（01）
多くの古典論理の恒真式は直観主義論理には証明できない。排中律 Ｐ∨～Ｐだけでなく、二重否定除去 ～～Ｐ→Ｐ や、パースの法則 （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ などがその例である。
（ウィキペディア）
然るに、
（02）
「真理値表（Truth table）」により、
①（（真→真）→真）→真
②（（真→偽）→真）→真
③（（偽→真）→偽）→偽
④（（偽→偽）→偽）→偽
に於いて、
① は「真」であり、
② も「真」であり、
③ も「真」であり、
④ も「真」である。
ｃｆ.
「恒真式（トートロジー）」。
従って、
（02）により、
（03）
①（（Ｐ→真）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→偽）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は「真」であり、
② も「真」である。
従って、
（01）（03）により、
（04）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、なからうと）Ｐなので）Ｐである。
といふことに、他ならない。
従って、
（05）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、なからうと）Ｐなので）Ｐである。
といふ「パースの法則」は、「当り前」のことを、述べてゐるに過ぎない。
然るに、
（06）
「真理値表（Truth table）」によらず、
「命題計算（propositional calculus）」によって、例へば、
「Ｐ→Ｐ（ＰならばＰである）」といふ「同一律」が「恒真式（トートロジー）」である。
といふことを示したいのであれば、、
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
に於ける、
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
のやうに、
（＃）結論 ＃＃ＣＰ
を得た際に、
（＃）の「左側」が「空欄」であるやうに、すれば良い。
然るに、
（07）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① Ｐ→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①「同一律」は、 「恒真式（トートロジー）」であって、
②「パースの法則」も「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
に於いて、
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則
を用ひない場合は、「数学の定理の証明の過程で、他の定理を、証明する」やうなものなので、その分、「証明（10）」のやうに、「証明が長くなる」。
（10）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） ～Ｐ Ａ
３ （５） Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
２ （ウ） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨ＥＩ
エ （エ） Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
２ エオ （キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆（Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
２ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
２ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
２ （コ） Ｐ→ Ｑ エケＣＰ
１２ （サ） Ｐ １コＭＰＰ
１ （シ） （～Ｐ∨Ｑ）→ Ｐ ２３ＣＰ
ス （ス） （～Ｐ∨Ｑ）＆～Ｐ Ａ
ス （セ） （～Ｐ∨Ｑ） ス＆Ｅ
１ ス （ソ） Ｐ シセＭＰＰ
ス （タ） ～Ｐ ス＆Ｅ
１ ス （チ） Ｐ＆～Ｐ ソタ＆Ｉ
１ （ツ） ～～Ｐ シチＲＡＡ
１ （テ） Ｐ ツＤＮ
１ （ト） ～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ テ∨Ｉ
ナ （ナ） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
ニ （ニ） ～Ｐ Ａ
ニ （ヌ） ～Ｐ∨Ｑ 二∨Ｉ
ナ二 （ネ）～（～Ｐ∨Ｑ）＆（～Ｐ＆Ｑ） ナニ＆Ｉ
ナ （ノ） ～～Ｐ 二ＲＡＡ
ナ （ハ） Ｐ ノＤＮ
マ（マ） Ｐ Ａ
１ （ヤ） Ｐ トナハママ∨Ｉ
（イ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １ヤＣＰ
然るに、
（10）により、
（11）
（イ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １ヤＣＰ
といふ「結論（パースの法則）」を得る「過程」で、
２ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
２ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （ツ） ～～Ｐ シチＲＡＡ
１ （テ） Ｐ ツＤＮ
ナ （ノ） ～～Ｐ 二ＲＡＡ
ナ （ハ） Ｐ ノＤＮ
といふ「具合」に、「計３回、ＤＮ（二重否定除去）」を用ひてゐる。
然るに、
（01）により、
（12）
もう一度、確認すると、
直観主義論理では、「二重否定除去 ～～Ｐ→Ｐ」や、「パースの法則 （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ」などが「証明」出来ない。
従って、
（11）（12）により、
（13）
（イ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １ヤＣＰ
といふ「結論（パースの法則）」を得る「過程」で、
２ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
２ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （ツ） ～～Ｐ シチＲＡＡ
１ （テ） Ｐ ツＤＮ
ナ （ノ） ～～Ｐ 二ＲＡＡ
ナ （ハ） Ｐ ノＤＮ
といふ「具合」に、「計３回、ＤＮ（二重否定除去）」を用ひてゐるが、
直観主義論理では、固より「ＤＮ（二重否定除去）」そのものを「認めない」。
従って、
（09）～（13）により、
（14）
直観主義論理では、「ＤＮ（二重否定除去）」そのものを「認めない」が故に、
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義（二重否定除去に、依存する。）
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義（二重否定除去に、依存する。）
７ （７）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ド・モルガンの法則（二重否定除去に、依存する。）
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
といふ「（パースの法則の）証明」を、「直観主義論理」は認めない。
といふ、ことになる。
然るに、
（15）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｑ Ａ
３（３） Ｐ Ａ
１ ３（４） Ｑ １３ＭＰＰ
１２３（５） ～Ｑ＆Ｑ ２４＆Ｉ
１２ （６）～Ｐ ３５ＲＡＡ
１ （７）～Ｑ→～Ｐ ２６ＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（15）により、
（16）
② Ｐ→ Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである。）
③ ～Ｑ→～Ｐ（Ｑでないならば、Ｐでない。）
に於いて、
②＝③ は「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（17）
（ⅲ）
１ （１） ～Ｑ→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
１ ３（４） ～Ｐ １３ＭＰＰ
１２３（５） Ｐ＆～Ｐ ２４＆Ｉ
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
の場合は、
１２ （６）～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
に於いて、「ＤＮ（二重否定除去）」を、用ひてゐる。
従って、
（14）～（17）により、
（18）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ といふ「パースの法則」。
②（（Ｐ→Ｑ）⇔（～Ｑ→～Ｐ））といふ「対偶」。
に於いて、「直観主義論理」は、
① だけでなく、
② も「認めない」。
といふ、ことになる。
然るに、
（19）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、なからうと）Ｐなので）Ｐである。
といふ「どうでも良い法則」は、ともかく、
②（（Ｐ→Ｑ）⇔（～Ｑ→～Ｐ））
②（（ＰであるならばＱである）と（ＱでないならばＰでない）とは、同じことである。）
といふ「対偶」をも認めない「直観主義論理」は、「あまりにも、変な論理である」。
といふ風しか、思へない。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
多くの古典論理の恒真式は直観主義論理には証明できない。排中律 Ｐ∨～Ｐだけでなく、二重否定除去 ～～Ｐ→Ｐ や、
パースの法則 （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ などがその例である。
といふ「説明」は、『私には、全く、理解できない所の、謎』である。
令和０２年０７月０５日、毛利太。
0 件のコメント:
コメントを投稿