「含意の定義・ド・モルガンの法則・パースの法則」

（01）
（ⅰ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＭＰＰ
（02）
（ⅱ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オＤＮ
（ⅲ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、すなはち、
①  Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）といふことはない。
③  Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）により、
（04）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ であって、
②＝③ であるものの、
①＝② を、「含意の定義（Ⅰ）」とし、
①＝③ を、「含意の定義（Ⅱ）」とし、
②＝③ を、「ド・モルガンの法則」とする。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　　　（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ　　Ａ
１　　（２）　～｛（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ｝　１含意の定義（Ⅰ）
１　　（３）～｛～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ｝　２含意の定義（Ⅰ）
１　　（４）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ　　３ド・モルガンの法則
　５　（５）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ
　５　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
１　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　１５６７７∨Ｅ
　　　（９）　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義（Ⅱ）
１　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　　２含意の定義（Ⅱ）
　４　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　Ａ
　４　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（８）　　Ｐ　　　　　　　　　　１４６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（06）により、
（07）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は、「含意の定義（Ⅰ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」であって、
② は、「含意の定義（Ⅱ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
従って、
（07）（08）により、
（09）
①「パースの法則」は、「含意の定義（Ⅰ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」であって、
②「パースの法則」は、「含意の定義（Ⅱ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」である。
従って、
（03）（09）により、
（10）
①  Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）といふことはない。
③  Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）
が故に、
④（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１　　（１）　　　（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ　　　Ａ
１　　（２）　～｛（Ｐ→～Ｑ）＆～Ｐ｝　　１含意の定義（Ⅰ）
１　　（３）～｛～（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｐ｝　　２含意の定義（Ⅰ）
１　　（４）　　　（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｐ　　　３ド・モルガンの法則
　５　（５）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　Ａ
　５　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　１５６７７∨Ｅ
　　　（９）　　（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
（ⅳ）
１　　（１）　　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義（Ⅱ）
１　　（３）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ　　　　２含意の定義（Ⅱ）
　４　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　Ａ
　４　（５）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）　　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（８）　　　Ｐ　　　　　　　　　　１４６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（06）（07）（11）により、
（12）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
だけでなく、
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③ は、「含意の定義（Ⅰ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」であって、
④ は、「含意の定義（Ⅱ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」である。
従って、
（09）～（12）により、
（13）
④（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
⑤（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
は、両方とも、「パースの法則」であって、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（13）により、
（14）
④（（ＰならばＱの真偽に）拘はらず、Ｐ）ならばＰである。
は、「パースの法則」であって。「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（10）（14）により、
（15）
①  Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）といふことはない。
③  Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）
が故に、
④（（ＰならばＱの真偽に）拘はらず、Ｐ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（16）
① 　 Ｐならば、Ｑである。
②　（ＰであってＱでない）といふことはない。
③ 　 Ｐでないか、または、Ｑである。
④（（ＰならばＱの真偽に）拘はらず、Ｐ）ならばＰである。
に於いて、
①＝②＝③ であることは、「当然」であり、
④ が「真」であることも、「当然」である。
従って、
（08）（16）により、
（17）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
とは言ふものの、「パースの法則」は、少しも、「変なもの」ではない。
然るに、
（18）
パースの法則が、「排中律や二重否定の除去」と等価である。
といふ「言ひ方」に関しては、私には、理解できない。
令和０３年１１月１２日、毛利太。