「パースの法則」と「同値の式」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）　Ａ
１　　（２）Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　２∨Ｉ
１　　（４）　　　Ｐ∨～Ｑ　　１＆Ｅ
　５　（５）　　　～Ｑ　　　　Ａ
　５　（６）　　　Ｐ＆～Ｑ　　２５＆Ｉ
　５　（７）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　８（９）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　８∨Ｉ
１　　（ア）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　４５７８９∨Ｉ
（ⅱ）
１　　（１）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｐ∨～Ｑ　　２∨Ｉ
　２　（４）Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）　２３＆Ｉ
　　５（５）　　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　５（６）　　　Ｐ　　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　Ｐ∨～Ｑ　　６∨Ｉ
　　５（８）Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）　６７＆Ｉ
１　　（９）Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）　１２４５８∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）
② Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　　　　　　　　（１）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　Ａ
　２　　　　　　　（２）Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　２∨Ｉ
　　４　　　　　　（４）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　５　　　　　（５）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　４　　　　　　（６）　　　Ｐ　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　４５　　　　　（７）　　　　　　Ｑ　　　　　　　５６ＭＰＰ
　　４　　　　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　　４＆Ｅ
　　４５　　　　　（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　７８＆Ｉ
　　４　　　　　　（ア）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　　５９ＲＡＡ
　　４　　　　　　（イ）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　ア∨Ｉ
１　　　　　　　　（ウ）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　１２３４イ∨Ｅ
　　　　エ　　　　（エ）　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　オ　　　（オ）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　Ａ
　　　　エ　　　　（カ）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　エ＆E
　　　　エオ　　　（キ）　～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ）　オカ＆Ｉ
　　　　　オ　　　（ク）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　　エキＲＡＡ
　　　　　　ケ　　（ケ）　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　　エ　　　　（コ）　　　　　　　　～Ｐ　　　　エ＆Ｅ
　　　　エ　ケ　　（サ）　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　ケコ＆Ｉ
　　　　　　ケ　　（シ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　　エサＲＡＡ
１　　　　　　　　（ス）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　　１オクケシ∨Ｅ
　　　　　　　セ　（セ）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　ソ（ソ）　　　　　　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　　　セソ（タ）　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　セソ＆Ｉ
１　　　　　　セソ（チ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　　スタ＆Ｉ
１　　　　　　セ　（ツ）　　　　　　　～～Ｐ　　　　ソチＲＡＡ
１　　　　　　セ　（テ）　　　　　　　　　Ｐ　　　　ツＤＮ
１　　　　　　　　（ト）　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　セテＣＰ
（ⅲ）
１　　　　　　　（１）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　～｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝　　Ａ
　　３　　　　　（３）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　Ａ
　　３　　　　　（４）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　３∨Ｉ
　２３　　　　　（５）　～｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝　　２４＆Ｉ
　２　　　　　　（６）　　～～（Ｐ→Ｑ）　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　　　　　（７）　　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　６ＤＮ
１２　　　　　　（８）　　　　　　　　　　Ｐ　　　１７ＭＰＰ
１２　　　　　　（９）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　８∨Ｉ
１２　　　　　　（ア）　～｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝　　２９＆Ｉ
１　　　　　　　（イ）～～｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝　　２アＲＡＡ
１　　　　　　　（ウ）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　イＤＮ
　　　エ　　　　（エ）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　オ　　　（オ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　カ　　（カ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　キ　（キ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　カキ　（ク）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　カキ＆Ｉ
　　　　オカキ　（ケ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　オク＆Ｉ
　　　　オカ　　（コ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　キケＲＡＡ
　　　　オカ　　（サ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　コＤＮ
　　　　オ　　　（シ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　カサＣＰ
　　　エオ　　　（ス）～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ）　　エシ＆Ｉ
　　　エ　　　　（セ）　～～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　オスＤＮ
　　　エ　　　　（ソ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　セＤＮ
　　　エ　　　　（タ）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　ソ∨Ｉ
　　　　　　　チ（チ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　　　　チ（ツ）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　チ∨Ｉ
１　　　　　　　（テ）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　ウエタチツ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
② Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）
③ （Ｐ→Ｑ）→Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）
② Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）
③ （Ｐ→Ｑ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
①（Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①（Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、
③ は、「パースの法則」である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１（１）　Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）　　　　Ａ
１（２）　Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　（３）（Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ））→Ｐ　１２ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　Ｐ　　　　　　　　　　　１２２３４∨Ｅ
　　　（６）（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　１５ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（８）　　Ｐ　　　　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「パースの法則」である。
（10）により、
（11）
①　（Ｐであって（Ｐであるか、Ｑでない））ならば、Ｐである。
②　（Ｐであるか（Ｐであって、Ｑでない））ならば、Ｐである。
③（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「パースの法則」である。
従って、
（11）により、
（12）
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝男性である（女性でない）。
であるとして、
①　（日本人であって（日本人であるか、女性である））ならば、日本人である。
②　（日本人であるか（日本人であって、女性である））ならば、日本人である。
③（（日本人であるならば、男性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「パースの法則」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１（１）　Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　　　　Ａ
１（２）　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　（３）（Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ））→Ｐ　１２ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　　Ｐ　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　Ｐ　　　　　　　　　　１２２３４∨Ｅ
　　　（６）（Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ））→Ｐ　１５ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→～Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
１　　（８）　　Ｐ　　　　　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（10）（13）により、
（14）
①　（Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ））→Ｐ
②　（Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ））→Ｐ
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「パースの法則」である。
従って、
（10）（12）（14）により、
（15）
③（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、すなはち、
③（（日本人であるならば、男性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
③（（日本人であるならば、女性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
に於いて、両方とも、
③ パースの法則である。
然るに、
（16）
③（（日本人であるならば、男性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
③（（日本人であるならば、女性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
といふことは、
③（（日本人であるならば、男女を問わず）、日本人である）ならば、日本人である。
といふことに、他ならない。
従って、
（12）（16）により、
（17）
①　（日本人であって（日本人であるか、女性である））ならば、日本人である。
②　（日本人であるか（日本人であって、女性である））ならば、日本人である。
③（（日本人であるならば、男女を問わず）、日本人である）ならば、日本人である。
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「パースの法則」である。
令和０３年１１月１０日、毛利太。