―「昨日（令和０３年０１月０４日）」の記事を書き直します。―
（01）
証明の各行の左側に、仮定を（assumptions）数字で（by number）あげる方法は、伝統的な方法にくらべて遥かに明瞭であるとわたしには思われる。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、序ⅲ改）
従って、
（01）により、
（02）
例へば、
１ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２）Ｐ Ａ
１２ （３） Ｑ １２ＭＰＰ
といふ「３行の計算」は、
Ｐ→Ｑ （１）Ｐ→Ｑ Ａ
Ｐ （２）Ｐ Ａ
Ｐ→Ｑ，Ｐ（３） Ｑ １２ＭＰＰ
といふ「３行の計算」に、「等しく」、
Ｐ→Ｑ （１）
Ｐ （２）
Ｐ→Ｑ，Ｐ（３）
は「仮定（Assumptions）」である。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
といふ「連式（Sequent）」に於いて、
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├
は「仮定（assumptions）」であって、
① ├ Ｑ
は「結論（Conclusion）」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） （～Ｐ∨Ｐ） ９ＤＮ
（ⅴ）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） Ｐ∨ Ｑ １∨Ｉ
３ （３） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
４ （４） Ｐ Ａ
３ （５） ～Ｐ ３＆Ｅ
３４ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
３ （９） ～Ｑ ３＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） ～Ｐ Ａ
オ （オ） ～Ｑ Ａ
エオ （カ） ～Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ エオ （キ） ～（～Ｐ＆～Ｑ）＆
（～Ｐ＆～Ｑ） ウカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｑ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｑ クＤＮ
１ （コ） ～Ｐ→Ｑ エケＣＰ
（サ） Ｐ→（～Ｐ→Ｑ） １コＣＰ
ス（ス） Ｐ＆ ～Ｐ Ａ
ス（セ） Ｐ ス＆Ｅ
ス（ソ） ～Ｐ→Ｑ サセＭＰＰ
ス（タ） ～Ｐ ス＆Ｅ
ス（チ） Ｑ ソタＭＰＰ
（ツ）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ スチＣＰ
（ⅵ）
（１） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ＴＩ（定理導入の規則）
２ （２） ～Ｑ Ａ
２ （３） ～（Ｐ＆～Ｐ） １２ＭＴＴ
４ （４） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
５ （５） ～Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨Ｐ ５∨Ｉ
４５ （７） ～（～Ｐ∨Ｐ）
（～Ｐ∨Ｐ）＆ ４６＆Ｉ
４ （８） ～～Ｐ ５７ＲＡＡ
４ （９） Ｐ ８ＤＮ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） ～Ｐ∨Ｐ ア∨Ｉ
４ ア（ウ） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ４イ＆Ｉ
４ （エ） ～Ｐ アウＲＡＡ
４ （オ） Ｐ＆～Ｐ ９エ＆Ｉ
２４ （カ） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） ３オ＆Ｉ
２ （キ） ～～（～Ｐ∨Ｐ） ４カＲＡＡ
２ （ク） ～Ｐ∨Ｐ キＤＮ
（ケ）～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ） ２クＣＰ
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② ├ Ｐ→ Ｐ
③ ├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ├ ～Ｐ∨ Ｐ
⑤ ├ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
⑥ ├ ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
然るに、
（05）により、
（06）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
といふ「連式」には、「仮定」が（２つ）有るが、
② ├ Ｐ→ Ｐ
③ ├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ├ ～Ｐ∨ Ｐ
⑤ ├ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
⑥ ├ ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）
といふ「連式」には、「結論」だけが有って、「仮定」が無い。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
② Ｐ→ Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
⑤ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
⑥ ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）
といふ「論理式（well-formed formulae」は、５つとも、「仮定の数が、０である所の、証明可能な連式の、結論」である。
然るに、
（08）
② Ｐ→ Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ ～Ｐ∨ Ｐ
すなはち、
② 同一律（Law of identity）
③ 矛盾律（Law of contradiction）
④ 排中律（Law of excluded middle）
等が、さうであるやうに、「恒真式（トートロジー）」とは、「仮定の数が、０である所の、証明可能な連式の、結論」である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
「番号」を付け直すと、
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② ＰであってＰでない、といふことはない（矛盾律）。
③ Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
④ ＰであってＰでない、ならば、Ｑである（爆発律）。
⑤ Ｑでないならば、Ｐでないか、または、Ｐである（爆発律の対偶）。
である所の、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
④ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
