「同一性（identity）」の「述語論理」（Ⅱ）。

（01）
現在はシアトル・マリナーズの会長付特別補佐兼インストラクターを務めているのは「鈴木（姓）一郎（名）」、
すなはち、「イチロー」である。
従って、
（01）により、
（02）
① 鈴木＝イチロー
① 一郎＝イチロー
である。
従って、
（02）により、
（03）
① 鈴木は日本人である。一郎は日本人である。従って、少なくとも、２人の日本人が存在する。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（04）
② 鈴木は日本人である。佐藤は日本人である。従って、少なくとも、２人の日本人が存在する。
③ 鈴木は日本人である。佐藤は日本人である。渡辺は日本人である。従って、少なくとも、３人の日本人が存在する。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ｘは日本人であって、ｙは日本人であって、尚且つ（ｘ＝ｙ）であるならば、少なくとも、１人の日本人が存在し、
② ｘは日本人であって、ｙは日本人であって、尚且つ（ｘ≠ｙ）であるならば、少なくとも、２人の日本人が存在する。
③ ｘは日本人であって、ｙは日本人であって、ｚは日本人であって、尚且つ（ｘ≠ｙ，ｘ≠ｚ，ｙ≠ｚ）であるならば、少なくとも、３人の日本人が存在する。
従って、
（05）により、
（06）
「日本語」で言ふと、
① あるｘはＦであって、いかなるｘとｙであっても｛（ｘがＦであって、ｙもＦである）ならば、ｘとｙは「同一」である｝。
とするならば、
① 唯一のＦが、存在する。
従って、
（06）により、
（07）
「記号」で書くと、
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ→（ｘ＝ｙ）｝
であるならば、
① 唯一のＦが、存在する。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　（１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（４）　　　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　４ＵＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　Ａ
　３７（８）　　　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　３７＆Ｉ
１３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　６８ＭＰＰ
１３　（ア）　　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　７９ＣＰ
１３　（イ）　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　アＵＩ
１３　（ウ）　　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　３イ＆Ｉ
１３　（エ）　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　ウＥＩ
１　　（オ）　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　２３エＥＥ
（ⅱ）
１　　（１）　　　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２　（２）　　　　　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２　（３）　　　　　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　３ＥＩ
１　　（５）　　　　　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　１２４ＥＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
１　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　６ＵＥ
　　８（８）　　　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　８＆Ｅ
１　８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　７９ＭＰＰ
１　　（イ）　　　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　８アＣＰ
１　　（ウ）　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　イＵＩ
１　　（エ）　　　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　ウＵＩ
１　　（オ）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　５エ＆Ｉ
従って、
（08）により、
（09）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　　∀ｙ（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１　（１）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２（２）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２（３）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
　２（５）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　４ＵＥ
　２（６）　　　　　　　　　～Ｆｂ∨ａ＝ｂ　　　５含意の定義
　２（７）　　　　　　　　～（Ｆｂ＆ａ≠ｂ）　　６ド・モルガンの法則
　２（８）　　　　　　∀ｙ～（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　７ＵＩ
　２（９）　　　　　　～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　８量化子の関係
　２（ア）　　　Ｆａ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　３９＆Ｉ
　２（イ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝　アＥＩ
１　（ウ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝　１２イＥＥ
（ⅲ）
１　（１）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝　Ａ
　２（２）　　　Ｆａ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　Ａ
　２（３）　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　～∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　２＆Ｅ
　２（５）　　　　　　∀ｙ～（Ｆｙ＆ａ≠ｙ）　　４量化子の関係
　２（６）　　　　　　　　～（Ｆｂ＆ａ≠ｂ）　　ＵＥ
　２（７）　　　　　　　　　～Ｆｂ∨ａ＝ｂ　　　６ド・モルガンの法則
　２（８）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　７含意の定義
　２（９）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　８ＵＩ
　２（ア）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　３９＆Ｉ
　２（イ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　アＥＩ
１　（ウ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　１２イＥＥ
従って、
（10）により、
（11）
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆　∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　　∀ｙ（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　～∃ｙ（　　　Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（12）により、
（13）
それ故、正確に１つのものがＦをもつと言うことは、つぎのように言うことである。
　　（16）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
さて（16）は、実はより短くすっきりとした次の式と導出可能なのである。
　　（17）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
（17）は、あるものがＦをもち、そして任意のＦをもつものはまさにそのものにほかならない、ということを主張する。
正確に１つのものがＦをもつということの、いまひとつの言いかたがある。しかるに、まだもっと明瞭であるかも知れない、第３の同値な式がある。すなわち、
　　（18）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
― Ｆをもつものが存在し、その他のいかなるものもＦをもつことはない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、２１１・２１２頁）
といふ「説明」は、「正しい」。
従って、
（12）（13）により、
（14）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　　∀ｙ（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　～∃ｙ（　　　Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① あるｘはＦであって、いかなるｘとｙであっても｛ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である｝。
② あるｘについて｛ｘはＦであって、いかなるｙであっても、ｙがＦであるならば、ｘとｙは「同一」である｝。
③ あるｘについて｛ｘはＦであって、ｘ＝ｙではない所の、Ｆであるｙは、存在しない｝。
に於いて、
①＝②＝③ である。
令和０３年１１月２４日、毛利太。

「同一性（identity）」の「述語論理」（ラッセルの確定記述）。

（01）
１　　　　（１）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　　　（２）　　　∀ｙ（Ｆａ＆～Ｆｙ＆ａ＝ｙ）　１ＵＥ
１　　　　（３）　　　　　　Ｆａ＆～Ｆｂ＆ａ＝ｂ　　２ＵＥ
１　　　　（４）　　　　　　Ｆａ＆～Ｆａ　　　　　　３３＝Ｅ
　　　　　（５）～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）　１４ＲＡＡ
　　　　　（６）∃ｘ～∀ｙ（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）　５量化子の関係
　　　　　（７）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）　６量化子の関係
　８　　　（８）　　∃ｙ～（Ｆａ＆～Ｆｙ＆ａ＝ｙ）　Ａ
　　９　　（９）　　　　～（Ｆａ＆～Ｆｂ＆ａ＝ｂ）　Ａ
　　９　　（ア）　　　　　～Ｆａ∨　Ｆｂ∨ａ≠ｂ　　９ド・モルガンの法則
　　９　　（イ）　　　　　～Ｆａ∨ａ≠ｂ∨　Ｆｂ　　ア交換法則
　　９　　（ウ）　　　　（～Ｆａ∨ａ≠ｂ）∨Ｆｂ　　イ結合法則
　　　エ　（エ）　　　　（～Ｆａ∨ａ≠ｂ）　　　　　Ａ
　　　エ　（オ）　　　　～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）　　　　　エ、ド・モルガンの法則
　　　エ　（カ）　　　　～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）∨Ｆｂ　　オ∨Ｉ
　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　Ａ
　　　　キ（ク）　　　　～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）∨Ｆｂ　　キ∨Ｉ
　　９　　（ケ）　　　　～（Ｆａ＆ａ＝ｂ）∨Ｆｂ　　ウエカキク∨Ｅ
　　９　　（コ）　　　　　（Ｆａ＆ａ＝ｂ）→Ｆｂ　　ケ含意の定義
　　９　　（サ）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆ａ＝ｙ）→Ｆｙ｝　コＥＩ
　８　　　（シ）　　∃ｙ｛（Ｆａ＆ａ＝ｙ）→Ｆｙ｝　８９サＥＥ
　８　　　（ス）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ）→Ｆｙ｝　シＥＩ
　　　　　（セ）∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ）→Ｆｙ｝　７８スＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆ｘ＝ｙ）→Ｆｙ｝
① あるｘとｙについて｛（ｘがＦで、ｘとｙが同一である）ならば、ｙはＦである｝。
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（02）により、
（03）
例へば、
① ある人（ｘ）が理事で、その人（ｘ）が私（ｙ）と「同一人物」であるならば、私（ｙ）は理事である。
といふ「命題」は、「恒に真（本当）」である。
然るに、
（04）
① 理事長は、一人しかゐないが、
① 理事は、　一人では、ない。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① ある人（ｘ）が理事で、その人（ｘ）が私（ｙ）と「同一人物」であるならば、私（ｙ）は理事である。
としても、
① 私＝理事（私以外は理事ではない）。
といふことには、ならない。
然るに、
（06）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛個体の領域｝であるとして、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ｃ
であるならば、そのときに限って、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ａ
ｂ＝ｃ
ｃ＝ａ
ｃ＝ｂ
であって、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ａ
ｂ＝ｃ
ｃ＝ａ
ｃ＝ｂ
であるならば、そのときに限って、
ａ＝ｂ＝ｃ
であって、
ａ＝ｂ＝ｃ
であるならば、そのときに限って、
｛ａ，ｂ，ｃ｝＝｛ａ｝
である。
従って、
（06）により、
（07）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛個体の領域｝であるとして、
ａ＝ｂ
ａ＝ｃ
ｂ＝ａ
ｂ＝ｃ
ｃ＝ａ
ｃ＝ｂ
であるならば、そのときに限って、
｛ａ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
然るに、
（08）
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛個体の領域｝であるとして、
として、
｛ａ｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、｛個体の個数｝は、｛（ａによる）１個｝である。
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ）
であるならば、すなはち、
② すべてのｘとｙについて（ｘとｙは同一である）。
であるならば、
② ｘとｙは「同一」であって、尚且つ、「（唯一の）ｘ」である。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１（１）　　　　　　∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ）　Ａ
１（２）　　　　　　　　∀ｙ（ａ＝ｙ）　１ＵＥ
１（３）　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　２ＵＥ
１（４）　　～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　３∨Ｉ
１（５）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　４含意の定義
１（６）　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　５ＵＩ
１（７）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　６ＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
② ∀ｘ∀ｙ（　　　　　　ｘ＝ｙ）
③ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
② ならば、③である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
③ ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
③ ｘは「Ｆである所の、唯一のｘ」である。
従って、
（12）により、
（13）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、すなはち、
② あるｘは（Ｆであり）、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであってｙもＦであるならば、ｘとｙは同一である）。
であるならば、
② Ｆである所の、唯一のｘが存在する。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１　　（１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）∃ｘＦｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　３　（３）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　（４）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　１＆Ｅ
１　　（５）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　４ＵＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　Ａ
　３７（８）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　３７＆Ｉ
１３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　６８ＭＰＰ
１３　（ア）　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　　　７９ＣＰ
１３　（イ）　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　アＵＩ
１３　（ウ）　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　　　３イ＆Ｉ
１３　（エ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　ウＥＩ
１　　（オ）　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　　　２３エＥＥ
（ⅲ）
１　　（１）　　　　∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝　Ａ
　２　（２）　　　　　　　Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　Ａ
　２　（３）　　　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　３ＥＩ
１　　（５）　　　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　　　　　１２４ＥＥ
１　　（６）　　　　　　　　　　∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　２＆Ｅ
１　　（７）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　６ＵＥ
　　８（８）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　８（９）　　　　　　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　８＆Ｅ
１　８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　　７９ＭＰＰ
１　　（イ）　　　　　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　　８アＣＰ
１　　（ウ）　　　　　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　　イＵＩ
１　　（エ）　　　　　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　ウＵＩ
１　　（オ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　　５エ＆Ｉ
従って、
（14）により、
（15）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ　＆　　∀ｙ（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（13）（14）（15）により、
（16）
② ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ　＆∀ｙ　　（　　　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
であるならば、すなはち、
② あるｘは（Ｆであり）、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであってｙもＦであるならば、ｘとｙは同一である）。
③ あるｘは｛Ｆであり、　すべてのｙ　　について（　　　　　　　ｙがＦであるならば、ｘとｙは同一である）｝。
であるならば、
② Ｆである所の、唯一のｘが存在する。
③ Ｆである所の、唯一のｘが存在する。
従って、
（16）により、
（17）
それ故、正確に１つのものがＦをもつと言うことは、つぎのように言うことである。
　　（16）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
さて（16）は、実はより短くすっきりとした次の式と導出可能なのである。
　　（17）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
（17）は、あるものがＦをもち、そして任意のＦをもつものはまさにそのものにほかならない、ということを主張する。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、２１１・２１２頁）
といふ「説明」は、「正しい」。
令和０３年１１月２３日、毛利太。

∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）は「かなり難解である」。

―「先程（令和０３年１１月２２日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ａ）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）　　Ａ
１　　（２）　　∀ｙ（～Ｆａ＆～Ｆｙ＆ａ＝ｙ　　　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　～Ｆａ＆～Ｆｂ＆ａ＝ｂ　　　２ＵＥ
１　　（４）　　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　　　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　４∨Ｉ
１　　（６）　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　５∨Ｉ
　７　（７）　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）　　　　　　Ａ
　７　（８）　　　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ）　　　　　　７ド・モルガンの法則
　７　（９）　　　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　８∨Ｉ
　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　Ａ
　　ア（イ）　　　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　ア∨Ｉ
１　　（ウ）　　　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ）∨ａ＝ｂ　　１７９アイ∨Ｅ
１　　（エ）　　　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ　→ａ＝ｂ　　ウ含意の定義
１　　（オ）　　　∀ｙ（Ｆａ＆　Ｆｙ　→ａ＝ｙ）　エＵＩ
１　　（カ）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆　Ｆｙ　→ｘ＝ｙ）　オＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（　Ｆｘ＆　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
①ならば、②である。
然るに、
（03）
（ｂ）
１　　（１）∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）　Ａ
１　　（２）　　∀ｙ（～Ｆａ＆～Ｆｙ＆ａ＝ｙ）　１ＵＥ
１　　（３）　　　　　～Ｆａ＆～Ｆｂ＆ａ＝ｂ　　２ＵＥ
１　　（４）　　　　　～Ｆａ＆～Ｆａ　　　　　　３３＝Ｅ
１　　（５）　　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　４＆Ｅ
１　　（６）　　∀ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　　５ＵＩ
　７　（７）　　∃ｘ（　Ｆｘ）　　　　　　　　　Ａ
１　　（８）　　　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　６ＵＥ
　　９（９）　　　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　Ａ
１　９（ア）　　　　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　８９＆Ｉ
１７　（イ）　　　　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　７９ア＆Ｉ
１　　（ウ）　～∃ｘ（　Ｆｘ）　　　　　　　　　７イＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）
③   ～∃ｘ（　Ｆｘ）
に於いて、
①ならば、③である。
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）
③ Ｆであるｘは、存在しない。
に於いて、
①ならば、③である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
① ∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ＆～Ｆｙ＆ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（　Ｆｘ＆　Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
③ Ｆであるｘは、存在しない。
に於いて、
①ならば、②であって、
①ならば、③である。
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
③ Ｆであるｘは、存在しない。
に於いて、
①と③は、「同時に真（本当）」であることが、「可能」である。
然るに、
（08）
１　（１）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　（２）　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　１ＵＥ
１　（３）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　２ＵＥ
　４（４）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　　　　　Ａ
　４（５）　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　　　　　４ＵＥ
　４（６）　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ　　　　　　５ＵＥ
１４（７）　　　　　　　　　　　ａ＝ｂ　　３６ＭＰＰ
１４（８）　　　　　　　　∀ｙ（ａ＝ｙ）　７ＵＩ
１４（９）　　　　　　∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ）　８ＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ）
に於いて、
①ならば、②である。
然るに、
（10）
１　（１）　∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）　Ａ
１　（２）　　　∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ）　１ＵＥ
１　（３）　　　　　　Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ　　２ＵＥ
　４（４）∀ｘ∀ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ）　　　　　Ａ
　４（５）　　∀ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ）　　　　　４ＵＥ
　４（６）　　　　～（Ｆａ＆Ｆｂ）　　　　　５ＵＥ
１４（７）　　　　　　　　　　　　ａ≠ｂ　　３６？？
１４（８）　　　　　　　　　∃ｙ（ａ≠ｙ）　７ＥＩ
１４（９）　　　　　　　∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ）　８ＥＩ
といふ「計算」は、「デタラメ（前件否定の誤謬）」である。
従って、
（06）（10）により、
（11）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ）
③ ∃ｘ∃ｙ（ｘ≠ｙ）
に於いて、
①であるならば、　②であり得ても、
①であるとしても、③ではない。
然るに、
（12）
② ∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ）
であるならば、すなはち、
② すべてのｘとｙについて（ｘとｙは同一である）。
であるならば、
②「個体変数（individual variable）」である所の、ｘ（ｙ）は「一つ」しか存在しない。
ｃｆ.
「すべての自然数が、２に等しい」とするならば、「自然数は、２といふ、唯一の数である」。
といふことになり、このことは「事実」ではないが、「論理的には、正しい」。
従って、
（09）～（12）により、
（13）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
②「個体変数（individual variable）」である所の、ｘ（ｙ）は「一つ」しか存在しない。
に於いて、
①と②は、「同時に真（本当）」であることが、「可能」である。
従って、
（07）（13）により、
（14）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
②「個体変数（individual variable）」である所の、ｘ（ｙ）は「一つ」しか存在しない。
③ Ｆであるｘは、存在しない。
に於いて、
①と②は、「同時に真（本当）」であることが、「可能」である。
①と③も、「同時に真（本当）」であることが、「可能」である。
従って、
（14）により、
（15）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
① すべてのｘとｙについて（ｘがＦであってｙもＦならば、ｘとｙは、同一の個体である）。
といふ「論理式」は、
① Ｆを持つものが存在しないことも、またＦをもつ１つのものが存在することを許すが、Ｆをもつものが、２つ以上存在ることを、許さない。
従って、
（15）により、
（16）
　（15）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
― 対象ｘおよびｙをとるとする。するとそれらのいずれもＦをもつならば、それらは同一である。この式は、Ｆを持つものが存在しないことも、またＦをもつ１つのものが存在することを許す。しかし１つより多いものが存在するらば、それは明らかに偽となる。故に（15）は、多くとも１つのものがＦをもつということを、主張するのである。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、２１１頁）
令和０３年１１月２２日、毛利太。

相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合、そのことから、

　―「結論（何が言ひたいのかとふこと）」は、（24）に書かれてゐます。―
（01）
｛ａ，ｂ，ｃ｝を｛個体の領域｝とする。
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（Ｆｘ）＝Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
② ∃ｘ（Ｆｘ）＝Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）:選言の、選言。
（ⅱ）　∃ｘ｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝
（ⅲ）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
然るに、
（04）
（ａ）
１（１）Ｆａ＆Ｆａ　Ａ
１（２）Ｆａ　　　　１＆Ｅ
（ｂ）
１（１）Ｆａ　　　　Ａ
１（２）Ｆａ＆Ｆａ　１１＆Ｉ
従って、
（04）により、
（05）
（ａ）Ｆａ＆Ｆａ
（ｂ）Ｆａ
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）である（冪等律）
従って、
（03）（05）により、
（06）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）:選言の、選言。
（ⅱ）　∃ｘ｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝
（ⅲ）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
（ⅳ）｛（Ｆａ　　　）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ　　　）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ　　　）｝：冪等律
（ⅴ）｛（Ｆａ　　　）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ　　　）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ　　　）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝：交換法則
然るに、
（07）
（ａ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　　４∨Ｉ
　２　（６）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　　３５＆Ｉ
　　７（７）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　Ａ
　　７（８）　　　　　　　Ｐ　　　　２＆Ｅ
　　７（９）　　　　　　　　　Ｒ　　２＆Ｅ
　　７（ア）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　　９∨Ｉ
　　７（イ）　　　　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）　　　　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　１２６７イ∨Ｅ
（ｂ）
１　　（１）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　Ａ
１　　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　　１＆Ｅ
　４　（４）　　　Ｑ　　　　　　　　Ａ
１４　（５）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　２４＆Ｉ
１４　（６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　Ｒ　　　　　　Ａ
１　７（８）　　　Ｐ＆Ｒ　　　　　　２７＆Ｉ
１　７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　８∨Ｉ
１　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　１４６７９∨Ｅ
従って、
（07）により、
（08）
（ａ）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
（ｂ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）である（分配法則）。
従って、
（08）により、
（09）
（ａ）（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）
（ｂ）　Ｆａ＆（Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）である（分配法則）。
従って、
（06）（09）により、
（10）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）:選言の、選言。
（ⅱ）　∃ｘ｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝
（ⅲ）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
（ⅳ）｛（Ｆａ　　　）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ　　　）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ　　　）｝：冪等律
（ⅴ）｛（Ｆａ　　　）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ　　　）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ　　　）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝：交換法則
（ⅵ）｛　Ｆａ　　　　∨　Ｆａ＆（Ｆｂ∨Ｆｃ）　　　　｝∨｛　Ｆｂ　　　　∨　Ｆｂ＆（Ｆａ∨Ｆｃ）　　　　｝∨｛　Ｆｃ　　　　∨　Ｆｃ＆（Ｆａ∨Ｆｂ）　　　　｝：分配法則
然るに、
（11）
（ｃ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（４）　Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　２∨Ｉ
　２　（５）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　３４＆Ｉ
　　６（６）　　　　Ｑ＆Ｒ　　　　　Ａ
　　６（７）　　　　Ｑ　　　　　　　６＆Ｅ
　　６（８）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　７∨Ｉ
　　６（９）　　　　　　Ｒ　　　　　６＆Ｅ
　　６（ア）　　　　Ｐ∨Ｒ　　　　　９∨Ｉ
　　６（イ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　１２５６イ∨Ｅ
（ｄ）
１　（１）　（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）　Ａ
１　（２）　　Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　１＆Ｅ
１　（３）～～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　２ＤＮ
１　（４）　～Ｐ→Ｑ　　　　　　　　３含意の定義
１　（５）　　　　　　　　Ｐ∨Ｒ　　１＆Ｅ
１　（６）　　　　　　～～Ｐ∨Ｒ　　５ＤＮ
１　（７）　　　　　　　～Ｐ→Ｒ　　６含意の定義
　８（８）　～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１８（９）　　　　Ｑ　　　　　　　　４８ＭＰＰ
１８（ア）　　　　　　　　　　Ｒ　　７８ＭＰＰ
１８（イ）　　　　　　　　Ｑ＆Ｒ　　９ア＆Ｉ
１　（ウ）　　　　～Ｐ→（Ｑ＆Ｒ）　８イＣＰ
１　（エ）　　　～～Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　ウ含意の定義
１　（オ）　　　　　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）　エＤＮ
従って、
（11）により、
（12）
（ｃ）　Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）
（ｄ）（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、
（ｃ）＝（ｄ）である（分配法則）
従って、
（12）により、
（13）
（ｃ）　Ｆａ∨（Ｆａ＆（Ｆｂ∨Ｆｃ））
（ｄ）（Ｆａ∨Ｆａ）＆（Ｆａ∨（Ｆｂ∨Ｆｃ））
従って、
（10）（13）により、
（14）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）:選言の、選言。
（ⅱ）　∃ｘ｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝
（ⅲ）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
（ⅳ）｛（Ｆａ　　　）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ　　　）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ　　　）｝：冪等律
（ⅴ）｛（Ｆａ　　　）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ　　　）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ　　　）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝：交換法則
（ⅵ）｛　Ｆａ　　　　∨　Ｆａ＆（Ｆｂ∨Ｆｃ）　　　　｝∨｛　Ｆｂ　　　　∨　Ｆｂ＆（Ｆａ∨Ｆｃ）　　　　｝∨｛　Ｆｃ　　　　∨　Ｆｃ＆（Ｆａ∨Ｆｂ）　　　　｝：分配法則
（ⅷ）｛（Ｆａ∨Ｆａ）＆（Ｆａ∨（Ｆｂ∨Ｆｃ））　　　｝∨｛（Ｆｂ∨Ｆｂ）＆（Ｆｂ∨（Ｆａ∨Ｆｃ））　　　｝∨｛（Ｆｃ∨Ｆｃ）＆（Ｆｃ∨（Ｆａ∨Ｆｂ））　　　｝：分配法則
然るに、
（15）
（ｅ）
１　　（１）Ｆａ∨Ｆａ　Ａ
　２　（２）Ｆａ　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｆａ　Ａ
１　　（４）Ｆａ　　　　１２２３３∨Ｅ
（ｆ） １（１）Ｆａ　　　　Ａ
１（２）Ｆａ∨Ｆａ　１∨Ｉ
従って、
（15）により、
（16）
（ｅ）Ｆａ∨Ｆａ
（ｆ）Ｆａ
に於いて、
（ｅ）＝（ｆ）である（冪等律）。
従って、
（14）（16）により、
（17）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）:選言の、選言。
（ⅱ）　∃ｘ｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝
（ⅲ）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
（ⅳ）｛（Ｆａ　　　）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ　　　）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ　　　）｝：冪等律
（ⅴ）｛（Ｆａ　　　）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ　　　）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ　　　）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝：交換法則
（ⅵ）｛　Ｆａ　　　　∨　Ｆａ＆（Ｆｂ∨Ｆｃ）　　　　｝∨｛　Ｆｂ　　　　∨　Ｆｂ＆（Ｆａ∨Ｆｃ）　　　　｝∨｛　Ｆｃ　　　　∨　Ｆｃ＆（Ｆａ∨Ｆｂ）　　　　｝：分配法則
（ⅷ）｛（Ｆａ∨Ｆａ）＆（Ｆａ∨（Ｆｂ∨Ｆｃ））　　　｝∨｛（Ｆｂ∨Ｆｂ）＆（Ｆｂ∨（Ｆａ∨Ｆｃ））　　　｝∨｛（Ｆｃ∨Ｆｃ）＆（Ｆｃ∨（Ｆａ∨Ｆｂ））　　　｝：分配法則
（ⅸ）｛（Ｆａ　　　）＆（Ｆａ∨（Ｆｂ∨Ｆｃ））　　　｝∨｛（Ｆｂ　　　）＆（Ｆｂ∨（Ｆａ∨Ｆｃ））　　　｝∨｛（Ｆｃ　　　）＆（Ｆｃ∨（Ｆａ∨Ｆｂ））　　　｝：冪等律
従って、
（02）（17）により、
（18）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）:選言の、選言。
（ⅱ）　∃ｘ｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝
（ⅲ）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
（ⅳ）｛（Ｆａ　　　）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ　　　）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ　　　）｝：冪等律
（ⅴ）｛（Ｆａ　　　）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ　　　）∨（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ　　　）∨（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）｝：交換法則
（ⅵ）｛　Ｆａ　　　　∨　Ｆａ＆（Ｆｂ∨Ｆｃ）　　　　｝∨｛　Ｆｂ　　　　∨　Ｆｂ＆（Ｆａ∨Ｆｃ）　　　　｝∨｛　Ｆｃ　　　　∨　Ｆｃ＆（Ｆａ∨Ｆｂ）　　　　｝：分配法則
（ⅷ）｛（Ｆａ∨Ｆａ）＆（Ｆａ∨（Ｆｂ∨Ｆｃ））　　　｝∨｛（Ｆｂ∨Ｆｂ）＆（Ｆｂ∨（Ｆａ∨Ｆｃ））　　　｝∨｛（Ｆｃ∨Ｆｃ）＆（Ｆｃ∨（Ｆａ∨Ｆｂ））　　　｝：分配法則
（ⅸ）｛（Ｆａ　　　）＆（Ｆａ∨（Ｆｂ∨Ｆｃ））　　　｝∨｛（Ｆｂ　　　）＆（Ｆｂ∨（Ｆａ∨Ｆｃ））　　　｝∨｛（Ｆｃ　　　）＆（Ｆｃ∨（Ｆａ∨Ｆｂ））　　　｝：冪等律
（ⅹ）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∨　　Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∨　　Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：連言除去
（〃）∃ｘ（Ｆｘ）
然るに、
（19）
１　　　　（１）　　Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　（２）　　Ｆａ∨（Ｆｂ∨Ｆｃ）　　　　　　　　　　　　　　　１結合法則
　３　　　（３）　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　（４）　　Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３３＆Ｉ
　３　　　（５）　（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）　　　　　　　　　　　４∨Ｉ
　３　　　（６）　（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）　　　５∨Ｉ
　３　　　（７）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝　　６∨Ｉ
　３　　　（８）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝　　７∨Ｉ
　　９　　（９）　　　　　　Ｆｂ∨Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ア　（ア）　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ア　（イ）　　　　　　　　　　Ｆｂ＆Ｆｂ　　　　　　　　　　　　アア＆Ｉ
　　　ア　（ウ）　（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）　　　　　　　　　　　ア∨Ｉ
　　　ア　（エ）　（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）　　　イ∨Ｉ
　　　ア　（オ）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝　　ウ∨Ｉ
　　　ア　（カ）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝　　オ∨I
　　　　キ（キ）　　　　　　　　　Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　キ（ク）　　　　　　　　　Ｆｃ＆Ｆｃ　　　　　　　　　　　　　キキ＆Ｉ
　　　　キ（ケ）　　　　　　　　　（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）　　　ク∨Ｉ
　　　　キ（コ）　（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）　　　ケ∨Ｉ
　　　　キ（サ）　｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　　｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝　コ∨Ｉ
　　　　キ（シ）　｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　　｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　　｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝ サ∨Ｉ
　　９　　（ス）　｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　　｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　　｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝ 　９アカキシ∨Ｅ
１　　　　（セ）　｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　　｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
　　　　　　　　　｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝ 　１３８９ス∨Ｅ
従って、
（18）（19）により、
（20）
① ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
②     ∃ｘ（Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（21）
１４２　∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
（ⅰ）
１　（１）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　２（２）　　　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　２（３）　　　　　Ｆａ＆Ｆａ　　２２＆Ｉ
　２（４）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　３ＥＩ
　２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　４ＥＩ
１　（６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　１２５ＥＥ
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、２１０頁）
然るに、
（22）
（ⅱ）
１　　（１）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）　Ａ
　２　（２）　　∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ）　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｆａ＆Ｆａ　　Ａ
　　３（４）　　　　　Ｆａ　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　４ＥＩ
　２　（６）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　２３５ＥＥ
１　　（７）　　∃ｘ（Ｆｘ）　　　　１２６ＥＥ
従って、
（21）（22）により、
（23）
① 　　∃ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（20）（23）により、
（24）
ひとつだけの対象がＦをもっているならば、
∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
ということが帰結する。
言い換えると、
相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合、そのことから、
それに対応する相異なる対象が存在する。
ということは帰結しないのである。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、1973年、２１０頁）
従って、
（23）（24）により、
（25）
① 　　∃ｘ（学生ｘ）
② ∃ｘ∃ｙ（学生ｘ＆学生ｙ）
に於いて、すなはち、
① あるｘについて、（ｘは学生である）。
② あるｘとあるｙについて（ｘは学生であって、ｙも学生である）。
に於いて、
①＝② であるものの、
もちろん、ことことは、「分かり難い」。
令和０３年１１月２０日、毛利太。

