「量化子の関係」と「ド・モルガンの法則」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　　～∀ｘ（Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３ＥＩ
　２３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ
　２　（８）　　　∀ｘ（Ｆｘ）　　７ＵＩ
１２　（９）　　～∀ｘ（Ｆｘ）＆
　　　　　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）　　１９＆Ｉ
１　　（ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　アＤＮ
（ⅱ）
１　　（１）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　　　∀ｘ（Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　２　（４）　　　　　　Ｆａ　　　３ＵＥ
　２３（５）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　３４＆Ｉ
　　３（６）　　～∀ｘ（Ｆｘ）　　２５ＲＡＡ
１　　（７）　　～∀ｘ（Ｆｘ）　　１３６ＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　　（１） 　 ～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　Ａ
　２　　　（２）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　４∨Ｉ
　２３　　（６）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２５＆I
　２　　　（７）　　～～Ｆａ　　　　　　　　　　　２６ＲＡＡ
　２　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　（９）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　（イ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ア∨Ｉ
　２　９　（ウ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　　　　～～Ｆｂ　　　　　　　９ウＲＡＡ
　２　　　（オ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　エＤＮ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　カ∨Ｉ
　　　　カ（ク）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　キ∨Ｉ
　２　　カ（ケ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２カ＆Ｉ
　２　　　（コ）　　　　　　　　　　～～Ｆｃ　　　カケＲＡＡ
　２　　　（サ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　コＤＮ
　２　　　（シ）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　　　　　８オ＆Ｉ
　２　　　（ス）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　サシ＆Ｉ
１２　　　（セ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　２ス＆Ｉ
１　　　　（ソ）～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２セＲＡＡ
１　　　　（タ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ソＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨　～Ｆｃ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ　　　Ａ
１　　　　　（３）　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ　　　１結合法則
　２　　　　（４）　　　（Ｆａ＆　Ｆｂ）＆　Ｆｃ　　　２結合法則
　　５　　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（６）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ　　　　　　　　４＆Ｅ
　　　７　　（７）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　２　７　　（９）　　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　２９ＲＡＡ
　　　　イ　（イ）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（ウ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　６＆Ｅ
　２　　イ　（エ）　　　　～Ｆｂ＆Ｆｂ　　　　　　　　イウ＆Ｉ
　　　　イ　（オ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　２エＲＡＡ
　　５　　　（カ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　５７アイオ∨Ｅ
　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　２　　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　４＆Ｅ
　２　　　キ（ケ）　　　　　　　　　～Ｆｃ＆Ｆｃ　　　キク＆Ｉ
　　　　　キ（コ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　２ケＲＡＡ
１　　　　　（サ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　３５カキコ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① ～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
② 　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝≡｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとすると、
① ～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　≡（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
② ∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　≡　ａはＦでないか、ｂはＦでないか、ｃはＦでない。
① ～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）≡（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
② 　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　≡　ａはＦでないか、ｂはＦでないか、ｃはＦでない。
従って、
（05）により、
（06）
｛すべてのｘ｝≡｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとすると、
① ～∀ｘ（Ｆｘ）≡～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）≡  ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（量化子の関係、ド・モルガンの法則）。
令和０３年１１月０６日、毛利太。