⑤ ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）
といふ「論理式」は、「恒真式（仮定の数が、０である所の、証明可能な連式の、結論）」である。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｐ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｐ １３ＭＰＰ
２（５） ～Ｐ ２＆Ｅ
１２（６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｐ） ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｐ） ２６ＣＰ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｐ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｐ ３５ＤＮ
１２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｐ ２７ＣＰ
従って、
（10）により、
（11）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｐ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ２３＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｐ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｐ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｐ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｐ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｐ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｐ オＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｐ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｐ Ａ
２ （８） ～Ｐ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｐ＆～Ｐ ７８
７（ア） ～（Ｐ＆～Ｐ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｐ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（12）により、
（13）
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（11）（13）により、
（14）
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
① 同一律（Law of identity）
② 矛盾律（Law of contradiction）
③ 排中律（Law of excluded middle）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（15）
（ⅳ）
（１） （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ＴＩ（定理導入の規則）
２ （２） ～Ｑ Ａ
２ （３） ～（Ｐ＆～Ｐ） １２ＭＴＴ
４ （４） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
５ （５） ～Ｐ Ａ
５ （６） ～Ｐ∨Ｐ ５∨Ｉ
４５ （７） ～（～Ｐ∨Ｐ）
（～Ｐ∨Ｐ）＆ ４６＆Ｉ
４ （８） ～～Ｐ ５７ＲＡＡ
４ （９） Ｐ ８ＤＮ
ア（ア） Ｐ Ａ
ア（イ） ～Ｐ∨Ｐ ア∨Ｉ
４ ア（ウ） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ４イ＆Ｉ
４ （エ） ～Ｐ アウＲＡＡ
４ （オ） Ｐ＆～Ｐ ９エ＆Ｉ
２４ （カ） ～（Ｐ＆～Ｐ）＆
（Ｐ＆～Ｐ） ３オ＆Ｉ
２ （キ） ～～（～Ｐ∨Ｐ） ４カＲＡＡ
２ （ク） ～Ｐ∨Ｐ キＤＮ
（ケ）～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ） ２クＣＰ
（ⅴ）
（１）～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ） ＴＩ（定理導入の規則）
２ （２） Ｐ＆～Ｐ Ａ
３ （３） ～Ｐ∨ Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
５ （５） ～Ｐ Ａ
２ ５ （６） Ｐ＆～Ｐ ４５＆Ｉ
５ （７） ～（Ｐ＆～Ｐ） ２６ＲＡＡ
２ （８） ～Ｐ ２＆Ｅ
９（９） Ｐ Ａ
２ ９（ア） ～Ｐ＆Ｐ ８９＆Ｉ
９（イ） ～（Ｐ＆～Ｐ） ２アＲＡＡ
３ （ウ） ～（Ｐ＆～Ｐ） ３５７９イ∨Ｅ
２３ （エ） （Ｐ＆～Ｐ）＆
～（Ｐ＆～Ｐ） ２ウ＆Ｉ
２ （オ） ～（～Ｐ∨ Ｐ） ３エＲＡＡ
（カ）～～Ｑ １オＭＴＴ
２ （キ） Ｑ カＤＮ
（ク）（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ ２キＣＰ
従って、
（15）により、
（16）
④ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
⑤ ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）
に於いて、
④＝⑤ は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（17）
（ⅴ）
１ （１） ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２ （２） ～｛Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）｝ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
３（４） Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ） ３∨Ｉ
２３（５） ～｛Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）｝＆
｛Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） （～Ｐ∨Ｐ） １６ＭＰＰ
１２ （８） Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ） ７∨Ｉ
１２ （９） ～｛Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）｝＆
｛Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）｝ ２８＆Ｉ
１ （ア）～～｛Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）｝ ２９ＲＡＡ
１ （イ） Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ） アＤＮ