「Ａ⊂Ｂ（Ａは・が、Ｂである）」について。

（01）
二つの集合Ａ、Ｂにおいて、集合Ａの要素がすべて集合Ｂの要素に含まれるとき、ＡをＢの部分集合といい、記号Ａ⊂Ｂで表すことがある。
この場合、ＡとＢが一致してもよい。ＡとＢが一致しない、つまりＡが完全にＢの一部分のとき、ＡはＢの真部分集合という。
（日本大百科全書(ニッポニカ)「部分集合」の解説）
然るに、
（02）
φ は、要素の個数が、「０個の集合」であり、
ａ は、要素の個数が、「１個の集合」であり、
ｂ も、要素の個数が、「１個の集合」であり、
Ａ は、要素の個数が、「２個以上の集合」であり、
Ｂ も、要素の個数が、「２個以上の集合」である。
とする。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ａ⊂Ｂ
② ａ⊂ｂ
③ Ｂ⊂ａ
に於いて、
① ａ は、Ｂの「真部分集合」であって、
② ａ は、ｂの「＿部分集合」であるが、
③ Ｂ は、ａの「真部分集合」でも、「部分集合」でも、どちらでもない。
従って、
（03）により、
（04）
① ａ⊂Ｂ
② ａ⊂ｂ
③ Ｂ⊂ａ
に於いて、
③ だけは「⊂」といふ「記号」の「用法」として、マチガイである。
然るに、
（05）
ａ は、要素の個数が、「１個の集合」であり、
ｂ も、要素の個数が、「１個の集合」であり、
Ａ は、要素の個数が、「２個以上の集合」であり、
Ｂ も、要素の個数が、「２個以上の集合」である。
として、
ａ を、「単数集合」とし、
ｂ も、「単数集合」とし、
Ａ を、「複数集合」とし、
Ｂ も、「複数集合」とする。
然るに、
（06）
　私（単） は、「単数集合」であって、
幹事（単） も、「単数集合」であって、
幹事（複） は、「複数集合」であるとする。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① 　私（単）⊂幹事（複）
② 　私（単）⊂幹事（単）
③ 幹事（複）⊂　私（単）
に於いて、
③ だけは「⊂」といふ「記号」の「用法」として、マチガイである。
従って、
（07）により、
（08）
③ 幹事（複）⊂　私（単）
ではなく、
③ 幹事（単）⊂　私（単）
でなければ、ならない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 　私（単）⊂幹事（複）
② 　私（単）⊂幹事（単）
③ 幹事（単）⊂　私（単）
であれば、３つとも、「⊂」といふ「記号」の「用法」として、「正しい」。
然るに、
（01）により、
（10）
① 象⊂動物
といふこと、すなはち、
① 象の集合は、動物の集合の、部分集合である。
といふことは、要するに、
① 象は動物である。
といふ、ことである。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① 　私（単）⊂幹事（複）
② 　私（単）⊂幹事（単）
③ 幹事（単）⊂　私（単）
といふ３つが、「正しい」が故に、
① 私（単）は幹事（複）の一員です。
② 私（単）は幹事（単）です。
③ 幹事（単）は私（単）です。
といふ「日本語」は、「正しい」。
然るに、
（12）
① 私（単）は幹事（複）の一員です。
② 私（単）は幹事（単）です。
③ 幹事（単）は私（単）です。
といふことは、
① I am a 幹事。
② I am the 幹事。
③ The 幹事 is me。
といふ、ことである。
従って、
（12）により、
（13）
① 私（単）は幹事（複）の一員です。
② 私（単）は幹事（単）です。
③ 幹事（単）は私（単）です。
に於いて、
① と ③ は、「矛盾」し、
② と ③ は、「矛盾」しない。
従って、
（13）により、
（14）
③ 幹事は私です。
といふのであれば、
③ 幹事（単）は私（単）です。
であって、
③ 幹事（単）は私（単）です。
であるならば、
② 私（単）は幹事（単）です。
である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
③ 幹事は私です。
といふのであれば、
③ 私以外は、幹事ではない。
といふ、ことになる。
然るに、
（16）
無題化というのは、「Ⅹは」の「は」を消すことですから、センテンスの形のままでもできないことはありませんが、
センテンスの形では、本当に無題になりきれない場合も起こります。たとえば、
　私は、幹事です。
　私が幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
　幹事は、私です。
というのに近く、題が文中の別の個所に移り隠れたにすぎません。つまり、本当には無題化していないわけです。
（山崎紀美子、日本語基礎講座、― 三上文法入門、2003年、６５・６６頁）。
従って、
（16）により、
（17）
「無題化」が、何を意味するのか、私には、分からないものの、いづれにせよ、
① 私が幹事です。
② 幹事は私です。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（15）（17）により、
（18）
① 私が幹事です。
② 幹事は私です。
③ 私は幹事であり、私以外は、幹事ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
令和０３年１１月１８日、毛利太。

ａＦ（幹事は、私です。） ⇔｛ｘ：Ｆｘ｝∈ａ

（01）
与えられた対象ａが｛ｘ：Ｆｘ｝のメンバー（要素）であるためには、ａがその条件を満たすとき、またそのときに限られる。
すなわちＦａであり、またそのときに限られるのである。『ａは｛ｘ：Ｆｘ｝のメンバー（要素）である』を意味するものとして、
ａ∈｛ｘ：Ｆｘ｝と書くならば、この想定は、任意の条件Ｆｘ（ｘはＦである）に対して、
　（１）　ａ∈｛ｘ：Ｆｘ｝⇔Ｆａ（ａはＦである）
ということになる。
（公理的集合論、E.J.レモン 著、石本新・高橋敬吾 訳、1972年、序論・改）
従って、
（01）により、
（02）
① Ｆａ（ａはＦである。）⇔ ａ∈｛ｘ：Ｆｘ｝
に於いて、
① ａ＝私，Ｆ＝幹事
であるならば、
① Ｆａ（私は、幹事です。）⇔ ａ∈｛ｘ：Ｆｘ｝
である。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｆａ（私は、幹事です。）⇔ ａ∈｛ｘ：Ｆｘ｝
に於いて、「倒置」を行ふと、
② ａＦ（幹事は、私です。） ⇔｛ｘ：Ｆｘ｝∈ａ
然るに、
（04）
② Ｆ＝幹事
は、「集合（クラス）」であるため、「複数」であることも、「単数」であることも、可能であるが、
② ａ＝私
は、「集合の要素（メンバー）」であるため、必ず、「単数」である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
② ａＦ（幹事は、私です。） ⇔｛ｘ：Ｆｘ｝∈ａ
であるならば、必然的に、
② 私は幹事であり、私以外は、幹事ではない。
従って、
（05）により、
（06）
② 幹事は私です。
③ 私は幹事であり、私以外は、幹事ではない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（07）
無題化というのは、「Ⅹは」の「は」を消すことですから、センテンスの形のままでもできないことはありませんが、
センテンスの形では、本当に無題になりきれない場合も起こります。たとえば、
　私は、幹事です。
　私が幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
　幹事は、私です。
というのに近く、題が文中の別の個所に移り隠れたにすぎません。つまり、本当には無題化していないわけです。
（山崎紀美子、日本語基礎講座、― 三上文法入門、2003年、６５・６６頁）。
従って、
（07）により、
（08）
① 私が幹事です。
② 幹事は私です。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）（08）により、
（09）
① 私が幹事です。
② 幹事は私です。
③ 私は幹事であり、私以外は、幹事ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（07）（09）により、
（10）
　私は、幹事です。
　私が幹事です。
のように、「は」を消しても、センテンスの意味は、
　幹事は、私です。
というのに近く、題が文中の別の個所に移り隠れたにすぎません。つまり、本当に無題化していないわけです。
といふのであれば、山崎先生は、
① 私が幹事です。
② 幹事は私です。
③ 私は幹事であり、私以外は、幹事ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことを、踏まへた上で、「無題化」といふ「用語（現象）」を、説明すべきである。
（11）
無題化の手続きにより、「Ⅹは」の「は」は、「がのにを」またはゼロ（時の格）を代行している。
（山崎紀美子、日本語基礎講座、― 三上文法入門、2003年、６７頁）
といふのであれば、
無題化の手続きにより、「Ⅹが」の「が」は、「はのにを」またはゼロ（時の格）を代行している。
とも、言へることになる。
令和０３年１１月１７日、毛利太。

