「∃ｘ（存在）と∀ｙ（全て）」について。

（01）
『結論』として、
① 　∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→  愛ｙｘ）｝
② 　∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆  愛ｘｙ）｝
③ ～∀ｘ｛少女ｘ→∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙｘ）｝
④ ～∃ｘ｛少年ｘ＆∀ｙ（少女ｙ→～愛ｘｙ）｝
に於いて、従って、
① 少女為_二全少年所_一レ愛　（全ての少年によって、愛される所の少女が存在する）。
② 少年皆有_二其所_レ愛少女_一（どのやうな少年であっても、愛する所の少女がゐる）。
③（どのやうな少女であっても、彼女を愛さない少年がゐる）といふわけではない。
④（どのやうな少女をも、愛さない）といふ、そのやうな少年は存在しない。
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
（02）
（34）すべての少年はある少女を愛する。
この文には多義性が含まれていることが知られている。これは、
（ⅰ）すべての少年に愛されるあるひとりの（非常に幸運な）少女が存在する。
という意味かも知れないし、あるいは、
（ⅱ）すべての少年に対して、彼が愛する（さいわいに別々の）少女が見つかる。
という意味かも知れない。
（34）Every boy loves a certain girl.
We detect here ambiguity: this measn（ⅰ）that there is someone（very fortunate）girl who is loved by every boy;
or（ⅱ）that for every boy there can be found some（with luck,different）girl whom he loves.
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳 と原文、1973年、１２７頁）
然るに、
（03）
｛少年の集合｝＝｛ｄ，ｅ，ｆ｝
であるとして、
①｛少女ａ＆（少年ｄ→愛ｄａ＆少年ｅ→愛ｅａ＆少年ｆ→愛ｆａ）｝⇔
①｛ａは少女であって、（ｄが少年であるならばｄはａを愛してゐて、ｅが少年であるならばｅはａを愛してゐて、ｆが少年であるならばｆはａを愛してゐる）｝。
とするならば、
① 少女ａは、すべての少年（ｄ，ｅ，ｆ）によって、愛されている。
従って、
（03）により、
（04）
｛少女の集合｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
①｛少女ａ＆（少年ｄ→愛ｄａ＆少年ｅ→愛ｅａ＆少年ｆ→愛ｆａ）｝∨
①｛少女ｂ＆（少年ｄ→愛ｄｂ＆少年ｅ→愛ｅｂ＆少年ｆ→愛ｆｂ）｝∨
①｛少女ｃ＆（少年ｄ→愛ｄｃ＆少年ｅ→愛ｅｃ＆少年ｆ→愛ｆｃ）｝．
とするならば、すなはち、
①｛ａは少女であって、（ｄが少年であるならばｄはａを愛してゐて、ｅが少年であるならばｅはａを愛してゐて、ｆが少年であるならばｆはａを愛してゐる）｝か、または、
①｛ｂは少女であって、（ｄが少年であるならばｄはｂを愛してゐて、ｅが少年であるならばｅはｂを愛してゐて、ｆが少年であるならばｆはｂを愛してゐる）｝か、または、
①｛ｃは少女であって、（ｄが少年であるならばｄはｃを愛してゐて、ｅが少年であるならばｅはｃを愛してゐて、ｆが少年であるならばｆはｃを愛してゐる）｝。
とするならば、
｛少女の集合（ａ，ｂ，ｃ）｝の中の、少なくとも１人が、
｛少年の集合（ｄ，ｅ，ｆ）｝の中の、全員から「愛されてゐる」。
といふことになる。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）すべての少年に愛されるあるひとりの（非常に幸運な）少女が存在する。
といふのであれば、その場合は、
①｛少女ａ＆（少年ｄ→愛ｄａ＆少年ｅ→愛ｅａ＆少年ｆ→愛ｆａ）｝∨
①｛少女ｂ＆（少年ｄ→愛ｄｂ＆少年ｅ→愛ｅｂ＆少年ｆ→愛ｆｂ）｝∨
①｛少女ｃ＆（少年ｄ→愛ｄｃ＆少年ｅ→愛ｅｃ＆少年ｆ→愛ｆｃ）｝．
である。
然るに、
（06）
②｛少年ｄ→（少女ａ＆愛ｄａ）∨（少女ｂ＆愛ｄｂ）∨（少女ｃ＆愛ｄｃ）｝＆
