「日本は東京が首都である」の「述語論理」の「否定」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）～∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝　　Ａ
１　　　　（２）∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝　　１量化子の関係
　３　　　（３）　　～｛日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）｝　　Ａ
　３　　　（４）～｛～日本ａ∨［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］｝　３含意の定義
　３　　　（５）　　日本ａ＆～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　４ド・モルガンの法則
　３　　　（６）　　日本ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　３　　　（７）　　　　　　～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　５＆Ｅ
　３　　　（８）　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　７ド・モルガンの法則
　３　　　（９）　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　８含意の定義
　　ア　　（ア）　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３ア　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　９アＭＰＰ
　３ア　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　イ含意の定義
　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（首都ｃａ→ｙ＝ｃ）　　　Ａ
　　　エ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～首都ｃａ∨ｙ＝ｃ）　　　エ含意の定義
　　　エ　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ＆ｙ≠ｃ　　　　オド・モルガンの法則
　　　エ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）　　　カＥＩ
　３ア　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）　　　ウエキＥＥ
　３　　　（ケ）　　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）　　　アクＣＰ
　３　　　（コ）　　　日本ａ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）］　　６ケ＆Ｉ
　３　　　（サ）∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝　コＥＩ
１　　　　（シ）∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝　２３サＥＥ
（ⅱ）
１　　　　　（１）∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→　∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝　Ａ
　２　　　　（２）　　　日本ａ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）］　　Ａ
　２　　　　（３）　　　日本ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　　（４）　　　　　　　［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）］　　２＆Ｅ
　２　　　　（５）　　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）　　　４含意の定義
　　６　　　（６）　　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　６　　　（７）　　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　６∨Ｉ
　　　８　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）　　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ＆ｙ≠ｃ　　　　Ａ
　　　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　Ａ
　　　　　ア（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ→ｙ＝ｃ　　　　アＵＥ
　　　　９　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　９ア（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ＝ｃ　　　　イウＭＰＰ
　　　　９　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ≠ｃ　　　　９＆Ｅ
　　　　９ア（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ＝ｃ＆ｙ≠ｃ　　　　エオ＆Ｉ
　　　　　ア（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｘ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　９カＲＡＡ
　　　　　ア（ク）　　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　キ∨Ｉ
　２　　　　（ケ）　　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　５６７アク∨Ｅ
　２　　　　（コ）　　　　　　　～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　ケ、ド・モルガンの法則
　２　　　　（サ）　　　日本ａ＆～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　３コ＆Ｉ
　２　　　　（シ）　～｛～日本ａ∨［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］｝　サ、ド・モルガンの法則
　２　　　　（ス）　　　～｛日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）｝　　シ含意の定義
　２　　　　（セ）　∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝　　スＥＩ
１　　　　　（ソ）　∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝　　１２セＥＥ
１　　　　　（タ）　～∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝　　ソ量化子の関係
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ｛日本ｘ→［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② ∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～～∀ｘ｛日本ｘ→［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② ～∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① 　∀ｘ｛日本ｘ→［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② ～∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは［（東京であって、ｘの首都であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚと「同一」である）］｝。
② ｛ｘは日本であって、あるｙが（東京であって、ｘの首都である）ならば、あるｚは（ｘの首都であるが、ｙとｚは「同一」でない）｝といふ、そのやうなｘは存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
① 日本は、東京が首都である。
② 東京以外が首都である所の、日本は存在しない。
に於いて、
①＝② である。
（07）
③ 東京以外は日本の首都ではない。
の「対偶（Contraposition）」は、
③ 日本の首都は東京である。
である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 日本は、東京が首都である。
② 東京以外が首都である所の、日本は存在しない。
③ 日本の首都は東京である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
令和０３年１１月１５日、毛利太。