「象の鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
① 象は鼻が長い。
② 象の鼻が長い。
といふ「日本語」は、『直観』として、
① 象に関して言へば、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 鼻に関して言へば、象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。
といふ「意味」である。
ｃｆ.
「象と兎、どちらの鼻が長いか？」⇒「（鼻に関しては）象の鼻が長い。」
「兎と象、どちらの耳が長いか？」⇒「（耳に関しては）兎の耳が長い。」
然るに、
（02）
① 象に関して言へば、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 鼻に関して言へば、象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。
といふ「日本語」は、『直観』として、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｙ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～（鼻ｘｙ＆象ｙ）→～長ｘ｝。
といふ「意味」である。
然るに、
（03）
１　　　　（１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　Ａ
　２　　　（２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝　Ａ
　　３　　（３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　（４）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　１ＵＥ
　２　　　（５）　　　兎ａ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　２ＵＥ
　　　６　（６）　　　兎ａ＆象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６　（７）　　　　　　象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　（８）　　　兎ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１　　６　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　４７ＭＰＰ
　２　６　（ア）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　５８ＭＰＰ
　２　６　（イ）　　　　　　∃ｙ（長ｙ＆耳ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　長ｂ＆耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　６　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　９＆Ｅ
　２　６　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ）　　ア＆Ｅ
１　　６　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ→～長ｂ　　　エＵＥ
　２　６　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　耳ｂａ→～鼻ｂａ　　　オＵＥ
　　　　ウ（ク）　　　　　　　　　　　　耳ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
　２　６ウ（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｂａ　　　キクＭＰＰ
１２　６ウ（コ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ｂ　　　カケＭＰＰ
　　　　ウ（サ）　　　　　　　　　長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウ＆Ｅ
１２　６ウ（シ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　コサ＆Ｉ
１２　６　（ス）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　イウシＥＥ
１２３　　（セ）　　　　　　　　　長ｂ＆～長ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　３６スＥＥ
１２　　　（ソ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３６セＲＡＡ
１２　　　（タ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ソ量化子の関係
１２　　　（チ）　　～（兎ａ＆象ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タＵＥ
１２　　　（ツ）　　～兎ａ∨～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　チ、ド・モルガンの法則
１２　　　（テ）　　　兎ａ→～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ツ含意の定義
１２　　　（ト）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　テＵＩ
従って、 （03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（長ｙ＆耳ｙｘ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない｝。　　　然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙは長くて、ｘの耳であり、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。）
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
然るに、
（06）
１　　　　　（１）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～（鼻ｘｙ＆象ｙ）→～長ｘ｝　Ａ
１　　　　　（２）　　∃ｙ｛（鼻ａｙ＆象ｙ）→長ａ＆～（鼻ａｙ＆象ｙ）→～長ａ｝　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　　　（鼻ａｂ＆象ｂ）→長ａ＆～（鼻ａｂ＆象ｂ）→～長ａ　　Ａ
　　４　　　（４）　∃ｘ∃ｙ（鼻ｘｙ＆兎ｙ＆～象ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　５　　（５）　　　∃ｙ（鼻ａｙ＆兎ｙ＆～象ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　６　（６）　　　　　　鼻ａｂ＆兎ｂ＆～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３　　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ）→～長ａ　　３＆Ｅ
　　　　　８（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ａｂ∨～象ｂ　　　　　　Ａ
　　　　　８（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ａｂ＆象ｂ）　　　　　　８ド・モルガンの法則
　３　　　８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　７９ＭＰＰ
　３　　　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　（～鼻ａｂ∨～象ｂ）→～長ａ　　８アＣＰ
　　　　６　（ウ）　　　　　　　　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　　６　（エ）　　　　　　　　～鼻ａｂ∨～象ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　ウ∨Ｉ
　３　　６　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　イエＭＰＰ
　　　　６　（カ）　　　　　　鼻ａｂ＆兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　３　　６　（キ）　　　　　　鼻ａｂ＆兎ｂ＆～長ａ　　　　　　　　　　　　　　　　オカ＆Ｉ
　３　　６　（ク）　　　∃ｙ（鼻ａｙ＆兎ｙ＆～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　キＥＩ
　３　５　　（ケ）　　　∃ｙ（鼻ａｙ＆兎ｙ＆～長ａ）　　　　　　　　　　　　　　　５６クＥＥ
　３　５　　（コ）　∃ｘ∃ｙ（鼻ｘｙ＆兎ｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　ケＥＩ
　３４　　　（サ）　∃ｘ∃ｙ（鼻ｘｙ＆兎ｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　４５コＥＥ
１　４　　　（シ）　∃ｘ∃ｙ（鼻ｘｙ＆兎ｙ＆～長ｘ）　　　　　　　　　　　　　　　２３サＥＥ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～（鼻ｘｙ＆象ｙ）→～長ｘ｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（鼻ｘｙ＆兎ｙ＆～象ｙ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（鼻ｘｙ＆兎ｙ＆～長ｘ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘがｙの鼻であって、ｙが象である）ならば、ｘは長く、（そうでない場合）は、ｘは長くない｝。然るに、
（ⅱ）　　あるｘとあるｙについて（　ｘはｙの鼻であって、ｙは兎であって、象ではない）。従って、
（ⅲ）　　あるｘとあるｙについて（　ｘはｙの鼻であって、ｙは兎であって、ｘは長くない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（07）により、
（08）
（ⅰ）象の鼻が長い。然るに、
（ⅱ）ある兎の鼻は象の鼻ではない。従って、
（ⅲ）ある兎の鼻は長くない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。
② 象の鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｙ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～（鼻ｘｙ＆象ｙ）→～長ｘ｝。
といふ「述語論理」に、「翻訳」出来る。
従って、
（01）（09）により、
（10）
① 象は鼻が長い。
② 象の鼻が長い。
といふ「日本語」が、
① 象に関して言へば、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 鼻に関して言へば、象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。
といふ「意味」である。
といふ『直観』は、「述語論理」といふ「観点」からすれば、「正しい」。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① 象は鼻が長い。⇔ 象に関して言へば、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 象の鼻が長い。⇔ 鼻に関して言へば、象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。
といふ「解釈」は、
① 象は鼻が長い。⇔ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｙ→～長ｚ）｝。
② 象の鼻が長い。⇔ ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～（鼻ｘｙ＆象ｙ）→～長ｘ｝。
といふ「述語論理への翻訳」を行ふ上で、「役に立つ」。
従って、
（11）により、
（12）
① 象に関して言へば、鼻は長く、鼻以外は長くない。
② 鼻に関して言へば、象の鼻は長く、象の鼻以外は長くない。
といふ「解釈」を行ふことは、
① 象は鼻が長い。
② 象の鼻が長い。
といふ「日本語」の、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｙ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～（鼻ｘｙ＆象ｙ）→～長ｘ｝。
といふ「論理構造」を把握する上で、「役に立つ」。
然るに、
（13）
例へば、
１　無題化ということ
　象は鼻が長い
このセンテンスから、題を底（base）とする名詞を機械的に作ることができます。
底とは名詞句の末尾の名詞のことです。
　鼻が長い象
次に、傍線部の名詞を底とする名詞句を作ろうとすると、今度は、新しく助詞が現れてきます。
　象の長い鼻
さて、最初のセンテンスの中身（事柄、コト）は次のように書き表されます。
　象の鼻が長いコト
このコトから傍線の名詞を取り立てれば、つまり、題として提示するば、最初の、
　象は鼻が長い
に戻ります（山崎紀美子、日本語基礎講座、― 三上文法入門、2003年、６２～６５頁改）。
といふことが、「確認」出来たとしても、
① 象は鼻が長い。
② 象の鼻が長い。
といふ「日本語」の、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｙ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ∃ｙ｛（鼻ｘｙ＆象ｙ）→長ｘ＆～（鼻ｘｙ＆象ｙ）→～長ｘ｝。
といふ「論理構造」を把握することは、出来ない。
令和０３年１１月１７日、毛利太。

「同一性」の「ｉｓ」について。

（01）
１　　　　　（１）∃ｘ∃ｙ｛Ｓｘ＆哲ｘ＆Ｐｙ＆教ｘｙ＆～∃ｚ（教ｚｙ＆ｚ≠ｘ）｝　Ａ
　２　　　　（２）　　∃ｙ｛Ｓａ＆哲ａ＆Ｐｙ＆教ａｙ＆～∃ｚ（教ｚｙ＆ｚ≠ａ）｝　Ａ
　　３　　　（３）　　　　　Ｓａ＆哲ａ＆Ｐｂ＆教ａｂ＆～∃ｚ（教ｚｂ＆ｚ≠ａ）　　Ａ
　　３　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∃ｚ（教ｚｂ＆ｚ≠ａ）　　３＆Ｅ
　　３　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ～（教ｚｂ＆ｚ≠ａ）　　４量化子の関係
　　３　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（教ｃｂ＆ｃ≠ａ）　　５ＵＥ
　　３　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～教ｃｂ∨ｃ＝ａ　　　６ド・モルガンの法則
　　３　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　教ｃｂ→ｃ＝ａ　　　７含意の定義
　　　９　　（９）　　∃ｚ（Ａｚ＆～Ｓｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（ア）　　　　　Ａｃ＆～Ｓｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（イ）　　　　　Ａｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　ア　（ウ）　　　　　　　　～Ｓｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　３　　　（エ）　　　　　Ｓａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３　ア　（オ）　　　　　Ｓａ＆～Ｓｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウエ＆Ｉ
　　　　　カ（カ）　　　　　　ｃ＝ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　アカ（キ）　　　　　Ｓａ＆～Ｓａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オカ＝Ｅ
　　３　ア　（ク）　　　　　　ｃ≠ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カキＲＡＡ
　　３　ア　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ～教ｃｂ　　　　　　　８９ＭＴＴ
　　３　　　（コ）　　　　　　　　Ｐｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３　ア　（サ）　　　　　Ａｃ＆Ｐｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イコ＆Ｉ
　　３　ア　（シ）　　　　　Ａｃ＆Ｐｂ＆～教ｃｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　ケサ＆Ｉ
　　３　ア　（ス）　　∃ｙ（Ａｃ＆Ｐｙ＆～教ｃｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　シＥＩ
　　３９　　（セ）　　∃ｙ（Ａｃ＆Ｐｙ＆～教ｃｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　９アスＥＥ
　　３９　　（ソ）∃ｚ∃ｙ（Ａｚ＆Ｐｙ＆～教ｚｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　セＥＩ
　２　９　　（タ）∃ｚ∃ｙ（Ａｚ＆Ｐｙ＆～教ｚｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　２３ソＥＥ
１　　９　　（チ）∃ｚ∃ｙ（Ａｚ＆Ｐｙ＆～教ｚｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　１２タＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∃ｘ∃ｙ｛Ｓｘ＆哲ｘ＆Ｐｙ＆教ｘｙ＆～∃ｚ（教ｚｙ＆ｚ≠ｘ）｝。然るに、
（ⅱ）　　∃ｚ（Ａｚ＆～Ｓｚ）。従って、
（ⅲ）∃ｚ∃ｙ（Ａｚ＆Ｐｙ＆～教ｚｙ）。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）あるｘとあるｙについて｛ｘはソクラテスであって、哲学者であって、ｙはプラトンであって、ある（ｘ以外のｚが、ｙを教へる）といふことはない｝。然るに、
（ⅱ）　　　　　　　　　ある（ｚはアリストテレスであって、ソクラテスではない）。従って、
（ⅲ）あるｚとあるｙについて（ｚはアリストテレスであって、ｙはプラトンであって、ｚはｙを教えない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）ソクラテスがプラトンを教えた唯一の哲学者である。然るに、
（ⅱ）アリストテレスは、ソクラテスではない。従って、
（ⅲ）アリストテレスは、プラトンを教えなかった。
といふ「推論（三段論法）」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）Socrates is the only philosopher who taught Plato. 然るに、
（ⅱ）Aristotle is not Socrates. 従って、
（ⅲ）Aristotle did not teach Plato.
といふ「推論（三段論法）」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（05）
さて定冠詞（the）は、それが厳密に用いられるときには、一意性を内含している。
（勁草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、指示について、1986年、５３頁）
従って、
（04）（05）により、
（06）
定冠詞（the）は、それ自体が、一意性（Uniquness）を内含しているが故に、
① Socrates is the only philosopher who taught Plato.
② Socrates is the　　　philosopher who taught Plato.
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
① Socrates is the only philosopher who taught Plato.
といふことは、
① Socrates
② The philosopher who taught Plato
に於いて、
①＝② である。
といふことに、他ならない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Socrates is the philosopher who taught Plato.
といふことは、
① Socrates
② The philosopher who taught Plato
に於いて、
①＝② である。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（09）
① Socrates is the philosopher who taught Plato.
といふことは、
② Socrates ＝ the philosopher who taught Plato.
といふことに、他ならない。
然るに、
（10）
Consider the English setence below.
（１）Socrates is a philosopher.
（２）Paris is a city.
（３）Courage is a virtue.
（４）Socrates is the philosopher who taught Plato.
（５）Paris is the capital of France.
（６）Courage is the virtue I most admire.
Sentences（１）－（３）are simple subjects-predicate sentences; a particular objects（Socrates,Paris,courage）is said to have a certain property（being a philosopher,being a city,being a virtue）.　We accordingly call the 'is' in（１）－（３）the 'is' of predication. This use of 'is' must be contrasted with the 'is' in（４）－（６）, where rather the sense is 'is' the same object as（with 'object' used in some broad neutral sense）. This 'is' we distinguish as the 'is' of identity.
（E.J.Lemmon, Beginning Logic,1978/6/1,p160）
（１）－（３）の文は単純ば主語・述語文である、特定の対象（ソクラテス、パリ、勇気）がある性質（哲学者であること、都市であること、徳であること）をもつ、と言われるのである。従って、（１）-（３）における「である」のことを、述語の作用をする「である」（'is' of predication）とよぶ。この「である」の用法は、（４）－（６）における「である」と比較対象される必要がある、ここではその意味はむしろ、「同じ対象である」（「対象」という語をある広い、中立的な意味に用いて）である。この「である」をわれわれは同一性の「である」（'is' of identity）として区別する。
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 翻訳、論理学初歩、1973年、２０４頁）
従って、
（02）（03）（09）（10）により、
（11）
① Socrates is the philosopher who taught Plato.⇔
① ソクラテスがプラトンを教えた唯一の哲学者である。⇔
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｓｘ＆哲ｘ＆Ｐｙ＆教ｘｙ＆∀ｚ（教ｚｙ→ｚ＝ｘ）｝。
といふことは、
② Socrates ＝ the philosopher who taught Plato.
といふことに他ならない、が故に、
① に於ける「ｉｓ」を、「同一性の'ｉｓ'」といふ。
令和０３年１１月１６日、毛利太。

