―「昨日（令和０３年１１月０８日）の記事」を補足します。―
（01）
「原始的規則（10 primitive rules）」並びに、
「含意の定義、ド・モルガンの法則、分配の法則、冪等律」を用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（Ｐ→Ｑ）→Ｐ┤├ Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）
〔解答〕
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
２ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
２ （６） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ５∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ １２６７８∨Ｅ
１ （ア）（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ） ９分配法則
１ （イ） Ｐ∨Ｐ ア＆Ｉ
１ （ウ） Ｐ イ冪等律
１ （エ） （～Ｑ∨Ｐ） ア＆Ｅ
１ （オ） Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ） ウエ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） Ｐ∨Ｐ ２冪等律
１ （４） （～Ｑ∨Ｐ） １＆Ｅ
１ （５）（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ） ３４＆Ｉ
１ （６） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ５分配法則
７ （７） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
７ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） ７ド・モルガンの法則
７ （９） ～（Ｐ→Ｑ） ８含意の定義
７ （ア） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ９∨Ｉ
イ（イ） Ｐ Ａ
イ（ウ） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ イ∨Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ ６７アイウ∨Ｅ
１ （オ） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ エ含意の定義
（02）
「含意の定義、ド・モルガンの法則、分配の法則、冪等律」を用ひずに、
「原始的規則（10 primitive rules）」だけを用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
４ （４） ～Ｑ Ａ
３４ （５） Ｐ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
２３４ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～Ｑ ４６ＲＡＡ
２３ （８） Ｑ ７ＤＮ
２ （９） Ｐ→ Ｑ ３８ＣＰ
１２ （ア） Ｐ １９ＭＰＰ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ ２アＣＰ
ウ （ウ） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ Ａ
エ （エ） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
エ （オ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ エ∨Ｉ
ウエ （カ） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ ウオ＆Ｉ
ウ （キ） ～（Ｐ＆～Ｑ） エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｐ イキＭＰＰ
１ ウ （ケ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ク∨Ｉ
１ ウ （コ） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ イケ＆Ｉ
１ （サ）～～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝ ウコＲＡＡ
１ （シ） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ サＤＮ
ス （ス） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
ス （セ） Ｐ ス＆Ｅ
ス （ソ） ～Ｑ セ＆Ｅ
ス （タ） ～Ｑ∨Ｐ ソ∨Ｉ
ス （チ） Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ） セタ＆Ｉ
ツ（ツ） Ｐ Ａ
ツ（テ） ～Ｑ∨Ｐ ツ∨Ｉ
ツ（ト） Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ） ツテ＆Ｉ
１ （ナ） Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ） シスチツト∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ） Ａ
１ （２） Ｐ １＆Ｅ
１ （３） ～Ｑ∨Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｑ Ａ
１４ （５） Ｐ＆～Ｑ ２４＆Ｉ
１４ （６） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ５∨Ｉ
７ （７） Ｐ Ａ
７ （８） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ １４６７８∨Ｅ
ア （ア） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
イ （イ） Ｐ→ Ｑ Ａ
ア （ウ） Ｐ ア＆Ｅ
アイ （エ） Ｑ イウＭＰＰ
ア （オ） ～Ｑ ア＆Ｅ
アイ （カ） Ｑ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
ア （キ） ～（Ｐ→ Ｑ） アカＲＡＡ
ア （ク） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ キ∨Ｉ
ケ （ケ） Ｐ Ａ
ケ （コ） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ケ∨Ｉ
１ （サ） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ １アクケコ∨Ｅ
シ （シ） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ Ａ
ス （ス） ～（Ｐ→ Ｑ） Ａ
シ （シ） （Ｐ→Ｑ） シ＆Ｅ
シス （セ）～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ） スシ＆Ｉ
ス （ソ） ～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ シセＲＡＡ
タ （タ） Ｐ Ａ
シ （チ） ～Ｐ シ＆Ｅ
シ タ （ツ） Ｐ＆～Ｐ タチ＆Ｉ
タ （テ） ～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ シツＲＡＡ
１ （ト） ～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ サスソタテ∨Ｅ
ナ （ナ） （Ｐ→Ｑ） Ａ
ニ（ニ） ～Ｐ Ａ
ナニ（ヌ） （Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ ナニ＆Ｉ
１ ナニ（ネ） ～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝＆
｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝ トヌ＆Ｉ
１ ナ （ノ） ～～Ｐ ニネＲＡＡ
１ ナ （ハ） Ｐ ノＤＮ
１ （ヒ） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ ナハＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
② Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）
に於いて、
①＝② であるが、この「等式」を、「定理α」とする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）
１（１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１（２） Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ） １定理α
１（３） Ｐ ２連言除去
（４）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １３ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ） Ａ
１（２） Ｐ １連言除去
（３）（Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ））→Ｐ １２ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
「連言除去」により、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ））→Ｐ
といふ「論理式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ））→Ｐ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（Ｐであって（ＱでないかＰ））ならばＰである。
といふ「日本語」は、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝日本人
Ｑ＝男性
であるとして、
①（（日本人ならば男性）ならば日本人）ならば日本人である。
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
といふ「日本語」は、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（09）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
従って、
（06）～（09）により、
（10）
① パースの法則
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
は、両方とも、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（11）
②（日本人であって（男性でないか日本人））であって、外国人である。
といふことは、有り得ないが故に、
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
といふことは、「当然」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① パースの法則
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
は、両方とも、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② であって、尚且つ、
② は、明らかに、「真」である。
従って、
（12）により、
（13）
① パースの法則
も、当然、「真」である。
令和０３年１１月０９日、毛利太。
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