「排中律」の「述語論理」。

（01）
誤謬の最も直接的な形は、次の「証明」に見られる。
１（１）　　Ｆａ　Ａ
１（２）∀ｘＦｘ　１ＵＩ
たとえば、Ｆ を奇数であると解釈し、数の世界において、任意に奇数、たとえば３を選ぶとしよう。その結果は Ｆａ は真となる。しかしここから、すべての数は奇数であるということ―これは偽であるが―明らかに帰結しない。（１）から（２）への進みは、制限によってはばまれる。なぜなら、（１）はそれ自身に依存し、そしてそのなかには「ａ」が現われるからである。
（E.J.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１４０頁）
然るに、
（02）
Ｆ＝奇数
｛すべての数｝＝｛１，２，３｝
であるとして、
① ∀ｘＦｘ
②｛Ｆ１＆Ｆ２＆Ｆ３｝
③｛すべての整数は、奇数である。｝
④｛１は奇数であって、２は奇数であって、３は奇数である。｝
に於いて、
①＝②＝③＝④である。
然るに、
（03）
④｛１は奇数であって、２は奇数であって、３は奇数である。｝
⑤｛１は奇数であるが、２は偶数であって、３は奇数である。｝
に於いて、
④ は「偽（ウソ）」であって、
⑤ は「真（本当）」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
１（１）　　Ｆａ　Ａ
１（２）∀ｘＦｘ　１ＵＩ
といふ「計算」は、確かに、「誤謬（fallacy）」である。
然るに、
（05）
１　（１）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）　　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
　２（３）　　　Ｆａ∨～Ｆａ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
　　　　　　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　１２＆Ｉ
１　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　Ｆａ∨～Ｆａ　　　５∨Ｉ
１　（７）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
　　　　　　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　１６＆Ｉ
　　（８）～～（Ｆａ∨～Ｆａ）　　１７ＲＡＡ
　　（９）　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　８ＤＮ
　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）　　９ＵＩ
然るに、
（06）
Ｆ＝奇数
｛すべての数｝＝｛１，２，３｝
であるとして、
① ∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）
②｛すべての整数は、奇数か、偶数である。｝
③｛（Ｆ１∨～Ｆ１）＆（Ｆ２∨～Ｆ２）＆（Ｆ３∨～Ｆ３）｝
④｛（１は奇数か、偶数であり）、（２は奇数か、偶数であり）、（３は奇数か、偶数である）。｝
に於いて、
①＝②＝③＝④である。
然るに、
（07）
③（１は奇数か、または、偶数である。）は「真（本当）」であって、
③（２は奇数か、または、偶数である。）は「真（本当）」であって、
③（３は奇数か、または、偶数である。）は「真（本当）」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
１　（１）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）　　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ　　　　　　　Ａ
　２（３）　　　Ｆａ∨～Ｆａ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
　　　　　　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　１２＆Ｉ
１　（５）　　～Ｆａ　　　　　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　Ｆａ∨～Ｆａ　　　５∨Ｉ
１　（７）　～（Ｆａ∨～Ｆａ）＆
　　　　　　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　１６＆Ｉ
　　（８）～～（Ｆａ∨～Ｆａ）　　１７ＲＡＡ
　　（９）　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　８ＤＮ
　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）　　９ＵＩ
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（09）
１（１）　　Ｆａ　Ａ
１（２）∀ｘＦｘ　１ＵＩ
の場合は、
　（１）の「左」には、１があり、（１）には、Ｆａがあるため、（１）にはａがある。
　（２）の「左」には、１があり、（１）には、Ｆａがあるため、（１）にはａがある。
ものの、これに対して、
　　（９）　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　８ＤＮ
　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）　　９ＵＩ
の場合は、
　　（９）の「左」には、「何も無い」し、
　　（ア）の「左」にも、「何も無い」。
従って、
（01）（09）により、
（10）
１（１）　　Ｆａ　Ａ
１（２）∀ｘＦｘ　１ＵＩ
は「反則」であるが、
　　（９）　　（Ｆａ∨～Ｆａ）　　８ＤＮ
　　（ア）∀ｘ（Ｆｘ∨～Ｆｘ）　　９ＵＩ
は「反則」ではない。
然るに、
（11）
因みに言ふと、
（ⅰ）
１（１）　　Ｆａ　Ａ
１（２）∃ｘＦｘ　１ＥＩ
（ⅱ）
１　（１）∃ｘＦｘ　Ａ
　２（２）　　Ｆａ　Ａ
（ⅲ）
１（１）∃ｘＦｘ　Ａ
１（２）　　Ｆａ　Ａ
（ⅳ）
１　　（１）　　　　　　Ｆａ　　Ａ
　２　（２）　　　　∃ｘＧｘ　　Ａ
　　３（３）　　　　　　Ｇａ　　Ａ
１　３（４）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　１３＆Ｉ
１　３（５）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　３ＥＩ
１２　（６）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　２３５ＥＥ
に於いて、
（ⅰ）は「正しい」。
（ⅱ）も「正しい」。
（ⅲ）は「正しくない」。
（ⅳ）も「正しくない」。
令和０２年０７月０３日、毛利太。