確率の自主練習問題（二つのダイスのパラドックス）。

― 昨日（令和４年４月１９日）の記事を書き直します。―
（01）
［問題］「２つのサイコロ、ＡとＢを、同時に投げた時に、少なくとも一つの目が、４になる確率」を求めよ。
（02）
①Ａを１回投げたとき、Ａが４になる確率は、１/６。
②Ａを２回投げたとき、Ａが４になる確率は、２/６。
③Ａを３回投げたとき、Ａが４になる確率は、３/６。
④Ａを４回投げたとき、Ａが４になる確率は、４/６。
⑤Ａを５回投げたとき、Ａが４になる確率は、５/６。
⑥Ａを６回投げたとき、Ａが４になる確率は、６/６。
であって、尚且つ、
①Ｂを１回投げたとき、Ａが４になる確率は、１/６。
②Ｂを２回投げたとき、Ａが４になる確率は、２/６。
③Ｂを３回投げたとき、Ａが４になる確率は、３/６。
④Ｂを４回投げたとき、Ａが４になる確率は、４/６。
⑤Ｂを５回投げたとき、Ａが４になる確率は、５/６。
⑥Ｂを６回投げたとき、Ａが４になる確率は、６/６。
であるとする。
従って、
（02）により、
（03）
①Ａを投げて、
②Ｂを投げる。
といふことは、
①Ａ（またはＢ）を２回投げることに、「等しく」、
②Ｂ（またはＡ）を２回投げることに、「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
①Ａを投げて、
②Ｂを投げるならば、少なくとも一方が４になる確率は、２/６である。
従って、
（04）により、
（05）
［問題］「２つのサイコロ、ＡとＢを、同時に投げた時に、少なくとも一つの目が、４になる確率」を求めよ。
に対する〔答へ〕は、
２/６＝１/３
であるならば、「普通」である。
然るに、
（06）
１１　１２　１３　１４　１５　１６
２１　２２　２３　２４　２５　２６
３１　３２　３３　３４　３５　３６
４１　４２　４３　４４　４５　４６
５１　５２　５３　５４　５５　５６
６１　６２　６３　６４　６５　６６
従って、
（02）（06）により、
（07）
ＡとＢを、同時に投げた時、（６×６＝３６）回に１回、
ＡとＢは、両方とも、４になる。
従って、
（06）（07）により、
（08）
３６回中、２５回は、
Ａは４以外（１、２、３、５、６）で、
Ｂも４以外（１、２、３、５、６）である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　　　（１）　（～Ａ４→　Ｂ４）＆
　　　　　　　　（～Ｂ４→　Ａ４）　　Ａ
　２　　（２）　　～Ａ４＆～Ｂ４　　　Ａ
１　　　（３）　　～Ａ４→　Ｂ４　　　１＆Ｅ
　２　　（４）　　～Ａ４　　　　　　　２＆Ｅ
１２　　（５）　　　　　　　Ｂ４　　　３４ＭＰＰ
　２　　（６）　　　　　　～Ｂ４　　　２＆Ｅ
１２　　（７）　　　Ｂ４＆～Ｂ４　　　５６＆Ｉ
１　　　（８）～（～Ａ４＆～Ｂ４）　　２７ＲＡＡ
（ⅱ）
１　　　（１）～（～Ａ４＆～Ｂ４）　　Ａ
　２　　（２）　　～Ａ４　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　　　　～Ｂ４　　　Ａ
　２３　（４）　　～Ａ４＆～Ｂ４　　　２３＆Ｉ
１２３　（５）～（～Ａ４＆～Ｂ４）＆
　　　　　　　　（～Ａ４＆～Ｂ４）　　１４＆Ｉ
１２　　（６）　　　　　～～Ｂ４　　　３５ＲＡＡ
１２　　（７）　　　　　　　Ｂ４　　　６ＤＮ
１　　　（８）　　～Ａ４→　Ｂ４　　　２７ＣＰ
　　　９（９）　　　　　　～Ｂ４　　　Ａ
１　　９（ア）　～～Ａ４　　　　　　　８９ＭＴＴ
１　　９（イ）　　　Ａ４　　　　　　　アＤＮ
１　　　（ウ）　　～Ｂ４→　Ａ４　　　９イＣＰ
１　　　（エ）　（～Ａ４→Ｂ４）＆
　　　　　　　　（～Ｂ４→Ａ４）　　　８イ＆Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
①　 （～Ａ４→　Ｂ４）＆（～Ｂ４→Ａ４）
② ～（～Ａ４＆～Ｂ４）
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
①　Ａが４でないならば、Ｂは４であり、Ｂが４でないならば、Ａは４である。
②（Ａが４でなく、その上、Ｂも４でない）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
① Ａが４でないならば、Ｂは４であり、Ｂが４でないならば、Ａは４である。
といふことは、
① ＡとＢの、少なくとも一方は４である。
といふことである。
従って、
（11）（12）により、
（13）