②｛少年ｅ→（少女ａ＆愛ｅａ）∨（少女ｂ＆愛ｅｂ）∨（少女ｃ＆愛ｅｃ）｝＆
②｛少年ｆ→（少女ａ＆愛ｆａ）∨（少女ｂ＆愛ｆｂ）∨（少女ｃ＆愛ｆｃ）｝．
とするならば、すなはち、
②｛ｄが少年であるならば、（ａは少女であって、ｄはａを愛するか、または、ｂは少女であって、ｄはｂを愛するか、または、ｃは少女であって、ｄはｃを愛し）｝、その上、
②｛ｅが少年であるならば、（ａは少女であって、ｅはａを愛するか、または、ｂは少女であって、ｅはｂを愛するか、または、ｃは少女であって、ｅはｃを愛し）｝、その上、
②｛ｆが少年であるならば、（ａは少女であって、ｆはａを愛するか、または、ｂは少女であって、ｆはｂを愛するか、または、ｃは少女であって、ｆはｃを愛す）｝。
とするならば、
｛少年の集合（ｄ，ｅ，ｆ）｝の全員が、
｛少女の集合（ａ，ｂ，ｃ）｝の中の、少なくとも１人を愛してゐる。
といふことになる。
従って、
（02）～（06）により、
（07）
（34）Every boy loves a certain girl.
（34）すべての少年はある少女を愛する。
といふ「命題」は、
（ⅰ）すべての少年に愛されるあるひとりの（非常に幸運な）少女が存在する。
（ⅱ）すべての少年に対して、彼が愛する（さいわい別々の）少女が見つかる。
に於いて、
（ⅰ）であれば、
①｛少女ａ＆（少年ｄ→愛ｄａ＆少年ｅ→愛ｅａ＆少年ｆ→愛ｆａ）｝∨｛少女ｂ＆（少年ｄ→愛ｄｂ＆少年ｅ→愛ｅｂ＆少年ｆ→愛ｆｂ）｝∨｛少女ｃ＆（少年ｄ→愛ｄｃ＆少年ｅ→愛ｅｃ＆少年ｆ→愛ｆｃ）｝．
といふ風に、書くこと出来、
（ⅱ）であれば、
②｛少年ｄ→（少女ａ＆愛ｄａ）∨（少女ｂ＆愛ｄｂ）∨（少女ｃ＆愛ｄｃ）｝＆｛少年ｅ→（少女ａ＆愛ｅａ）∨（少女ｂ＆愛ｅｂ）∨（少女ｃ＆愛ｅｃ）｝＆｛少年ｆ→（少女ａ＆愛ｆａ）∨（少女ｂ＆愛ｆｂ）∨（少女ｃ＆愛ｆｃ）｝．
といふ風に、書くこと出来る。
然るに、
（08）
①｛少女ａ＆（少年ｄ→愛ｄａ＆少年ｅ→愛ｅａ＆少年ｆ→愛ｆａ）｝∨｛少女ｂ＆（少年ｄ→愛ｄｂ＆少年ｅ→愛ｅｂ＆少年ｆ→愛ｆｂ）｝∨｛少女ｃ＆（少年ｄ→愛ｄｃ＆少年ｅ→愛ｅｃ＆少年ｆ→愛ｆｃ）｝．
②｛少年ｄ→（少女ａ＆愛ｄａ）∨（少女ｂ＆愛ｄｂ）∨（少女ｃ＆愛ｄｃ）｝＆｛少年ｅ→（少女ａ＆愛ｅａ）∨（少女ｂ＆愛ｅｂ）∨（少女ｃ＆愛ｅｃ）｝＆｛少年ｆ→（少女ａ＆愛ｆａ）∨（少女ｂ＆愛ｆｂ）∨（少女ｃ＆愛ｆｃ）｝．
は、それぞれ、
① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
といふ風に、書くこと出来る。
従って、
（02）～（08）により、
（09）
①（Every boy loves a certain girl）ではない。
②（Every boy loves a certain girl）ではない。
といふ「否定命題」は、
① ～∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
② ～∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝
といふ風に、書くこと出来る。
然るに、
（10）
（ａ）
１　　（１）～∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝　Ａ
１　　（２）∀ｘ～｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝　１量化子の関係
１　　（３）　　～｛少女ａ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）｝　１ＵＥ
１　　（４）　　～少女ａ∨～∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　　３ド・モルガンの法則
　２　（５）　　　　　　　～∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　　Ａ
　２　（６）　　　　　　　∃ｙ～（少年ｙ→愛ｙａ）　　５量化子の関係
　２　（７）　　　　　　　　　～（少年ｂ→愛ｂａ）　　Ａ
　２　（８）　　　　　　　　～（～少年ｂ∨愛ｂａ）　　７含意の定義
　２　（９）　　　　　　　　　　少年ｂ＆～愛ｂａ　　　８ド・モルガンの法則
　２　（ア）　　　　　　　∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙａ）　　９ＥＩ
