「ド・モルガンの法則」と「グー・チョキ・パー」。

（01）
　―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１　　　（１）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　３　（４）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　３∨Ｉ
　２３　（５）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　２４＆Ｉ
　２　　（６）　　～～Ｐ　　　　　　３５ＲＡＡ
　２　　（７）　　　　Ｐ　　　　　　６ＤＮ
　　　８（８）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　８（９）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　８∨Ｉ
　２　８（ア）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　２９＆Ｉ
　２　　（イ）　　　　　～～Ｑ　　　８アＲＡＡ
　２　　（ウ）　　　　　　　Ｑ　　　イＤＮ
　２　　（エ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　７ウ＆Ｉ
１２　　（オ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　　１エ＆Ｉ
１　　　（カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　２オＲＡＡ
１　　　（キ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カＤＮ
（ⅱ）
１　　　（１）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　（３）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（４）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　（８）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７（９）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　（イ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである）といふことはない。
②  ～Ｐ∨～Ｑ　≡　Ｐでないか、または、Ｑでない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１　　（１）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆Ｒ｝　　Ａ
１　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ　　　１ド・モルガンの法則
　３　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　　～Ｒ　　　Ａ
　　６（７）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ　　６∨Ｉ
１　　（８）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ　　１３５６７∨Ｅ
１　　（９）　～Ｐ∨～Ｑ　∨～Ｒ　　８結合法則
（ⅳ）
１　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　∨～Ｒ　　Ａ
１　　（２）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ　　１結合法則
　３　（３）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　Ａ
　３　（４）　～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　（５）　～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ　　４∨Ｉ
　  ６（６）　　　　　　　　～Ｒ　　Ａ
　　６（７）　～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ　　６∨Ｉ
１　　（８）　～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ　　１３５６７∨Ｅ
１　　（９）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆Ｒ｝　　６ド・モルガンの法則
従って、
（03）により、
（04）
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆Ｒ｝≡｛（Ｐであって、その上、Ｑであって、）その上、Ｒである｝といふことはない。
④   ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ　≡　　Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない。
に於いて、
③＝④ である。
（05）
（ａ）～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）
であれば、
（ｂ）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ｝
であるか、
（ｃ）～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝
であるかの、いづれかである。
然るに、
（06）
（ⅴ）
１（１）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ｝　Ａ
１（２）　～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　１ド・モルガンの法則
１（３）　～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２＆Ｅ
１（４）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　３ド・モルガンの法則
１（５）　　　　　　　　～Ｒ　　２＆Ｅ
１（６）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　４５＆Ｅ
（ⅵ）
１（１）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　　Ａ
１（２）（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　１＆Ｅ
１（３）　～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　２ド・モルガンの法則
１（４）　　　　　　　　～Ｒ　　１＆Ｅ
１（５）　～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ　　３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ｝　５ド・モルガンの法則
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨　Ｒ｝≡｛（Ｐであって、その上、Ｑであるか、）または、Ｒである｝といふことはない。
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ　≡　（Ｐでないか、または、Ｑでなくて、）その上、Ｒではない。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
（08）
（ⅶ）
１　　（１）～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝　Ａ
１　　（２）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）　　１ド・モルガンの法則
　３　（３）～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　３　（４）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　３∨Ｉ
　　５（５）　　　～（Ｑ∨Ｒ）　　Ａ
　　５（６）　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　５ド・モルガンの法則
　　５（７）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　６∨Ｉ
１　　（８）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　１３４５７∨Ｅ
（ⅷ）
１　　（１）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　Ａ
　２　（２）～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　２　（３）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）　　２∨Ｉ
　　４（４）　　　（～Ｑ＆～Ｒ）　Ａ
　　４（５）　　　～（Ｑ∨Ｒ）　　４ド・モルガンの法則
　　４（６）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）　　４∨I
１　　（７）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ）　　１２３４６∨Ｅ
１　　（８）～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝　７ド・モルガンの法則
従って、
（08）により、
（09）
⑦ ～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝≡｛Ｐであって、その上、（Ｑであるか、または、Ｒである）｝といふことはない。
⑧ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ≡　Ｐでないか、または、（Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
に於いて、
⑦＝⑧ である。
然るに、
（09）により、
（10）
「含意の定義」により、
⑧ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）　≡　Ｐでないか、または、（Ｑでなくて、その上、Ｑでない）。
⑨   Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）　≡　Ｐであるならば、　　（Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
に於いて、
⑧＝⑨ である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
⑦ ～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝≡｛Ｐであって、その上、（Ｑであるか、または、Ｒである）｝といふことはない。
⑨  Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）　≡　Ｐであるならば、　　（Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
に於いて、
⑦＝⑨ である。
然るに、
（12）
（ⅸ）
１　（１）　Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）　Ａ
　２（２）　　　　　Ｑ∨　Ｒ　　Ａ
　２（３）　　～（～Ｑ＆～Ｒ）　２ド・モルガンの法則
１２（４）～Ｐ　　　　　　　　　１３ＭＴＴ
１　（５）　（Ｑ∨Ｒ）→～Ｐ　　２４ＣＰ
（ⅹ）
１　（１）　（Ｑ∨Ｒ）→～Ｐ　　Ａ
　２（２）　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　２（３）　　　　　　～～Ｐ　　２ＤＮ
１２（４）～（Ｑ∨Ｒ）　　　　　１３ＭＴＴ
１２（５）（～Ｑ＆～Ｒ）　　　　４ド・モルガンの法則
１　（６）　Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）　２５ＣＰ
従って、
（12）により、
（13）
⑨ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）≡　Ｐであるならば、（Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
⑩ （Ｑ∨Ｒ）→～Ｐ　≡（Ｑであるか、または、Ｒである）ならば、Ｐでない。
に於いて、
⑨＝⑩ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
⑦ ～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝≡｛Ｐであって、その上、（Ｑであるか、または、Ｒである）｝といふことはない。
⑨  Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）　≡　Ｐであるならば、　　（Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
⑩　（Ｑ∨Ｒ）→～Ｐ　　≡（Ｑであるか、または、Ｒである）ならば、Ｐでない。
に於いて、
⑦＝⑨＝⑩ である。
従って、
（14）により、
（15）
「番号」を付け直すと、
①｛Ｐであって、その上、（Ｑであるか、または、Ｒである）｝といふことはない。
②  Ｐであるならば、　　（Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
③（Ｑであるか、または、Ｒである）ならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（15）により、
（16）
例へば、
Ｐ＝グー　である。
Ｑ＝チョキである。
Ｒ＝パー　である。
とするならば、
①｛グーであって、その上、（チョキであるか、または、パーである）｝といふことはない。
②  グーであるならば、　　（チョキでなくて、その上、パーでない）。
③（チョキであるか、または、パーである）ならば、グーでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
令和０３年０１月１８日、毛利太。