は存在しない。
② 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）≡すべてｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＦである）。
③　 ∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）≡すべてｘについて（ｘはＦであるか、または、ｘはＦではない）。
といふ「恒真（トートロジー）」を、
①「矛盾律」といひ、
②「同一律」といひ、
③「排中律」といふ。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　Ａ
　　　（２）　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　　１１ＲＡＡ
　３　（３）　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　　Ａ
　　４（４）　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　Ａ
　　４（５）　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）＆
　　　　　　　　　（Ｆａ＆～Ｆａ）　　２４＆Ｉ
　３　（６）　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）＆
　　　　　　　　　（Ｆａ＆～Ｆａ）　３４５ＥＥ
　　　（７）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　３６ＲＡＡ
（ⅱ）
　１　（１）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　　　（２）　　　Ｆａ→Ｆａ　　１１ＣＰ
　　　（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）　２ＵＩ
（ⅲ）
　１　（１）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）　　Ａ
　　２（２）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
　　２（３）　　　Ｆａ∨～Ｆａ　　　２∨Ｉ
　１２（４）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
　　　　　　　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　１２＆Ｉ
　１　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　２４ＲＡＡ
　１　（６）　　　Ｆａ∨～Ｆａ　　　５∨Ｉ
　１　（７）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
　　　　　　　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　１６＆Ｉ
　　　（８）～～（Ｆａ∨～Ｆａ）　　１７ＲＡＡ
　　　（９）　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　８ＤＮ
　　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）　　９ＵＩ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①「矛盾律」は、　　「Ｆａ＆～Ｆａ」　を「仮定」することによって「証明」でき、
②「同一律」は、　　「Ｆａ」　　　　　を「仮定」することによって「証明」でき、
③「排中律」は、「～（Ｆａ∨～Ｆａ）」を「仮定」することによって「証明」できる。
然るに、
（04）
（ⅰ）
　１　　（１）　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　Ａ
　　　　（２）　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　　１１ＲＡＡ
　　３　（３）　∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　　Ａ
　　　４（４）　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　Ａ
　　　４（５）　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）＆
　　　　　　　　　　（Ｆａ＆～Ｆａ）　　２４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）＆
　　　　　　　　　　（Ｆａ＆～Ｆａ）　　３４５ＥＥ
　　　　（７）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　　３６ＲＡＡ
（ⅱ）
　１　　（１）　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　Ａ
　　　　（２）　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　　１１ＲＡＡ
　　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３４（５）　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　３４＆Ｉ
　　３４（６）　～（Ｆａ＆～Ｆａ）＆
　　　　　　　　　（Ｆａ＆～Ｆａ）　　２５＆Ｉ
　　３　（７）　　　　　～～Ｆａ　　　４６ＲＡＡ
　　３　（８）　　　　　　　Ｆａ　　　７ＤＮ
　　　　（９）　　　Ｆａ→　Ｆａ　　　３８ＣＰ
　　　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）　　９ＵＩ
（ⅲ）
１　　　（１）　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　Ａ
　　　　（２）　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　　１１ＲＡＡ
　３　　（３）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）　　Ａ
　　４　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
　　４　（５）　　　Ｆａ∨～Ｆａ　　　４∨Ｉ
　３４　（６）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
　　　　　　　　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　３５＆Ｉ
　３　　（７）　　～Ｆａ　　　　　　　４６ＲＡＡ
　　　８（８）　　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　　８（９）　　　Ｆａ∨～Ｆａ　　　８∨Ｉ
　３　８（ア）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
　　　　　　　　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　３９＆Ｉ
　３　　（イ）　　　　　～～Ｆａ　　　８アＲＡＡ
　３　　（ウ）　　　　　　　Ｆａ　　　イＤＮ
　３　　（オ）　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　７ウ＆Ｉ
　３　　（カ）　～（Ｆａ＆～Ｆａ）＆
　　　　　　　　　（Ｆａ＆～Ｆａ）　　２オ＆Ｉ
　　　　（キ）～～（Ｆａ∨～Ｆａ）　　３カＲＡＡ
　　　　（ク）　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　キＤＮ
　　　　（ケ）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）　　クＵＩ
従って、
（03）（04）により、
（05）
①「矛盾律」は、「Ｆａ＆～Ｆａ（矛盾）」を「仮定」することによっても「証明」でき、
②「同一律」も、「Ｆａ＆～Ｆａ（矛盾）」を「仮定」することによっても「証明」でき、