　２　（イ）　　～少女ａ∨∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙａ）　　ア∨Ｉ
　　ウ（ウ）　　～少女ａ　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　ウ（エ）　　～少女ａ∨∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙａ）　　ウ∨Ｉ
１　　（オ）　　～少女ａ∨∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙａ）　　１２イウエ∨Ｅ
１　　（カ）　　　少女ａ→∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙａ）　　オ含意の定義
１　　（キ）∀ｘ｛少女ｘ→∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙｘ）｝　カＵＩ
（ｂ）
１　　　（１）∀ｘ｛少女ｘ→∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙｘ）｝　Ａ
１　　　（２）　　　少女ａ→∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙａ）　　１ＵＥ
１　　　（３）　　～少女ａ∨∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙａ）　　２含意の定義
　４　　（４）　　　　　　　∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙａ）　　Ａ
　　５　（５）　　　　　　　　　　少年ｂ＆～愛ｂａ　　　Ａ
　　５　（６）　　　　　　　～（～少年ｂ∨　愛ｂａ）　　５ド・モルガンの法則
　　５　（７）　　　　　　　　～（少年ｂ→　愛ｂａ）　　６含意の定義
　　５　（８）　　　　　　∃ｙ～（少年ｙ→　愛ｙａ）　　７ＥＩ
　４　　（９）　　　　　　∃ｙ～（少年ｙ→　愛ｙａ）　　４５８ＥＥ
　４　　（ア）　　　　　　～∀ｙ（少年ｙ→　愛ｙａ）　　９量化子の関係
　４　　（イ）　～少女ａ∨～∀ｙ（少年ｙ→　愛ｙａ）　　ア∨Ｉ
　　　ウ（ウ）　～少女ａ　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　　　ウ（エ）　　～少女ａ∨～∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　　ウ∨Ｉ
１　　　（オ）　　～少女ａ∨～∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ）　　１４イウエ∨Ｅ
１　　　（カ）∀ｘ～｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝　オＵＩ
１　　　（キ）～∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝　カ量化子の関係
（11）
（ｃ）
１　（１）～∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝　Ａ
１　（２）∃ｘ～｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝　１量化子の関係
　３（３）　　～｛少年ａ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ａｙ）｝　Ａ
　３（４）　～｛～少年ａ∨∃ｙ（少女ｙ＆愛ａｙ）｝　３含意の定義
　３（５）　　　少年ａ＆～∃ｙ（少女ｙ＆愛ａｙ）　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　　　少年ａ　　　　　　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　３（７）　　　　　　　～∃ｙ（少女ｙ＆愛ａｙ）　　６＆Ｅ
　３（８）　　　　　　　∀ｙ～（少女ｙ＆愛ａｙ）　　７量化子の関係
　３（９）　　　　　　　　　～（少女ｂ＆愛ａｂ）　　８ＵＥ
　３（ア）　　　　　　　　　～少女ｂ∨～愛ａｂ　　　９ド・モルガンの法則