「日本は東京が首都である」の「述語論理」の「否定」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　（１）～∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝　　Ａ
１　　　　（２）∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝　　１量化子の関係
　３　　　（３）　　～｛日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）｝　　Ａ
　３　　　（４）～｛～日本ａ∨［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］｝　３含意の定義
　３　　　（５）　　日本ａ＆～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　４ド・モルガンの法則
　３　　　（６）　　日本ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　３　　　（７）　　　　　　～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　５＆Ｅ
　３　　　（８）　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　７ド・モルガンの法則
　３　　　（９）　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　８含意の定義
　　ア　　（ア）　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　３ア　　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　９アＭＰＰ
　３ア　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　イ含意の定義
　　　エ　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（首都ｃａ→ｙ＝ｃ）　　　Ａ
　　　エ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～首都ｃａ∨ｙ＝ｃ）　　　エ含意の定義
　　　エ　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ＆ｙ≠ｃ　　　　オド・モルガンの法則
　　　エ　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）　　　カＥＩ
　３ア　　（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）　　　ウエキＥＥ
　３　　　（ケ）　　　　　　　　∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）　　　アクＣＰ
　３　　　（コ）　　　日本ａ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）］　　６ケ＆Ｉ
　３　　　（サ）∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝　コＥＩ
１　　　　（シ）∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝　２３サＥＥ
（ⅱ）
１　　　　　（１）∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→　∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝　Ａ
　２　　　　（２）　　　日本ａ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）］　　Ａ
　２　　　　（３）　　　日本ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　　（４）　　　　　　　［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）→　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）］　　２＆Ｅ
　２　　　　（５）　　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）　　　４含意の定義
　　６　　　（６）　　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　６　　　（７）　　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　６∨Ｉ
　　　８　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（首都ｚａ＆ｙ≠ｚ）　　　Ａ
　　　　９　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ＆ｙ≠ｃ　　　　Ａ
　　　　　ア（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　Ａ
　　　　　ア（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ→ｙ＝ｃ　　　　アＵＥ
　　　　９　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ　　　　　　　　９＆Ｅ
　　　　９ア（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ＝ｃ　　　　イウＭＰＰ
　　　　９　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ≠ｃ　　　　９＆Ｅ
　　　　９ア（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ＝ｃ＆ｙ≠ｃ　　　　エオ＆Ｉ
　　　　　ア（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｘ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　９カＲＡＡ
　　　　　ア（ク）　　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　キ∨Ｉ
　２　　　　（ケ）　　　　　　　～∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）∨～∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）　　　５６７アク∨Ｅ
　２　　　　（コ）　　　　　　　～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　ケ、ド・モルガンの法則
　２　　　　（サ）　　　日本ａ＆～［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　３コ＆Ｉ
　２　　　　（シ）　～｛～日本ａ∨［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］｝　サ、ド・モルガンの法則
　２　　　　（ス）　　　～｛日本ａ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）｝　　シ含意の定義
　２　　　　（セ）　∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝　　スＥＩ
１　　　　　（ソ）　∃ｘ～｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝　　１２セＥＥ
１　　　　　（タ）　～∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）｝　　ソ量化子の関係
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ｛日本ｘ→［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② ∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① ～～∀ｘ｛日本ｘ→［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② ～∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① 　∀ｘ｛日本ｘ→［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② ～∃ｘ｛日本ｘ＆［∃ｙ（東京ｙ＆首都ｙｘ）→∃ｚ（首都ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは［（東京であって、ｘの首都であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚと「同一」である）］｝。
② ｛ｘは日本であって、あるｙが（東京であって、ｘの首都である）ならば、あるｚは（ｘの首都であるが、ｙとｚは「同一」でない）｝といふ、そのやうなｘは存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）により、
（06）
① 日本は、東京が首都である。
② 東京以外が首都である所の、日本は存在しない。
に於いて、
①＝② である。
（07）
③ 東京以外は日本の首都ではない。
の「対偶（Contraposition）」は、
③ 日本の首都は東京である。
である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 日本は、東京が首都である。
② 東京以外が首都である所の、日本は存在しない。
③ 日本の首都は東京である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
令和０３年１１月１５日、毛利太。

「日本は東京が首都である」の「述語論理」と「同一性」。

（01）
（ⅰ）
１　　　　　（１）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝　Ａ
　２　　　　（２）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（３）　　　日本ａ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　１ＵＥ
　　４　　　（４）　　　日本ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　４　　　（５）　　　　　　　∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　３４ＭＰＰ
　　　６　　（６）　　　　　　　　　　（東京ｂ＆首都ｂａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｂ＝ｚ）］　　Ａ
　　　６　　（７）　　　　　　　　　　　東京ｂ＆首都ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　　６　　（８）　　　　　　　　　　　東京ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
　　　６　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（首都ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　６＆Ｅ
　　　６　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　首都ｃａ→ｂ＝ｃ　　　　９ＵＥ
　　　　イ　（イ）　　　大阪ｃ＆～東京ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　イ　（ウ）　　　大阪ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　　　イ　（エ）　　　　　　　～東京ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イ＆Ｅ
　　　６イ　（オ）　　　東京ｂ＆～東京ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　８エ＆Ｉ
　　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６イカ（キ）　　　東京ｂ＆～東京ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オカ＝Ｅ
　　　６イ　（ク）　　　　　　　　　　ｂ≠ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　カキＲＡＡ
　　　６イ　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～首都ｃａ　　　　　　　　アクＭＴＴ
　　　６イ　（コ）　　　大阪ｃ＆～首都ｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウケ＆Ｉ
　　　６イ　（サ）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コＥＩ
　２　６　　（シ）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２イサＥＥ
１２４　　　（ス）∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５６シＥＥ
１２　　　　（セ）　　　日本ａ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　４スＣＰ
１２　　　　（ソ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝　　　　　　　　　　　　　　　セＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（大阪ｚ＆～東京ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛日本ｘ→∃ｚ（大阪ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは［（東京であって、ｘの首都であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚと「同一」である）］｝。然るに、
（ⅱ）あるｚは（大阪であって、東京ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｚは（大阪であって、ｘの首都ではない）。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）日本は、東京が首都である。然るに、
（ⅱ）大阪は、東京ではない。　　従って、
（ⅲ）日本は、大阪は首都ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）東京が、日本の首都である。　　然るに、
（ⅱ）大阪は、　　　東京ではない。　従って、
（ⅲ）日本の首都は、大阪はではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（05）
（ⅰ）日本の首都は、東京である。　　然るに、
（ⅱ）大阪は、　　　東京ではない。　従って、
（ⅲ）日本の首都は、大阪はではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
① 日本は、東京が首都である。
② 東京が、日本の首都である。
③ 日本の首都は、東京である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
① 日本は、東京が首都である。
② Tokyo is the capital of Japan.
③ The capital of Japan is Tokyo.
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
Aids towards recognizing the 'is' of identity are:
（ａ）Can "is" be replaced by 'is the same object as'? ― if so, 'is' means identity, if not, not.
（ｂ）Can the phrase flanking 'is' on both sides can be reversed preserving approximately the same sense? ― if so, 'is' is 'is' of identity, if not, not.
（E.J.Lemmon Beginning Logic 原文）
同一性の「である」識別するための助けとなることがらはつぎの通りである。
（ａ）「である」を「と同じ対象」であるによって置き換えることができるか ―― もしできるならば、その「である」は同一性の「である」である。もしできなければ、そうではない。
（ｂ）「である」の両側にならぶ語句は、近似値的に同じ意味をたもちつつ入れ換えることができるか ―― もしできるならば、その「である」は同一性の「である」である。もしできなければ、そうではない。（E.J.レモン 著、竹内治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２０５頁）
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
② 東京が、日本の首都である。
③ 日本の首都は、東京である。
② Tokyo is the capital of Japan.
③ The capital of Japan is Tokyo.
に於いて、
② が（is the）～である。
は、「同一性（identity）」の「である（is）」である。
従って、
（09）により、
（10）
① ＡはＢである。
② ＡがＢである。
③ ＢはＡである。
に於いて、
① を、② に「置き換へ」ることが出来、
② を、③ に「置き換へ」ることが出来る。
のであれば、そのときに限って、
① Ａ＝Ｂ
② Ａ＝Ｂ
③ Ｂ＝Ａ
である。
然るに、
（11）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
　理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
　タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（11）により、
（12）
① 私は理事長である。
② 私が理事長である。
③ 理事長は私である。
に於いて、
① を、② に「置き換へ」ることが出来、
② を、③ に「置き換へ」ることが出来る。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
① 私＝理事長
② 私＝理事長
③ 理事長＝私
である。
従って、
（13）により、
（14）
①「私」と「理事長」は「同一」である。
②「私」と「理事長」は「同一」である。
③「理事長」と「私」は「同一」である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
① 私は理事長である。
② 私が理事長である。
③ 理事長は私である。
に於いて、
① を、② に「置き換へ」ることが出来、
② を、③ に「置き換へ」ることが出来る。
のであれば、
① 私以外に理事長はゐない。
② 私以外に理事長はゐない。
③ 理事長以外は私ではない。
従って、
（15）により、
（16）
① 私以外に理事長はゐない。
② 私が理事長である。
③ 理事長は私である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）により、
（17）
① 東京が首都である。
② 首都は東京である。
③ 東京以外は首都ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）（17）により、
（18）
① 日本は東京が首都である。
② 日本の首都は東京である。
③ 日本は東京以外は首都ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（02）（18）により、
（19）
① 日本は東京が首都である。⇔
① ∀ｘ｛日本ｘ→∃ｙ［（東京ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。⇔
① すべてのｘについて｛ｘが日本であるならば、あるｙは［（東京であって、ｘの首都であって）、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｙはｚと「同一」である）］｝。
といふ「等式」が、成立する。
令和０３年１１月１５日、毛利太。

「タゴール記念会は私が理事長です」の「述語論理」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　　　～Ｑ　Ａ
　　３（３）　Ｐ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｑ＆Ｑ　２４＆Ｉ
１２　（６）～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｑ→～Ｐ　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　　　　　Ｐ　Ａ
　　３（３）　～Ｑ　　　　Ａ
１　３（４）　　　　～Ｐ　１３ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｐ＆～Ｐ　２４＆Ｉ
１２　（６）～～Ｑ　　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　Ｑ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐであるならば、Ｑである。仮定
　２　（２）　　　　　　　　Ｑでない。仮定
　　３（３）Ｐである。　　　　　　　　仮定
１　３（４）　　　　　　　　Ｑである。１３肯定肯定式
１２３（５）Ｑでなくて、　　Ｑである。１４連言導入
１２　（６）Ｐでない。　　　　　　　　３５背理法
１　　（７）Ｑでないならば、Ｐでない。２６条件法
（ⅱ）
１　　（１）Ｑでないならば、Ｐでない。仮定
　２　（２）　　　　　　　　Ｐである。仮定
　　３（３）Ｑでない。　　　　　　　　仮定
１　３（４）　　　　　　　　Ｐでない。１３肯定肯定式
１２３（５）Ｐであって、　　Ｐでない。２４連言導入
１２　（６）Ｑでない。ではない。　　　３５背理法
１２　（７）Ｑである。　　　　　　　　６二重否定
１　　（８）Ｐであるならば、Ｑである。２７条件法
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐであるならば、Ｑである。
② Ｑでないならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝② である（対偶）。
従って、
（03）により、
（04）
① ＰはＱである。
② Ｑ以外はＰでない。
に於いて、
①＝② である（対偶）。
従って、
（04）により、
（05）
① 大野は私です。
② 私以外は大野ではない。
に於いて、
①＝② である（対偶）。
然るに、
（06）
全国推定人口　約２２１，７００人程度　推定人口順位　７１位
（なまえさあち 名前さがすよ）
従って、
（05）（06）により、
（07）
①（全国的に、）大野は私です。
②（全国的に、）私以外は大野ではない。
といふことは、有り得ない。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
①（今、ここにゐる中では、）大野は私です。
②（今、ここにゐる中では、）私以外は大野ではない。
に於いて、
①＝② である（対偶）。
然るに、
（09）
（３）　未知と既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
　私が大野です。
これは、「大野さんはどちらですか」というような問いに対する答えとして使われる。
つまり文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、
それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。
その未知の対象を「私」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
　大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、３４頁）。
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（今、ここにゐる中では、）私が大野です。
②（今、ここにゐる中では、）大野は私です。
③（今、ここにゐる中では、）私以外は大野ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
まず最初に、
③（今、ここにゐる中では、）私以外は大野ではない。
といふ「事実」が有って、尚且つ、
③（今、ここにゐる中では、）私以外は大野ではない。
といふことを、「伝へる必要」があるならば、その時には、
① 私が大野です。
② 大野は私です。
といふ風に、言ふことになる。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。
その未知の対象を「私」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
　大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる。
といふ「説明」は、
①（今、ここにゐる中では、）私が大野です。
②（今、ここにゐる中では、）大野は私です。
③（今、ここにゐる中では、）私以外は大野ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふ「事実」に依存する所の、「後付けの説明」に過ぎない。
従って、
（11）（12）により、
（13）
③（今、ここにゐる中では、）私以外は大野ではない。
といふ「事実」が有ったとしても、
③（今、ここにゐる中では、）私以外は大野ではない。
といふことを、「伝へる必要」が、全く無いにも拘はらず、
①（今、ここにゐる中では、）私が大野です。
②（今、ここにゐる中では、）大野は私です。
と言ふのであれば、当然、「不自然」である。
然るに、
（14）
初めての家を訪問した場合に、
③（今、ここにゐる中では、）私以外は大野ではない。
といふことを、「伝える必要」は、全く無い。
従って、
（13）（14）により、
（15）
たとえば、初めての家を訪問した場合に、「私は大野というものですが、御主人は御在宅でしょうか」という。
その場合、「私が大野ですが・・・・・・」といえば、応対に出た人が怪訝な顔をする（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、２５頁）。
といふことは、「当然」である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
①（今、ここにゐる中では、）私が大野です。
②（今、ここにゐる中では、）大野は私です。
③（今、ここにゐる中では、）私以外は大野ではない。
に於いて、
①＝②＝③ であるが故に、
③（今、ここにゐる中では、）私以外は大野ではない。
といふ「事実」があって、尚且つ、
③ であることを、表明する「必要」があるならば、「私が大野です（大野は私です）。」と言ひ、
③ であることを、表明する「必要」がないならば、「私は大野です。」と、言ふことなる。
従って、
（16）により、
（17）
（１）　既知（扱い）と未知（扱い）
（２）　既知（扱い）と既知（扱い）
（３）　未知（扱い）と既知（扱い）
（４）　未知（扱い）と未知（扱い）
はじめに既知がくる（１）と（２）では、既知（あるいは既知扱い）の下にハという助詞を使う。また（３）と（４）では、既知（あるいは既知扱い）の下にガという助詞を使う。
これが現代日本語の文の基本的な構造である（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、２４頁）。
といふことには、ならない。
（18）
① 大野は私です。
と言ひたい場合に、
② 私が大野です。
と言ひ、
③ 私は大野です。
とは言はないのであれば、
① 大野は私です。
② 私が大野です。
③ 私は大野です。
に於いて、
①＝② であるが、
①＝③ ではない。
然るに、
（19）
① 大野は私です。
② 私が大野です。
③ 私以外は大野ではない。
に於いて、
①＝③ は、「対偶」である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
① 大野は私です。
と言ひたい場合に、
② 私が大野です。
と言ふのであれば、必然的に、
① 大野は私です。
② 私が大野です。
③ 私以外は大野ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（21）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
　理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
　タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（20）（21）により、
（22）
① タゴール記念会は、理事長は私です。
② タゴール記念会は、私が理事長です。
③ タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（23）
１　　　　　（１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝　Ａ
１　　　　　（２）　　　Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　１ＵＥ
　３　　　　（３）　　　Ｔ会の会員ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　　　　（４）　　　　　　　　　　∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］　　２３ＭＰＰ
　　５　　　（５）　　　　　　　　　　　　　私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　Ａ
　　５　　　（６）　　　　　　　　　　　　　私ｂ＆理事長ｂａ　　　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　５　　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ）　　　５＆Ｅ
　　５　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　理事長ｃａ→ｂ＝ｃ　　　　７ＵＥ
　　　９　　（９）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（ア）　　　　　　　　小倉ｃ＆～私ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　ア　（イ）　　　　　　　　小倉ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　ア　（ウ）　　　　　　　　　　　　～私ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　　　エ（エ）　　　　　　　　　　　 　　 ｂ＝ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　アエ（オ）　　　　　　　　　　　　～私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ウエ＝Ｅ
　　５　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　　５　アエ（キ）　　　　　　　　　　　　～私ｂ＆私ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オカ＆Ｉ
　　５　ア　（ク）　　　　　　　　　　　　　　ｂ≠ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　エキＲＡＡ
　　５　ア　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～理事長ｃａ　　　　　　　　８クＭＴＴ
　　５　ア　（コ）　　　　　　　　小倉ｃ＆～理事長ｃａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　イケ＆Ｉ
　　５　ア　（サ）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　コＥＩ
　　５９　　（シ）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９アサＥＥ
１３　９　　（ス）　　　　　∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５シＥＥ
１　　９　　（セ）　　　Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ）　　　　　　　　　　　　　　３スＣＰ
１　　９　　（ソ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝　　　　　　　　　　　　　セＵＩ
従って、
（23）により、
（24）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝
といふ「推論（三段論法）」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
（ⅱ）あるｚは（小倉氏であって、ｚは私ではない。）
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉氏であって、ｚはｘの理事長ではない）。｝
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（22）（23）（24）により、
（25）
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長です。然るに、
（ⅱ）小倉氏は私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は理事長ではない。
といふ「推論（三段論法）」は、「妥当」である。
従って、
（21）～（25）により、
（26）
① タゴール記念会は、理事長は私です。
② タゴール記念会は、私が理事長です。
③ タゴール記念会は、私以外は理事長ではない。
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
⑤ すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤ である。
令和０３年１１月１３日、毛利太。

