「ド・モルガンの法則」と「ならば（→）」。

―「先程（令和０３年０１月１１日）」の記事を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１　　　（１）　　～Ｐ∨Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　７イ＆Ｉ
１２　　（エ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１ウ＆Ｉ
１　　　（オ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　２エＲＡＡ
１　　　（カ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① 　～Ｐ∨　Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（02）により、
（03）
「日本語」で言ふと、
① Ｐでないか、または、Ｑである。
② Ｐであって、尚且つ、Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（04） （ⅱ）
１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
（ⅲ）
１　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２　（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２　（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２　（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２　（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ 　　Ｐ→　Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
「日本語」で言ふと、
② Ｐであって、尚且つ、Ｑでない。といふことはない。
③ Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① 　～Ｐ∨　Ｑ　≡　Ｐでないか、または、Ｑである。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない）といふことはない。
③ 　　Ｐ→　Ｑ　≡　Ｐであるならば、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③ であって、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（07）により、
（08）
①　２は奇数でないか、または、明日は雪である。
②（２が奇数であって、明日が雪でない）といふことはない。
③　２が奇数であるならば、明日は雪である。
に於いて、
①＝②＝③ であって、
①＝② は、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（09）
④ 明日が雪であらうと、雪でなからうと、２は奇数でない。
従って、
（10）
③「２が奇数でない」ことと、
④「明日が雪である」こととは、「関係」が無い。
従って、
（10）により、
（11）
③ ２が奇数であるならば、明日は雪である。
といふ「仮言命題」は、「普通」ではなく、「変」である。
然るに、
（12）
① ２は偶数である。
といふ「命題」は、「真」である。
従って、
（12）により、
（13）
① ２は偶数であるか、または、明日は雪である。
といふ「選言命題」は、「真」である。
然るに、
（14）
① ２は奇数でないか、または、明日は雪である。
といふことは、
① ２は偶数であるか、または、明日は雪である。
といふことに、他ならない。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① ２は奇数でないか、または、明日は雪である。
といふ「選言命題」は、「真」である。
従って、
（08）（14）（15）により、
（16）
① ２は奇数でないか、または、明日は雪である。
③ ２が奇数であるならば、明日は雪である。
に於いて、
①＝③ であって、尚且つ、
① は、「真」であり、それ故、
③ も、「真」である。
従って、
（11）（16）により、
（17）
③ ２が奇数であるならば、明日は雪である。
といふ「仮言命題」は、「変」であるが、「真」である。
然るに、
（18）
③ ２が奇数であるならば、明日は雪である。
といふ「仮言命題」は、「真」であるが、その一方で、
③ ２は奇数である。
といふ「命題」は、「偽」であって、「真」ではない。
従って、
（18）により、
（19）
③ ２が奇数であるならば、明日は雪である。
といふ「仮言命題」は、「真」であるが、
③ ２は奇数である。
といふ「命題」は、「偽」である。 が故に、
③ 明日は雪であるか、
③ 明日は雪でないかは、「不明」である。
従って、
（20）
（ⅰ）２が奇数であるならば、明日は雪である。然るに、
（ⅱ）２は奇数である（はウソである）。故に、
（ⅲ）明日は雪である。
といふ「論証」は、「健全」ではない。
然るに、
（21）
論理学が主として関心をもつのは、論証の健全性（soundness）および不健全性（unsoundness）であって、論理学は検証 ― どのような研究領域であれ ― が受け入れられるための条件を、出来るだけ正確にしめそうとするのである。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、３頁）
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
（ⅰ）２が奇数であるならば、明日は雪である。然るに、
（ⅱ）２は奇数である（はウソである）。故に、
（ⅲ）明日は雪である。
といふ「論証」は、「健全」ではない。
といふことを、「理解」してゐるのであれば、
③ ２が奇数であるならば、明日は雪である。
といふ「仮言命題」は、「変」であって、「真」であるとしても、敢へて、
③ ２が奇数であるならば、明日は雪である。
といふ「仮言命題」を、「偽」であるとする「必要」は、無い。
令和０３年０１月１１日、毛利太。