③「排中律」も、「Ｆａ＆～Ｆａ（矛盾）」を「仮定」することによっても「証明」できる。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１（１）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　Ａ
１（２）∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　１量化子の関係
１（３）　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　１ＵＩ
１（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆａ　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　Ｆａ→  Ｆａ　　４含意の定義
１（６）　∀ｘ（Ｆｘ→  Ｆｘ）　５ＵＩ
（Ⅰ）
１（１）　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）　Ａ
１（２）　　　　Ｆａ→　Ｆａ　　１ＵＥ
１（３）　　　～Ｆａ∨　Ｆａ　　２含意の定義
１（４）　　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　３ド・モルガンの法則
１（５）∀ｘ～（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　４ＵＩ
１（６）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）　５量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
① ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）
⑪   ∀ｘ（Ｆｘ→  Ｆｘ）
に於いて、
①＝⑪ である。
然るに、
（08）
② 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）
⑫　 ∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）
の場合は、それこそ、
②＝⑫ は、「同一律」である。
然るに、
（09）
（ⅲ）
１　　　　　（１）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）　　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｆａ∨～Ｆａ　　　１ＵＥ
１　　　　　（３）　　～Ｆａ∨　Ｆａ　　　２交換法則
　４　　　　（４）　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　Ａ
　　５　　　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　Ａ
　４　　　　（６）　　　Ｆａ　　　　　　　４＆Ｅ
　４５　　　（７）　　～Ｆａ＆　Ｆａ　　　５６＆Ｉ
　　　８　　（８）　　　　　　　Ｆａ　　　Ａ
　４　　　　（９）　　　　　　～Ｆａ　　　４＆Ｅ
　４　８　　（ア）　　～Ｆａ＆　Ｆａ　　　８９＆Ｉ
１４　　　　（イ）　　～Ｆａ＆　Ｆａ　　　３５７８ア∨Ｅ
１　　　　　（ウ）　～（Ｆａ＆～Ｆａ）　　４イＲＡＡ
　　　　エ　（エ）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）　～（Ｆａ＆～Ｆａ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｆａ＆～Ｆａ）　　ウカ＆Ｉ
１　　　エ　（ク）　　　　　～～Ｆａ　　　オキＲＡＡ
１　　　エ　（ケ）　　　　　　　Ｆａ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　　Ｆａ→　Ｆａ　　　エケＣＰ
１　　　　　（サ）∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）　　コＵＩ
（Ⅳ）
１　（１）∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）　　Ａ
１　（２）　　　Ｆａ→　Ｆａ　　　１ＵＥ
　３（３）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）　　Ａ
１　（４）　　～Ｆａ∨　Ｆａ　　　２含意の定義
１　（５）　　　Ｆａ∨～Ｆａ　　　４交換法則
１３（６）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
　　　　　　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　３５＆Ｉ
１　（７）～～（Ｆａ∨～Ｆａ）　　３６ＲＡＡ
１　（８）　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　７ＤＮ
１　（９）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）　　８ＵＩ
従って、
（09）により、
（10）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）
⑬ ∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）
に於いて、
③＝⑬ である。
従って、
（07）（08）（10）により、
（11）
① ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）
⑪ 　∀ｘ（Ｆｘ→  Ｆｘ）
② 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）
⑫　 ∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）
③　 ∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）
⑬ 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）
に於いて、
①＝⑪＝∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）
②＝⑫＝∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）
③＝⑬＝∀ｘ（Ｆｘ→Ｆｘ）
である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
① ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｆｘ）は「矛盾律」。
② 　∀ｘ（Ｆｘ→　Ｆｘ）は「同一律」。
③　 ∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）は「排中律」。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（12）により、
（13）
ある「論理体系」に於いて、「排中律」が成り立たないのであれば、
ある「論理体系」に於いては「同一律」も、「矛盾律」も成り立たないに、違ひない。
然るに、
（14）
排中律（はいちゅうりつ、英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 Ｐ に対し、
"Ｐ∨～Ｐ"（Ｐであるか、またはＰでない）が成り立つことを主張する法則である。これは、論理の古典的体系では基本的な属性であり、
同一律、無矛盾律とともに、（古典的な）思考の三原則のひとつに数えられる。しかし、論理体系によっては若干異なる法則となっている場合もあり、場合によっては排中律が全く成り立たないこともある（例えば直観論理）[1][2]。（ウィキペディア）
然るに、
（15）
証明論的な視点から見ると、直観主義論理は古典論理の制限であって排中律や二重否定除去が公理として許容されないものである。排中律や二重否定除去はいくつかの論理式に対しては個別に証明できることがあるけれども、古典論理のように普遍的に成立することはない。（ウィキペディア）
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
「直観主義論理」に於いては、「同一律」も、「矛盾律」も成り立たないに、違ひない。
といふことは、「本当」なのだらうか？
令和０２年０７月０４日、毛利太。