「含意の定義・ド・モルガンの法則・パースの法則」

（01）
（ⅰ）
１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＭＰＰ
（02）
（ⅱ）
１　　　（１）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　オＤＮ
（ⅲ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　３５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、すなはち、
①  Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）といふことはない。
③  Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）により、
（04）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
① 　　Ｐ→　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　～Ｐ∨　Ｑ
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ であって、
②＝③ であるものの、
①＝② を、「含意の定義（Ⅰ）」とし、
①＝③ を、「含意の定義（Ⅱ）」とし、
②＝③ を、「ド・モルガンの法則」とする。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　　　（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ　　Ａ
１　　（２）　～｛（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ｝　１含意の定義（Ⅰ）
１　　（３）～｛～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ｝　２含意の定義（Ⅰ）
１　　（４）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ　　３ド・モルガンの法則
　５　（５）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　Ａ
　５　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
１　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　１５６７７∨Ｅ
　　　（９）　　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義（Ⅱ）
１　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　　２含意の定義（Ⅱ）
　４　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　Ａ
　４　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（８）　　Ｐ　　　　　　　　　　１４６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（06）により、
（07）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は、「含意の定義（Ⅰ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」であって、
② は、「含意の定義（Ⅱ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
従って、
（07）（08）により、
（09）
①「パースの法則」は、「含意の定義（Ⅰ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」であって、
②「パースの法則」は、「含意の定義（Ⅱ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」である。
従って、
（03）（09）により、
（10）
①  Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）といふことはない。
③  Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）
が故に、
④（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
（ⅲ）
１　　（１）　　　（Ｐ→～Ｑ）→　Ｐ　　　Ａ
１　　（２）　～｛（Ｐ→～Ｑ）＆～Ｐ｝　　１含意の定義（Ⅰ）
１　　（３）～｛～（Ｐ＆　Ｑ）＆～Ｐ｝　　２含意の定義（Ⅰ）
１　　（４）　　　（Ｐ＆　Ｑ）∨　Ｐ　　　３ド・モルガンの法則
　５　（５）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　Ａ
　５　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　（８）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　１５６７７∨Ｅ
　　　（９）　　（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
（ⅳ）
１　　（１）　　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義（Ⅱ）
１　　（３）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ　　　　２含意の定義（Ⅱ）
　４　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　Ａ
　４　（５）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　４　（６）　　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（８）　　　Ｐ　　　　　　　　　　１４６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（06）（07）（11）により、
（12）
①（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
だけでなく、
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
③ は、「含意の定義（Ⅰ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」であって、
④ は、「含意の定義（Ⅱ）＆ド・モルガンの法則」によって、「恒真（トートロジー）」である。
従って、
（09）～（12）により、
（13）
④（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
⑤（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
は、両方とも、「パースの法則」であって、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（13）により、
（14）
④（（ＰならばＱの真偽に）拘はらず、Ｐ）ならばＰである。
は、「パースの法則」であって。「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（10）（14）により、
（15）
①  Ｐならば、Ｑである。
②（ＰであってＱでない）といふことはない。
③  Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）
が故に、
④（（ＰならばＱの真偽に）拘はらず、Ｐ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「恒真（トートロジー）」である。
然るに、
（16）
① 　 Ｐならば、Ｑである。
②　（ＰであってＱでない）といふことはない。
③ 　 Ｐでないか、または、Ｑである。
④（（ＰならばＱの真偽に）拘はらず、Ｐ）ならばＰである。
に於いて、
①＝②＝③ であることは、「当然」であり、
④ が「真」であることも、「当然」である。
従って、
（08）（16）により、
（17）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
とは言ふものの、「パースの法則」は、少しも、「変なもの」ではない。
然るに、
（18）
パースの法則が、「排中律や二重否定の除去」と等価である。
といふ「言ひ方」に関しては、私には、理解できない。
令和０３年１１月１２日、毛利太。

「ある恒真式（名前はまだ無い）」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　Ａ
１　　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　Ａ
　４　（４）　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
１４　（５）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　２３＆Ｉ
１４　（６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　Ｒ　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　２７＆Ｉ
１　７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　８∨Ｉ
１　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　１４６７９∨Ｅ
（ⅱ）
　 １　　（１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　　４∨Ｉ
　２　（６）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　　３５＆Ｉ
　　７（７）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　Ａ
　　７（８）　　　　　　　Ｐ　　　　７＆Ｅ
　　７（９）　　　　　　　　　Ｒ　　７＆Ｅ
　　７（ア）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　　９∨Ｉ
　　７（イ）　　　　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　　１２６７イ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
①　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である（分配の法則）。
従って、
（02）により、
（03）
①　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
① Ｐ＝Ｑ
② Ｐ＝Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
①　Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である（分配の法則）。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　２　（２）　Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２冪等律
　２　（４）　Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）　　　　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　Ａ
　　５（６）　　　　Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）　５∨Ｉ
１　　（７）　Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）　　　　１２４５６∨Ｅ
（ⅲ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ＆Ｐ　　　　　　　　２冪等律
　２　（４）（Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ＆Ｒ）　３∨Ｉ
　　５（５）　　　　Ｐ＆Ｒ　　　　　Ａ
　　５（６）　　　　Ｐ　　　　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　　Ｐ＆Ｐ　　　　　６冪等律
　　５（８）（Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ＆Ｒ）　７∨Ｉ
１　　（９）（Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ＆Ｒ）　１２４５８∨Ｅ
従って、
（04）により、
（05）
②（Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ＆Ｒ）
③　Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①　Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ＆Ｒ）
③　Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝② である（分配の法則）。
②＝③ である（冪等律）。
従って、
（06）により、
（07）
①　Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）
②（Ｐ＆Ｐ）∨（Ｐ＆Ｒ）
③　Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、
①＝②＝③ である（分配の法則・冪等律）。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）　Ａ
１　　（２）Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　　Ｐ∨Ｒ　　Ａ
　４　（４）　　　Ｐ　　　　Ａ
　４　（５）Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　Ｒ　　Ａ
１　６（７）　　　Ｐ＆Ｒ　　２６＆Ｉ
１　６（８）Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）　７∨Ｉ
１　　（９）Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）　３４５６８∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　　　　 Ａ
　２　（３）Ｐ∨Ｒ　　 　　 ２∨Ｉ
　２　（４）Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）　２３＆Ｉ
　　５（５）　　　Ｐ＆Ｒ　　Ａ
　　５（６）　　　Ｐ　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　Ｐ∨Ｒ　　６∨Ｉ
　　５（８）Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）　６７＆Ｉ
１　　（９）Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）　１２４５８∨Ｅ
従って、
（08）により、
（09）
「分配法則・冪等律」によらずとも、いづれにせよ、
① Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）
② Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、すなはち、
① Ｐであって（Ｐであるか、または、Ｒである）。
② Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｒである）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）⇔ Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）
であって、尚且つ、「＆と∨」が「逆」になる所の、
Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）⇔ Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）
といふ「等式（恒真式）」には、いかにも、それらしい「名前」が付いてゐさうであるが、ネットで調べる限り、
Ｐ＆（Ｐ∨Ｒ）⇔ Ｐ∨（Ｐ＆Ｒ）
といふ「等式（恒真式）」に、「分配法則・冪等律」のやうな「名前」は、特に、無い。
令和０３年１１月１１日、毛利太。

「パースの法則」と「同値の式」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）　Ａ
１　　（２）Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　２∨Ｉ
１　　（４）　　　Ｐ∨～Ｑ　　１＆Ｅ
　５　（５）　　　～Ｑ　　　　Ａ
　５　（６）　　　Ｐ＆～Ｑ　　２５＆Ｉ
　５　（７）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　８（９）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　８∨Ｉ
１　　（ア）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　４５７８９∨Ｉ
（ⅱ）
１　　（１）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　　Ｐ∨～Ｑ　　２∨Ｉ
　２　（４）Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）　２３＆Ｉ
　　５（５）　　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　５（６）　　　Ｐ　　　　　５＆Ｅ
　　５（７）　　　Ｐ∨～Ｑ　　６∨Ｉ
　　５（８）Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）　６７＆Ｉ
１　　（９）Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）　１２４５８∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）
② Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１　　　　　　　　（１）Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　Ａ
　２　　　　　　　（２）Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　　　　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　２∨Ｉ
　　４　　　　　　（４）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　５　　　　　（５）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　４　　　　　　（６）　　　Ｐ　　　　　　　　　　４＆Ｅ
　　４５　　　　　（７）　　　　　　Ｑ　　　　　　　５６ＭＰＰ
　　４　　　　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　　４＆Ｅ
　　４５　　　　　（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　７８＆Ｉ
　　４　　　　　　（ア）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　　５９ＲＡＡ
　　４　　　　　　（イ）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　ア∨Ｉ
１　　　　　　　　（ウ）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　１２３４イ∨Ｅ
　　　　エ　　　　（エ）　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　オ　　　（オ）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　Ａ
　　　　エ　　　　（カ）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　エ＆E
　　　　エオ　　　（キ）　～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ）　オカ＆Ｉ
　　　　　オ　　　（ク）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　　エキＲＡＡ
　　　　　　ケ　　（ケ）　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　　エ　　　　（コ）　　　　　　　　～Ｐ　　　　エ＆Ｅ
　　　　エ　ケ　　（サ）　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　ケコ＆Ｉ
　　　　　　ケ　　（シ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　　エサＲＡＡ
１　　　　　　　　（ス）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　　１オクケシ∨Ｅ
　　　　　　　セ　（セ）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　ソ（ソ）　　　　　　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　　　セソ（タ）　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　　セソ＆Ｉ
１　　　　　　セソ（チ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　　スタ＆Ｉ
１　　　　　　セ　（ツ）　　　　　　　～～Ｐ　　　　ソチＲＡＡ
１　　　　　　セ　（テ）　　　　　　　　　Ｐ　　　　ツＤＮ
１　　　　　　　　（ト）　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　セテＣＰ
（ⅲ）
１　　　　　　　（１）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　～｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝　　Ａ
　　３　　　　　（３）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　Ａ
　　３　　　　　（４）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　３∨Ｉ
　２３　　　　　（５）　～｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝　　２４＆Ｉ
　２　　　　　　（６）　　～～（Ｐ→Ｑ）　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　　　　　（７）　　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　６ＤＮ
１２　　　　　　（８）　　　　　　　　　　Ｐ　　　１７ＭＰＰ
１２　　　　　　（９）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　８∨Ｉ
１２　　　　　　（ア）　～｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝　　２９＆Ｉ
１　　　　　　　（イ）～～｛～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ｝　　２アＲＡＡ
１　　　　　　　（ウ）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　イＤＮ
　　　エ　　　　（エ）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　オ　　　（オ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　カ　　（カ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　キ　（キ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　カキ　（ク）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　カキ＆Ｉ
　　　　オカキ　（ケ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　オク＆Ｉ
　　　　オカ　　（コ）　　　　　～～Ｑ　　　　　　キケＲＡＡ
　　　　オカ　　（サ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　コＤＮ
　　　　オ　　　（シ）　　　　　Ｐ→Ｑ　　　　　　カサＣＰ
　　　エオ　　　（ス）～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ）　　エシ＆Ｉ
　　　エ　　　　（セ）　～～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　オスＤＮ
　　　エ　　　　（ソ）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　セＤＮ
　　　エ　　　　（タ）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　ソ∨Ｉ
　　　　　　　チ（チ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　　　　チ（ツ）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　チ∨Ｉ
１　　　　　　　（テ）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　ウエタチツ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
② Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）
③ （Ｐ→Ｑ）→Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）
② Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）
③ （Ｐ→Ｑ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
①（Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（06）（07）により、
（08）
①（Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、
③ は、「パースの法則」である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１（１）　Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ）　　　　Ａ
１（２）　Ｐ　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　（３）（Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ））→Ｐ　１２ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　　Ｐ　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　Ｐ　　　　　　　　　　　１２２３４∨Ｅ
　　　（６）（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ　１５ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（８）　　Ｐ　　　　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（Ｐ＆（Ｐ∨～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
③（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「パースの法則」である。
（10）により、
（11）
①　（Ｐであって（Ｐであるか、Ｑでない））ならば、Ｐである。
②　（Ｐであるか（Ｐであって、Ｑでない））ならば、Ｐである。
③（（Ｐであるならば、Ｑである）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「パースの法則」である。
従って、
（11）により、
（12）
Ｐ＝日本人である。
Ｑ＝男性である（女性でない）。
であるとして、
①　（日本人であって（日本人であるか、女性である））ならば、日本人である。
②　（日本人であるか（日本人であって、女性である））ならば、日本人である。
③（（日本人であるならば、男性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「パースの法則」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１（１）　Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　　　　Ａ
１（２）　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
　（３）（Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ））→Ｐ　１２ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｐ＆Ｑ　　　　　Ａ
　　３（４）　　　　Ｐ　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（５）　Ｐ　　　　　　　　　　１２２３４∨Ｅ
　　　（６）（Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ））→Ｐ　１５ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　　（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→～Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→～Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
１　　（８）　　Ｐ　　　　　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（10）（13）により、
（14）
①　（Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ））→Ｐ
②　（Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ））→Ｐ
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「パースの法則」である。
従って、
（10）（12）（14）により、
（15）
③（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、すなはち、
③（（日本人であるならば、男性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
③（（日本人であるならば、女性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
に於いて、両方とも、
③ パースの法則である。
然るに、
（16）
③（（日本人であるならば、男性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
③（（日本人であるならば、女性である）ならば、日本人である）ならば、日本人である。
といふことは、
③（（日本人であるならば、男女を問わず）、日本人である）ならば、日本人である。
といふことに、他ならない。
従って、
（12）（16）により、
（17）
①　（日本人であって（日本人であるか、女性である））ならば、日本人である。
②　（日本人であるか（日本人であって、女性である））ならば、日本人である。
③（（日本人であるならば、男女を問わず）、日本人である）ならば、日本人である。
に於いて、
①＝②＝③ であって、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
② は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「恒真式（トートロジー）」であって、
③ は、「パースの法則」である。
令和０３年１１月１０日、毛利太。