　３（イ）　　　　　　　　　　少女ｂ→～愛ａｂ　　　ア含意の定義
　３（ウ）　　　　　　　∀ｙ（少女ｙ→～愛ａｙ）　　イＵＩ
　３（エ）　　　少年ａ＆∀ｙ（少女ｙ→～愛ａｙ）　　６ウ＆Ｉ
　３（オ）∃ｘ｛少年ｘ＆∀ｙ（少女ｙ→～愛ｘｙ）｝　エＥＩ
１　（カ）∃ｘ｛少年ｘ＆∀ｙ（少女ｙ→～愛ｘｙ）｝　１３オＥＥ
（ｄ）
１　（１）　∃ｘ｛少年ｘ＆∀ｙ（少女ｙ→～愛ｘｙ｝　Ａ
　２（２）　　　　少年ａ＆∀ｙ（少女ｙ→～愛ａｙ）　Ａ
　２（３）　　　　少年ａ　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２（４）　　　　　　　　∀ｙ（少女ｙ→～愛ａｙ　　２＆Ｅ
　２（５）　　　　　　　　　　　少女ｂ→～愛ａｂ　　４ＵＥ
　２（６）　　　　　　　　　　～少女ｂ∨～愛ａｂ　　５含意の定義
　２（７）　　　　　　　　　　～（少女ｂ＆愛ａｂ）　６ド・モルガンの法則
　２（８）　　　　　　　　∀ｙ～（少女ｂ＆愛ａｂ）　７ＵＩ
　２（９）　　　　　　　　～∃ｙ（少女ｂ＆愛ａｂ）　８量化子の関係
　２（ア）　　　　少年ａ＆～∃ｙ（少女ｂ＆愛ａｂ）　３９＆Ｉ
　２（イ）　～｛～少年ａ∨∃ｙ（少女ｙ＆愛ａｙ）｝　ア、ド・モルガンの法則
　２（ウ）　　～｛少年ａ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ａｙ）｝　イ含意の定義
　２（エ）∃ｘ～｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝　ウＥＩ
１　（オ）∃ｘ～｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝　１２エＥＥ
１　（カ）～∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆愛ｘｙ）｝　オ量化子の関係
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
① ～∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→  愛ｙｘ）｝
② ～∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆  愛ｘｙ）｝
③ 　∀ｘ｛少女ｘ→∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙｘ）｝
④　 ∃ｘ｛少年ｘ＆∀ｙ（少女ｙ→～愛ｘｙ）｝
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
従って、
（12）により、
（13）
① ～～∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→  愛ｙｘ）｝
② ～～∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆  愛ｘｙ）｝
③ 　～∀ｘ｛少女ｘ→∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙｘ）｝
④　 ～∃ｘ｛少年ｘ＆∀ｙ（少女ｙ→～愛ｘｙ）｝
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
従って、
（13）により、
（14）
「二重否定（ＤＮ）」により、
① 　∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→  愛ｙｘ）｝
② 　∀ｘ｛少年ｘ→∃ｙ（少女ｙ＆  愛ｘｙ）｝
③ ～∀ｘ｛少女ｘ→∃ｙ（少年ｙ＆～愛ｙｘ）｝
④ ～∃ｘ｛少年ｘ＆∀ｙ（少女ｙ→～愛ｘｙ）｝
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
①  全ての少年によって、愛される所の少女が存在する。
②  どのやうな少年であっても、愛する所の少女がゐる。
③（どのやうな少女であっても、彼女を愛さない少年がゐる）といふわけではない。
④（どのやうな少女をも、愛さない）といふ、そのやうな少年は存在しない。
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
令和０４年０４月３０日、毛利太。