（ⅵ）
１ （１） Ｑ∨ （～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２ （２） ～Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
３ （３） Ｑ Ａ
２ （４） ～Ｑ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｑ＆～Ｑ ３４＆Ｉ
３ （６）～（～Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｐ）｝ ２５ＲＡＡ
７ （７） （～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ） ２＆Ｅ
２ ７ （９） （～Ｐ∨Ｐ）＆
～（～Ｐ∨Ｐ） ７８＆Ｉ
７ （ア）～（～Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｐ）｝ ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（～Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｐ）｝ １３６７ア
ウ （ウ） ～Ｑ Ａ
エ（エ） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
ウエ（オ） ～Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｐ） ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（～Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｐ）｝＆
｛～Ｑ＆～（～Ｐ∨Ｐ）｝ イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～（～Ｐ∨Ｐ） エカＲＡＡ
１ ウ （ク） （～Ｐ∨Ｐ） キＤＮ
１ （ケ） ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ） ウクＣＰ
従って、
（17）により、
（18）
⑤ ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）
⑥ Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）
に於いて、
⑤＝⑥ は、「含意の定義」である。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
④ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
⑤ ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）
⑥ Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）
に於いて、
④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（09）（14）（19）により、
（20）
① Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
② ＰであってＰでない、といふことはない（矛盾律）。
③ Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
④ ＰであってＰでない、ならば、Ｑである（爆発律）。
⑤ Ｑでないならば、Ｐでないか、または、Ｐである（爆発律の対偶）。
⑥ Ｑであるか、または、Ｐでないか、または、Ｐである（爆発律の対偶の、含意の定義）。
である所の、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
④ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
⑤ ～Ｑ→（～Ｐ∨Ｐ）
⑥ Ｑ∨（～Ｐ∨Ｐ）
といふ「論理式」は、「恒真式」であって、尚且つ、
①＝②＝③ であって、
④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（20）により、
（21）
④ （矛盾）→Ｑ
⑤ ～Ｑ→（排中律）
といふ「論理式」は、「恒真式」であって、尚且つ、
④＝⑤ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（21）により、
（22）
④ （偽）→Ｑ
⑤ ～Ｑ→（真）
は、「真」である。
然るに、
（23）
④ Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである。）
⑤ ～Ｑ→Ｐ（Ｑでないならば、Ｐである。）
は、「仮言命題」であって、
④ Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである。）
であれば、
④ Ｐを、「前件」と言ひ、
④ Ｑを、「後件」と言ふ。
従って、
（22）（23）により、
（24）
④「仮言命題」は、「前件」が「偽」であれば、「後件」の「真偽」に拘らず、「真」あり、
⑤「仮言命題」は、「後件」が「真」であれば、「前件」の「真偽」に拘らず、「真」ある。
従って、
（20）（24）により、
（25）
④（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
④ ＰであってＰでない、ならば、Ｑである（爆発律）。
であれば、
④「前件」である、（Ｐ＆～Ｐ）が「偽（矛盾）」であるため、
④「前件」である、 Ｑは、「真（本当）」であらうと、「偽（ウソ）」であらうと、
④（Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
④ ＰであってＰでない、ならば、Ｑである（爆発律）。
といふ「仮言命題」自体は、「恒に、真」である。
従って、
（25）により、
（26）
例へば、
④（太陽が東から昇り、太陽が西から昇る）のであれば、バカボンのパパは天才である。
がさうである所の、「爆発律」の場合は、
④（バカボンのパパは天才である）。
といふことと、「無関係」に、
④「仮言命題」自体は、「恒真（トートロジー）」である。
ｃｆ.
「関連性の誤謬（Relevance fallacy）」
然るに、
（20）により、
（27）
② ＰであってＰでない、といふことはない（矛盾律）。
④ ＰであってＰでない、ならば、Ｑである（爆発律）。
である所の、
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
④ （Ｐ＆～Ｐ）→Ｑ
の場合は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（27）により、
（28）
（ⅰ）ＰであってＰでない、ならば、Ｑである（爆発律）。然るに、
（ⅱ）ＰであってＰでない、といふことはない（矛盾律）。従って、
（ⅲ）Ｑであるか、Ｑでないかは、「不明」である。
従って、
（26）（27）により、
（28）
（ⅰ）（太陽が東から昇り、太陽が西から昇る）のであれば、バカボンのパパは天才である（爆発律）。然るに、
（ⅱ）（太陽が東から昇り、太陽が西から昇る）といふことはない（矛盾律）。従って、
（ⅲ）バカボンのパパが、天才であるかどうかは、「不明」である。
令和０３年０１月０５日、毛利太、
0 件のコメント:
コメントを投稿