『パースの法則』と「連言除去」。

―「昨日（令和０３年１１月０８日）の記事」を補足します。―
（01）
「原始的規則（10 primitive rules）」並びに、
「含意の定義、ド・モルガンの法則、分配の法則、冪等律」を用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（Ｐ→Ｑ）→Ｐ┤├ Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）
〔解答〕
（ⅰ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　（～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ　　　　１含意の定義
１　　（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ　　　　２含意の定義
　２　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　Ａ
　２　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　２　（６）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　７（８）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　７∨Ｉ
１　　（９）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　１２６７８∨Ｅ
１　　（ア）（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ）　９分配法則
１　　（イ）　Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　　ア＆Ｉ
１　　（ウ）　　　Ｐ　　　　　　　　　イ冪等律
１　　（エ）　　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　ア＆Ｅ
１　　（オ）　　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　ウエ＆Ｉ
（ⅱ）
１　　（１）　　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　Ａ
１　　（２）　　　　Ｐ　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　　Ｐ∨Ｐ　　　　　　　　２冪等律
１　　（４）　　　　　　（～Ｑ∨Ｐ）　１＆Ｅ
１　　（５）（Ｐ∨Ｐ）＆（～Ｑ∨Ｐ）　３４＆Ｉ
１　　（６）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　５分配法則
　７　（７）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　Ａ
　７　（８）　　～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　７ド・モルガンの法則
　７　（９）　　　～（Ｐ→Ｑ）　　　　８含意の定義
　７　（ア）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　９∨Ｉ
　　イ（イ）　　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　イ（ウ）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　イ∨Ｉ
１　　（エ）　　　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　６７アイウ∨Ｅ
１　　（オ）　　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　エ含意の定義
（02）
「含意の定義、ド・モルガンの法則、分配の法則、冪等律」を用ひずに、
「原始的規則（10 primitive rules）」だけを用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（ⅰ）
１　　　　　　　（１）　　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　　　　　（２）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　３　　　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　　４　　　　（４）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　３４　　　　（５）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　３４＆Ｉ
　２３４　　　　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　２５＆Ｉ
　２３　　　　　（７）　　　　　～～Ｑ　　　　　　４６ＲＡＡ
　２３　　　　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　７ＤＮ
　２　　　　　　（９）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　３８ＣＰ
１２　　　　　　（ア）　　　　　　　　　　Ｐ　　　１９ＭＰＰ
１　　　　　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ　　　２アＣＰ
　　　　ウ　　　（ウ）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　Ａ
　　　　　エ　　（エ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　エ　　（オ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　エ∨Ｉ
　　　　ウエ　　（カ）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　ウオ＆Ｉ
　　　　ウ　　　（キ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　　　（ク）　　　　　　　　　　Ｐ　　　イキＭＰＰ
１　　　ウ　　　（ケ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　ク∨Ｉ
１　　　ウ　　　（コ）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　イケ＆Ｉ
１　　　　　　　（サ）～～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　ウコＲＡＡ
１　　　　　　　（シ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　サＤＮ
　　　　　　ス　（ス）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　　ス　（セ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　ス＆Ｅ
　　　　　　ス　（ソ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　セ＆Ｅ
　　　　　　ス　（タ）　　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　　　ソ∨Ｉ
　　　　　　ス　（チ）　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　　セタ＆Ｉ
　　　　　　　ツ（ツ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　　　　ツ（テ）　　　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　　ツ∨Ｉ
　　　　　　　ツ（ト）　　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　ツテ＆Ｉ
１　　　　　　　（ナ）　　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　シスチツト∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　　　　　　　（１）　　　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　Ａ
１　　　　　　　　　　（２）　　　　Ｐ　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　　　　　　　（３）　　　　　　　～Ｑ∨Ｐ　　　１＆Ｅ
　４　　　　　　　　　（４）　　　　　　　～Ｑ　　　　　Ａ
１４　　　　　　　　　（５）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　２４＆Ｉ
１４　　　　　　　　　（６）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　５∨Ｉ
　　７　　　　　　　　（７）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　７　　　　　　　　（８）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　７∨Ｉ
１　　　　　　　　　　（９）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　１４６７８∨Ｅ
　　　ア　　　　　　　（ア）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　イ　　　　　　（イ）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　ア　　　　　　　（ウ）　　　　Ｐ　　　　　　　　　ア＆Ｅ
　　　アイ　　　　　　（エ）　　　　　　　Ｑ　　　　　　イウＭＰＰ
　　　ア　　　　　　　（オ）　　　　　　～Ｑ　　　　　　ア＆Ｅ
　　　アイ　　　　　　（カ）　　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　エオ＆Ｉ
　　　ア　　　　　　　（キ）　　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　アカＲＡＡ
　　　ア　　　　　　　（ク）　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　キ∨Ｉ
　　　　　ケ　　　　　（ケ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　　ケ　　　　　（コ）　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　ケ∨Ｉ
１　　　　　　　　　　（サ）　　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　１アクケコ∨Ｅ
　　　　　　シ　　　　（シ）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　Ａ
　　　　　　　ス　　　（ス）　　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　　シ　　　　（シ）　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シス　　　（セ）～（Ｐ→Ｑ）＆（Ｐ→Ｑ）　　スシ＆Ｉ
　　　　　　　ス　　　（ソ）　～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　シセＲＡＡ
　　　　　　　　タ　　（タ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　　　シ　　　　（チ）　　　　　　　　　～Ｐ　　　シ＆Ｅ
　　　　　　シ　タ　　（ツ）　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　タチ＆Ｉ
　　　　　　　　タ　　（テ）　～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　シツＲＡＡ
１　　　　　　　　　　（ト）　～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　サスソタテ∨Ｅ
　　　　　　　　　ナ　（ナ）　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　　ニ（ニ）　　　　　　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　　　　　　ナニ（ヌ）　　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　　ナニ＆Ｉ
１　　　　　　　　ナニ（ネ）　～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　　トヌ＆Ｉ
１　　　　　　　　ナ　（ノ）　　　　　　　　～～Ｐ　　　ニネＲＡＡ
１　　　　　　　　ナ　（ハ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　ノＤＮ
１　　　　　　　　　　（ヒ）　　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　ナハＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
②　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）
に於いて、
①＝② であるが、この「等式」を、「定理α」とする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）
１（１）　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１（２）　　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　１定理α
１（３）　　Ｐ　　　　　　　　　２連言除去
　（４）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１３ＣＰ
（ⅱ）
１（１）　Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ）　　　　Ａ
１（２）　Ｐ　　　　　　　　　　　１連言除去
　（３）（Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ））→Ｐ　１２ＣＰ
従って、
（04）により、
（05）
「連言除去」により、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ））→Ｐ
といふ「論理式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ＆（～Ｑ∨Ｐ））→Ｐ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（Ｐであって（ＱでないかＰ））ならばＰである。
といふ「日本語」は、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｐ＝日本人
Ｑ＝男性
であるとして、
①（（日本人ならば男性）ならば日本人）ならば日本人である。
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
といふ「日本語」は、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（09）
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
従って、
（06）～（09）により、
（10）
① パースの法則
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
は、両方とも、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（11）
②（日本人であって（男性でないか日本人））であって、外国人である。
といふことは、有り得ないが故に、
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
といふことは、「当然」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
① パースの法則
②（日本人であって（男性でないか日本人））ならば日本人である。
は、両方とも、「恒に真（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② であって、尚且つ、
② は、明らかに、「真」である。
従って、
（12）により、
（13）
① パースの法則
も、当然、「真」である。
令和０３年１１月０９日、毛利太。

『パースの法則』は「当然」である（其の？）。

（01）
「原始的規則（10 primitive rules）」だけを用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ┤├（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
〔解答〕
（ⅰ）
１　　　　　　　　（１）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　Ａ
　２　　　　　　　（２）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　Ａ
　　３　　　　　　（３）　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　Ａ
　２　　　　　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　　　　（５）　　　　　　Ｑ　　　　　３４ＭＰＰ
　２　　　　　　　（６）　　　　　～Ｑ　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　　　　（７）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　５６＆Ｉ
　２　　　　　　　（８）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　３７ＲＡＡ
　２　　　　　　　（９）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　２∨Ｉ
　　　ア　　　　　（ア）　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　　ア　　　　　（イ）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　ア∨Ｉ
１　　　　　　　　（ウ）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　１２９アイ∨Ｅ
　　　　エ　　　　（エ）　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　Ａ
　　　　　オ　　　（オ）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　エ　　　　（カ）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　エ＆Ｅ
　　　　エオ　　　（キ）　～（Ｐ→Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　オカ＆Ｉ
　　　　　オ　　　（ク）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　エキＲＡＡ
　　　　　　ケ　　（ケ）　　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　　　エ　　　　（コ）　　　　　　　　～Ｐ　　エ＆Ｅ
　　　　エ　ケ　　（サ）　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　ケコ＆Ｉ
　　　　　　ケ　　（シ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　エサＲＡＡ
１　　　　　　　　（ス）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　ウオクケシ∨Ｅ
　　　　　　　セ　（セ）　　（Ｐ→Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　　　　ソ（ソ）　　　　　　　　～Ｐ　　Ａ
　　　　　　　セソ（タ）　　（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ　　セソ＆Ｉ
１　　　　　　セソ（チ）～｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ｝　スタ＆Ｉ
１　　　　　　セ　（ツ）　　　　　　　～～Ｐ　　ソチＲＡＡ
１　　　　　　セ　（テ）　　　　　　　　　Ｐ　　ツＤＮ
１　　　　　　　　（ト）　　（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ　　セテＣＰ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　３　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　　４　　（４）　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　３４　　（５）　　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　３４＆Ｉ
　２３４　　（６）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　２５＆Ｉ
　２３　　　（７）　　　　　～～Ｑ　　　　　　４６ＲＡＡ
　２３　　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　　　　７ＤＮ
　２　　　　（９）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　３８ＣＰ
１２　　　　（ア）　　　　　　　　　　Ｐ　　　１９ＭＰＰ
１　　　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ　　　２アＣＰ
　　　　ウ　（ウ）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　　エ（オ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　エ∨Ｉ
　　　　ウエ（カ）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　ウオ＆Ｉ
　　　　ウ　（キ）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　　　　　　Ｐ　　　イキＭＰＰ
１　　　ウ　（ケ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　ク∨Ｉ
１　　　ウ　（コ）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　イケ＆Ｉ
１　　　　　（サ）～～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝　　ウコＲＡＡ
１　　　　　（シ）　　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　サＤＮ
（02）
「原始的規則（10 primitive rules）」、並びに「ド・モルガンの法則、含意の定義」を用ひて、次の「連式」を証明せよ。
（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ┤├（Ｐ→Ｑ）→Ｐ
〔解答〕
（ⅰ）
１　　（１）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　Ａ
　２　（２）　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　Ａ
　２　（３）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　２ド・モルガンの法則
　２　（４）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　３含意の定義
　２　（５）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　６（７）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　６∨Ｉ
１　　（８）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　１２５６７∨Ｅ
１　　（９）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　８含意の定義
（ⅱ）
１　　（１）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　３含意の定義
　３　（５）　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　５∨Ｉ
　　７（７）　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　７（８）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　７∨Ｉ
１　　（９）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　２３６７８∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「記号」で書くと、
①（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ
②（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で言ふと、
①（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである。
②（Ｐならば、　Ｑ）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
Ｐ＝日本人
Ｑ＝男性
であるとして、
①（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である。
②（日本人ならば、　男性）ならば、日本人である。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
①（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である。
といふのであれば、当然、
①　日本人である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである。
といふのであれば、当然、
①  Ｐである。
従って、
（04）（07）により、
（08）
①（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである。
②（Ｐならば、　Ｑ）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② であるが故に、当然、
① ならば、Ｐであり、
② ならば、Ｐである。
従って、
（08）により、
（09）
①（（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐならば、　Ｑ）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
従って、
（03）（09）により、
（10）
「記号」で書くと、
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１　　（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４（４）　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（５）　　Ｐ　　　　　　　　　　１２３４４∨Ｅ
　　　（６）（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ　１５ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）　　（Ｐ→Ｑ）→Ｐ　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨Ｐ　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→Ｑ）　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　Ｐ　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　（８）　　Ｐ　　　　　　　　　２３６７７∨Ｅ
　　　（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① は「恒真式（トートロジー）」であって、
② も「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
①＝② である。
然るに、
（13）
命題計算では、パースの法則は（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（09）～（13）により、
（14）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである）ならば、Ｐである。
②（（Ｐならば、　Ｑ）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② であって、
② は、『パースの法則』である。
然るに、
（15）
①（（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ「命題」が、
命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。
とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「意味」であるとは、私には、到底、思へない。
従って、
（14）（15）により、
（16）
とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
といふ「説明」が、
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐならば、Ｑ）ならば、Ｐである）ならば、Ｐである。
といふ『パースの法則』の「説明」になってゐるとは、私には、思へない。
令和０３年１１月０７日、毛利太。

