「日本は東京が首都である」の「述語論理」と「同一性」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝　Ａ
　２　　　　（２）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（３）　　　日本ａ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　１ＵＥ
　　４　　　（４）　　　日本ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　４　　　（５）　　　　　　　∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　３４ＭＰＰ
　　　６　　（６）　　　　　　　　　　（東京ｂ＆首都ｂａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｂ＝ｚ）］　　Ａ
　　　６　　（７）　　　　　　　　　　　東京ｂ＆首都ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　　　　　　　　　東京ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　６　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（首都ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　６＆Ｅ
　　　６　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ→ｂ＝ｃ　　　　９ＵＥ
　　　　イ　（イ）　　　大阪ｃ＆～東京ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　イ　（ウ）　　　大阪ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　　　イ　（エ）　　　　　　　～東京ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　　６イ　（オ）　　　東京ｂ＆～東京ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８エ＆Ｉ
　　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６イカ（キ）　　　東京ｂ＆～東京ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オカ＝Ｅ
　　　６イ　（ク）　　　　　　　　　　ｂ≠ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カキＲＡＡ
　　　６イ　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～首都ｃａ　　　　　　　　アクＭＴＴ
　　　６イ　（コ）　　　大阪ｃ＆～首都ｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウケ＆Ｉ
　　　６イ　（サ）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コＥＩ
　２　６　　（シ）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２イサＥＥ
１２４　　　（ス）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５６シＥＥ
１２　　　　（セ）　　　日本ａ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　４スＣＰ
１２　　　　（ソ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝　　　　　　　　　　　　　　　セＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは［（東京であって、ｘの首都であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚと「同一」である）］｝。然るに、
（ⅱ）あるｚは（大阪であって、東京ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｚは（大阪であって、ｘの首都ではない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。　　従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）東京が、日本の首都である。　　然るに、
（ⅱ）大阪は、　　　東京ではない。　従って、
（ⅲ）日本の首都は、大阪はではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）
（ⅰ）日本の首都は、東京である。　　然るに、
（ⅱ）大阪は、　　　東京ではない。　従って、
（ⅲ）日本の首都は、大阪はではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 日本は、東京が首都である。
② 東京が、日本の首都である。
③ 日本の首都は、東京である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
① 日本は、東京が首都である。
② Tokyo is the capital of Japan.
③ The capital of Japan is Tokyo.
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
Aids towards recognizing the 'is' of identity are:
（ａ）Can "is" be replaced by 'is the same object as'? ― if so, 'is' means identity, if not, not.
（ｂ）Can the phrase flanking 'is' on both sides can be reversed preserving approximately the same sense? ― if so, 'is' is 'is' of identity, if not, not.
（E.J.Lemmon Beginning Logic 原文）
同一性の「である」識別するための助けとなることがらはつぎの通りである。
（ａ）「である」を「と同じ対象」であるによって置き換えることができるか ―― もしできるならば、その「である」は同一性の「である」である。もしできなければ、そうではない。
（ｂ）「である」の両側にならぶ語句は、近似値的に同じ意味をたもちつつ入れ換えることができるか ―― もしできるならば、その「である」は同一性の「である」である。もしできなければ、そうではない。（E.J.レモン 著、竹内治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０５頁）
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
② 東京が、日本の首都である。
③ 日本の首都は、東京である。
② Tokyo is the capital of Japan.
③ The capital of Japan is Tokyo.
に於いて、
② が（is the）～である。
は、「同一性（identity）」の「である（is）」である。
従って、
（09）により、
（10）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
に於いて、
① を、② に「置き換へ」ることが出来、
② を、③ に「置き換へ」ることが出来る。
のであれば、そのときに限って、
① Ａ＝Ｂ
② Ａ＝Ｂ
③ Ｂ＝Ａ
である。
然るに、
（11）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
　理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
　タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（11）により、
（12）
① 私は理事長である。
② 私が理事長である。
③ 理事長は私である。
に於いて、
① を、② に「置き換へ」ることが出来、
② を、③ に「置き換へ」ることが出来る。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① 私＝理事長
② 私＝理事長
③ 理事長＝私
である。
従って、
（13）により、
（14）
①「私」と「理事長」は「同一」である。
②「私」と「理事長」は「同一」である。
③「理事長」と「私」は「同一」である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
① 私は理事長である。
② 私が理事長である。
③ 理事長は私である。
に於いて、
① を、② に「置き換へ」ることが出来、
② を、③ に「置き換へ」ることが出来る。
のであれば、
① 私以外に理事長はゐない。
② 私以外に理事長はゐない。
③ 理事長以外は私ではない。
従って、
（15）により、
（16）
① 私以外に理事長はゐない。
② 私が理事長である。
③ 理事長は私である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）により、
（17）
① 東京が首都である。
② 首都は東京である。
③ 東京以外は首都ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）（17）により、
（18）
① 日本は東京が首都である。
② 日本の首都は東京である。
③ 日本は東京以外は首都ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）（18）により、
（19）
① 日本は東京が首都である。⇔
① ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。⇔
① すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは［（東京であって、ｘの首都であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚと「同一」である）］｝。
といふ「等式」が、成立する。
令和０３年１１月１５日、毛利太。