①  ＡとＢの、少なくとも一方は４である。
②（Ａが４でなく、その上、Ｂも４でない）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（13）により、
（14）
①  ＡとＢの、少なくとも一方は４である。
②（Ａが４以外であり、その上、Ｂも４である）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（14）により、
（15）
①  ＡとＢの、少なくとも一方は４である。
②｛Ａが４以外（１、２、３、５、６）であり、その上、Ｂも４以外（１、２、３、５、６）である｝といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（06）（07）（08）（15）により、
（16）
Ａは４以外（１、２、３、５、６）で、
Ｂも４以外（１、２、３、５、６）である所の、
３６回から、２５回を「引き算」して、
３６回で「割り算」した、「１１/３５≒０.３０５５５」といふ「値」が、
［問題］「２つのサイコロ、ＡとＢを、同時に投げた時に、少なくとも一つの目が、４になる確率」を求めよ。
といふ［問題］の、〔答へ〕である。
従って、
（05）（16）により、
（17）
［問題］「２つのサイコロ、ＡとＢを、同時に投げた時に、少なくとも一つの目が、４になる確率」を求めよ。
に対する〔答へ〕は、
１２/３６≒０.３３３３３３
であるならば、「普通」であるが、
１１/３６≒０.３０５５５５
でなければ、ならない。
然るに、
（18）
Ａ＝４
Ｂ＝４
であるとき、 Ａだけを投げても、あるいは、４が出たかも知れないし、
Ｂだけをなげても、あるいは、４が出たかも知れない。
といふことからすれば、
① ＡとＢを同時に投げたときに、少なくとも一方が４である確率。
② Ａだけを投げたときに、Ａが４である確率と、Ｂだけを投げたときに、Ｂが４である確率の和。
に於いて、
②－①＝１/３６＞０
である。といふことは、分からないでもない。
然るに、
（19）
２つのサイコロ、ＡとＢを、「同時」に投げたとしても、
Ａの目が「確定」した「時間」と、
Ｂの目が「確定」した「時間」が、「（文字通リに）同時刻」である。
といふことは、「物理的」には、「不可能」である。
（20）
Ａの目が「確定」した「０.０００００００００１秒後」に、
Ｂの目が「確定」したとしてしも、「量子力学的（？）」には、「同時刻」であるとは、言えない。
従って、
（19）（20）により、
（21）
２つのサイコロ、ＡとＢを、「同時」に投げたとしても、「物理学的（？）」には、
Ａを先に投げた「結果」と「一致」しなければ、「不自然」であり、
Ｂを先に投げた「結果」と「一致」しなければ、「不自然」である。
従って、
（17）～（21）により、
（22）
［問題］「２つのサイコロ、ＡとＢを、同時に投げた時に、少なくとも一つの目が、４になる確率」を求めよ。
といふ［問題］の〔答え〕は、
［問題］「サイコロＡを投げた０.０００００００００１秒後に、サイコロＢを投げた際に、少なくとも一つの目が、４になる確率」を求めよ。
といふ［問題］の〔答え〕と、「同じ」にならなければならない。
然るに、
（04）により、
（23）
もう一度、確認すると、
①Ａを投げて、
②Ｂを投げるならば、少なくとも一方が４になる確率は、２/６＝１/３≒０.３３３３３３ である。
従って、
（23）により、
（24）
①Ａを投げた、０.０００００００００１秒後に、
②Ｂを投げるならば、少なくとも一方が４になる確率は、２/６＝１/３≒０.３３３３３３ である。
然るに、
（17）により、
（25）
［問題］「２つのサイコロ、ＡとＢを、同時に投げた時に、少なくとも一つの目が、４になる確率」を求めよ。
に対する〔答へ〕は、
１１/３６≒０.３０５５５５
である。
然るに、
（26）
①Ａを投げた、０.０００００００００１秒後に、
②Ｂを投げる。
といふことを、「普通」は、
①Ａを投げると「同時」に、
②Ｂを投げる。
と言ふ。
従って、
（24）（25）（26）により、
（27）
［問題］「２つのサイコロ、ＡとＢを、同時に投げた時に、少なくとも一つの目が、４になる確率」を求めよ。
に対する〔答へ〕は、
１１/３６≒０.３０５５５５
であって、尚且つ、
１２/３６≒０.３３３３３３
であるが、もちろん、このことは、「矛盾」である。
（28）
その辺のところ（矛盾）を、物理学者の皆さんは、どのやうに考へてゐるのだらう。
と、私には、思へてならない。
令和０４年０４月２０日、毛利太。