「量化子の関係」と「ド・モルガンの法則」。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　　～∀ｘ（Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　～∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　　３（４）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　３ＥＩ
　２３（５）　～∃ｘ（～Ｆｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　２４＆Ｉ
　２　（６）　　　　～～Ｆａ　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　　　Ｆａ　　　６ＤＮ
　２　（８）　　　∀ｘ（Ｆｘ）　　７ＵＩ
１２　（９）　　～∀ｘ（Ｆｘ）＆
　　　　　　　　　∀ｘ（Ｆｘ）　　１９＆Ｉ
１　　（ア）～～∃ｘ（～Ｆｘ）　　２９ＲＡＡ
１　　（イ）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　アＤＮ
（ⅱ）
１　　（１）　　∃ｘ（～Ｆｘ）　　Ａ
　２　（２）　　　∀ｘ（Ｆｘ）　　Ａ
　　３（３）　　　　　～Ｆａ　　　Ａ
　２　（４）　　　　　　Ｆａ　　　３ＵＥ
　２３（５）　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　３４＆Ｉ
　　３（６）　　～∀ｘ（Ｆｘ）　　２５ＲＡＡ
１　　（７）　　～∀ｘ（Ｆｘ）　　１３６ＥＥ
従って、
（01）により、
（02）
① ～∀ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）
に於いて、
①＝② である（量化子の関係）。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１　　　　（１） 　 ～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　Ａ
　２　　　（２）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　４∨Ｉ
　２３　　（６）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２５＆I
　２　　　（７）　　～～Ｆａ　　　　　　　　　　　２６ＲＡＡ
　２　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　７ＤＮ
　　　９　（９）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　９∨Ｉ
　　　９　（イ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ア∨Ｉ
　２　９　（ウ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２イ＆Ｉ
　２　　　（エ）　　　　　　～～Ｆｂ　　　　　　　９ウＲＡＡ
　２　　　（オ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　エＤＮ
　　　　カ（カ）　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　　　　カ（キ）　　　　　　　～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　カ∨Ｉ
　　　　カ（ク）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　キ∨Ｉ
　２　　カ（ケ）　～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２カ＆Ｉ
　２　　　（コ）　　　　　　　　　　～～Ｆｃ　　　カケＲＡＡ
　２　　　（サ）　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　コＤＮ
　２　　　（シ）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　　　　　８オ＆Ｉ
　２　　　（ス）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ　　　サシ＆Ｉ
１２　　　（セ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）　　２ス＆Ｉ
１　　　　（ソ）～～（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）　　２セＲＡＡ
１　　　　（タ）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　　　ソＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨　～Ｆｃ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ　　　Ａ
１　　　　　（３）　　（～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨～Ｆｃ　　　１結合法則
　２　　　　（４）　　　（Ｆａ＆　Ｆｂ）＆　Ｆｃ　　　２結合法則
　　５　　　（５）　　　～Ｆａ∨～Ｆｂ　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（６）　　　　Ｆａ＆　Ｆｂ　　　　　　　　４＆Ｅ
　　　７　　（７）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　Ｆａ　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
　２　７　　（９）　　　～Ｆａ＆Ｆａ　　　　　　　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　２９ＲＡＡ
　　　　イ　（イ）　　　　　　　～Ｆｂ　　　　　　　　Ａ
　２　　　　（ウ）　　　　　　　　Ｆｂ　　　　　　　　６＆Ｅ
　２　　イ　（エ）　　　　～Ｆｂ＆Ｆｂ　　　　　　　　イウ＆Ｉ
　　　　イ　（オ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　２エＲＡＡ
　　５　　　（カ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　５７アイオ∨Ｅ
　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　　～Ｆｃ　　　Ａ
　２　　　　（ク）　　　　　　　　　　　　　Ｆｃ　　　４＆Ｅ
　２　　　キ（ケ）　　　　　　　　　～Ｆｃ＆Ｆｃ　　　キク＆Ｉ
　　　　　キ（コ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　２ケＲＡＡ
１　　　　　（サ）　　～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　　Ｆｃ）　　３５カキコ∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① ～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
② 　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
｛すべてのｘ｝≡｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとすると、
① ～∀ｘ（Ｆｘ）　　　　　　≡（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
② ∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　≡　ａはＦでないか、ｂはＦでないか、ｃはＦでない。
① ～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）≡（ａがＦであって、ｂもＦであって、ｃもＦである）といふことはない。
② 　～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ　≡　ａはＦでないか、ｂはＦでないか、ｃはＦでない。
従って、
（05）により、
（06）
｛すべてのｘ｝≡｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとすると、
① ～∀ｘ（Ｆｘ）≡～（Ｆａ＆　Ｆｂ＆　Ｆｃ）
② ∃ｘ（～Ｆｘ）≡  ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ
に於いて、
①＝② である（量化子の関係、ド・モルガンの法則）。
令和０３年１１月０６日、毛利太。

「排中律・矛盾律・同一律」について。

（01）
排中律
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 ナビゲーションに移動検索に移動 排中律（はいちゅうりつ、英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 Ｐ に対し"～Ｐ∨Ｐ"（Ｐでないか、または Ｐである）が成り立つことを主張する法則である。これは、論理の古典的体系では基本的な属性であり、同一律、無矛盾律とともに、（古典的な）思考の三原則のひとつに数えられる。しかし、論理体系によっては若干異なる法則となっている場合もあり、場合によっては排中律が全く成り立たないこともある（例えば直観論理）。
従って、
（01）により、
（02）
「直観論理」の場合は、
①「排中律」は、必ずしも、「真」ではない。
従って、
（02）により、
（03）
「直観論理」の場合は、
①「排中律」の「否定」は、必ずしも、「偽」ではない。
然るに、
（04）
（ａ）
１　　　　　（１）　　　～Ｐ∨　Ｐ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）　　～（Ｐ＆～Ｐ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　　　～Ｐ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）　　～（Ｐ＆～Ｐ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）　　～（Ｐ＆～Ｐ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）　　～（Ｐ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　　　～～Ｐ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　　　Ｐ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　　　Ｐ→　Ｐ　　　ウクＣＰ
（ｂ）
１　　　　（１）　　　　Ｐ→　Ｐ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　　Ｐ　　　１３ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　　～Ｐ　　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　　～（Ｐ＆～Ｐ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨　Ｐ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨　Ｐ　　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨　Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｐ）　　８ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　　９イＤＮ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　　Ｐ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨　Ｐ　　　オ∨Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨　Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｐ）　　８カ＆I
　　８　　（ク）　　　　　　～Ｐ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　エク＆Ｉ
１　８　　（コ）　　～（Ｐ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　７ケ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨　Ｐ）　　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨　Ｐ　　　サＤＮ
（ｂ）
従って、
（04）により、
（05）
① 　～Ｐ∨　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ 　　Ｐ→　Ｐ
に於いて、
① ならば、② であり、② ならば、③ であり、
③ ならば、② であり、② ならば、① である。
従って、
（05）により、
（06）
① 　～Ｐ∨　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ 　　Ｐ→　Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ であるが、特に、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（06）により、
（07）
① 　～Ｐ∨　Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② であるため、
① ～（～Ｐ∨　Ｐ）
② ～～（Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～（～Ｐ∨　Ｐ）≡（Ｐでないか、または、Ｐである）といふわけではない。
② 　　（Ｐ＆～Ｐ）≡（Ｐであって、Ｐでない）。
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（08）により、
（09）
①「排中律」の「否定」
②「 矛盾 」
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（09）により、
（10）
「直観論理」の場合は、
①「排中律」の「否定」は、必ずしも、「偽」ではなく、尚且つ、
①「排中律」の「否定」は、「ド・モルガンの法則」により、
②「 矛盾 」に「等しい」。
従って、
（10）により、
（11）
「直観論理」の場合は、
②「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」は、必ずしも、「偽」ではない。
然るに、
（12）
②「矛盾（Ｐであって、Ｐでない）」は、必ず、「偽」であるに違ひない。
従って、
（01）～（12）により、
（13）
「排中律が全く成り立たないこともある（例えば直観論理）。」
といふ「説明」が、私には、理解できない。
令和０３年１１月０５日、毛利太。

「分配の法則」×２。

（01）
練習問題
１　つぎの連式に対して証明を与えよ。
（ｃ）Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）┤├（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
（ｄ）Ｐ∨（Ｑ＆Ｒ）┤├（Ｐ∨Ｑ）＆（Ｐ∨Ｒ）
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野 楢英 翻訳、1973年、５２頁）
然るに、
（02）
「結論」として、
「Ｐ与Ｑ」は、「Ｐ＆Ｑ（ 連言 ）」であって、
「Ｐ如Ｑ」は、「Ｐ∨Ｑ（弱選言）」である。
ｃｆ.
「藤堂明保、漢語と日本語、1969年、８２頁」＋「上田泰治、論理学、1967年、４６頁」＋「大修館書店、大漢和辞典（【如】6060）」。
従って、
（01）（02）により、
（03）
練習問題
１　つぎの連式に対して証明を与えよ。
（ｃ）甲与（乙如丙）┤├（甲与乙）如（甲与丙）
（ｄ）甲如（乙与丙）┤├（甲如乙）与（甲如丙）
（論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾 治一郎・浅野 楢英 翻訳、1973年、５２頁改）
然るに、
（04）
〔私による解答〕
（ⅰ）
１　　（１）　甲与（乙如丙）　　　　仮定
１　　（２）　甲　　　　　　　　　　仮定
１　　（３）　　　　乙如丙　　　　　１与除去
　４　（４）　　　　乙　　　　　　　仮定
１４　（５）　甲与乙　　　　　　　　２４与導入
１４　（６）（甲与乙）如（甲与丙）　５如導入
　　７（７）　　　　　　丙　　　　　仮定
１　７（８）　　　　　　　甲与丙　　２７与導入
１　７（９）（甲与乙）如（甲与丙）　８如導入
１　　（ア）（甲与乙）如（甲与丙）　１４６７９如除去
（ⅱ）
１　　（１）（甲与乙）如（甲与丙）　１４６７９如除去
　２　（２）　甲与乙　　　　　　　　仮定
　２　（３）　甲　　　　　　　　　　２与除去
　２　（４）　　　乙　　　　　　　　２与除去
　２　（５）　　　乙如丙　　　　　　４如導入
　２　（６）甲与（乙如丙）　　　　　３５与導入
　　７（７）　　　　　　　甲与丙　　仮定
　　７（８）　　　　　　　甲　　　　７与除去
　　７（９）　　　　　　　　　丙　　７与除去
　　７（ア）　　　　　　　乙如丙　　９如導入
　　７（イ）　　　　甲与（乙如丙）　８ア与導入
１　　（ウ）甲与（乙如丙）　　　　　１２６７イ如除去
（ⅲ）
１　　（１）　甲如（乙与丙）　　　　仮定
　２　（２）　甲　　　　　　　　　　仮定
　２　（３）　甲如乙　　　　　　　　２如導入
　２　（４）　甲如丙　　　　　　　　３如導入
　２　（５）（甲如乙）与（甲如丙）　３４与導入
　　６（６）　　　　乙与丙　　　　　仮定
　　６（７）　　　　乙　　　　　　　６与除去
　　６（８）　　甲如乙　　　　　　　７如導入
　　６（９）　　　　　　丙　　　　　６与除去
　　６（ア）　　　　甲如丙　　　　　９如導入
　　６（イ）（甲如乙）与（甲如丙）　８ア与導入
１　　（ウ）（甲如乙）与（甲如丙）　１２５６イ如除去
（ⅳ）
１　　（１）　（甲如乙）与（甲如丙）　仮定
１　　（２）　（甲如乙）　　　　　　　１与除去
１　　（３）不不甲如乙　　　　　　　　２二重否定
１　　（４）　不甲則乙　　　　　　　　３含意の定義
１　　（５）　　　　　　　　甲如丙　　１与除去
１　　（６）　　　　　　不不甲如丙　　５二重否定
１　　（７）　　　　　　　不甲則丙　　６含意の定義
　８　（８）　不甲　　　　　　　　　　仮定
１８　（９）　　　　乙　　　　　　　　４８肯定肯定式
１８　（ア）　　　　　　　　　　丙　　７８肯定肯定式
１８　（イ）　　　　乙与丙　　　　　　９ア与導入
１　　（ウ）　不甲則（乙与丙）　　　　８イ肯定肯定式
１　　（エ）不不甲如（乙与丙）　　　　ウ含意の定義
１　　（カ）　　甲如（乙与丙）　　　　エ二重否定
従って、
（04）により、
（05）
① 甲与（乙如丙）
②（甲与乙）如（甲与丙）
③ 甲如（乙与丙）
④（甲如乙）与（甲如丙）
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（05）により、
（06）
（ｃ）甲与（乙如丙）┤├（甲与乙）如（甲与丙）
（ｄ）甲如（乙与丙）┤├（甲如乙）与（甲如丙）
といふ「連式」、すなはち、
（ｃ）分配の法則
（ｄ）分配の法則
は、「妥当」である。
令和０３年１１月０３日、毛利太。