「同一律」と「排中律」と「冪等律」。

　―「昨日（令和０３年０１月３０日）の記事」を書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１　　（１）　　　　Ｐ→Ｐ　　Ａ
　２　（２）　～（～Ｐ∨Ｐ）　Ａ
　　３（３）　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　３（４）　　　～Ｐ∨Ｐ　　３∨Ｉ
　２３（５）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　２４＆Ｉ
　２　（６）　　～～Ｐ　　　　３５ＲＡＡ
　２　（７）　　　　Ｐ　　　　６ＤＮ
１２　（８）　　　　　　Ｐ　　１７ＭＰＰ
１２　（９）　　　～Ｐ∨Ｐ　　８∨Ｉ
１２　（ア）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　２９＆Ｉ
１　　（イ）～～（～Ｐ∨Ｐ）　２アＲＡＡ
１　　（ウ）　　　～Ｐ∨Ｐ　　イＤＮ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　　～Ｐ∨Ｐ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｐ　　　Ａ
　　３　　　（３）　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　　～Ｐ＆Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｐ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｐ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　Ｐ＆～Ｐ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｐ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｐ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｐ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｐ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｐ　　　エカＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｐ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｐ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① 　Ｐ→Ｐ
② ～Ｐ∨Ｐ
に於いて、すなはち、
① Ｐならば、　Ｐである（同一律）。
② Ｐでないか、Ｐである（排中律）。
①＝② である（含意の定義）。
（03）
（ⅲ）
１（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｐ　　　　　１∨Ｉ
　（３）Ｐ→（Ｐ∨Ｐ）　１２ＣＰ
（ⅳ）
１　　（１）　Ｐ∨Ｐ　　　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（４）　Ｐ　　　　　　１２２３３∨Ｉ
　　　（５）（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ　１４ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｐ→（Ｐ∨Ｐ）
④（Ｐ∨Ｐ）→Ｐ
に於いて、すなはち、
③ Ｐであるならば（Ｐか、Ｐである）。
④（Ｐか、Ｐである）ならばＰである。
に於いて、
③＝④ である（冪等律）。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１（１）　　　～Ｐ∨Ｐ　　Ａ
１（２）　　　　Ｐ→Ｐ　　１含意の定義
１（３）～Ｐ∨（Ｐ→Ｐ）　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→（Ｐ→Ｐ）　３含意の定義
（ⅱ）
１　　（１）　　Ｐ→（　Ｐ→Ｐ）　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨（　Ｐ→Ｐ）　１含意の定義
１　　（３）　～Ｐ∨（～Ｐ∨Ｐ）　１含意の定義
１　　（４）（～Ｐ∨～Ｐ）∨Ｐ　　３結合法則
　５　（５）（～Ｐ∨～Ｐ）　　　　Ａ
　５　（６）　～Ｐ　　　　　　　　冪等律
　５　（７）　～Ｐ∨　Ｐ　　　　　６∨Ｉ
　　８（８）　　　　　　　　Ｐ　　Ａ
　　８（９）　　　　～Ｐ∨　Ｐ　　８∨Ｉ
１　　（ア）　～Ｐ∨　Ｐ　　　　　１５７８９∨Ｅ
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　Ａ
　２　（２）　～Ｐ　　　　　　　　Ａ
　２　（３）　～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　２∨Ｉ
　　４（４）　　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　４（５）～～Ｐ∨Ｐ　　　　　　４∨Ｉ
　　４（６）　～Ｐ→Ｐ　　　　　　５含意の定義
　　４（７）　～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　６∨Ｉ
１　　（８）　～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　１２３４７∨Ｅ
１　　（９）　　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　８含意の定義
（ⅲ）
１　　（１）　　Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）　Ａ
１　　（２）　～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ）　１含意の定義
１　　（３）　～Ｐ∨（　Ｐ∨Ｐ）　２含意の定義
　４　（４）　～Ｐ　　　　　　　　Ａ
  ４　（５）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　４∨Ｉ
　　６（６）　　　　　　Ｐ∨Ｐ　　Ａ
　　６（７）　　　　　　　　Ｐ　　６冪等律
　　６（８）　　　　　～Ｐ∨Ｐ　　７∨Ｉ
１　　（９）　～Ｐ∨Ｐ　　　　　　３４５６７∨Ｅ
（07）
（ⅰ）
１　　（１）　　～Ｐ∨Ｐ　　　　　Ａ
１　　（２）　　　Ｐ→Ｐ　　　　　１含意の定義
　３　（３）　　　Ｐ　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　Ｐ∨Ｐ　　　　　３∨Ｉ
１　　（５）Ｐ→（Ｐ∨Ｐ）　　　　３４ＣＰ
（ⅳ）
１　　（１）Ｐ→（Ｐ∨Ｐ）　　　　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
１２　（３）　　　Ｐ∨Ｐ　　　　　１２ＭＰＰ
１２　（４）　　　Ｐ　　　　　　　３冪等律
１　　（５）　Ｐ→Ｐ　　　　　　　２４ＣＰ
１　　（６）～Ｐ∨Ｐ　　　　　　　５含意の定義
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① 　　　～Ｐ∨Ｐ
② Ｐ→（　Ｐ→Ｐ）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）
④ Ｐ→（　Ｐ∨Ｐ）
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ であって、
①＝④ である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１　（１）　～（～Ｐ∨Ｐ）　　Ａ
　２（２）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　２（３）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　２∨Ｉ
１２（４）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１３＆Ｉ
１　（５）　　～～Ｐ　　　　　２４ＲＡＡ
１　（６）　　　　Ｐ　　　　　５ＤＮ
１　（７）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　６∨Ｉ
１　（８）　～（～Ｐ∨Ｐ）＆
　　　　　　　（～Ｐ∨Ｐ）　　１７＆Ｉ
　　（９）～～（～Ｐ∨Ｐ）　　１８ＲＡＡ
　　（ア）　　　～Ｐ∨Ｐ　　　９ＤＮ
従って、
（09）により、
（10）
① ～Ｐ∨Ｐ（排中律）
① Ｐでないか、または、Ｐである。
は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（08）（10）により、
（11）
① 　　　～Ｐ∨Ｐ
② Ｐ→（　Ｐ→Ｐ）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）
④ Ｐ→（　Ｐ∨Ｐ）
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ であって、
①＝④ であって、尚且つ、
① は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（11）により、
（12）
① Ｐでないか、または、Ｐである。
② Ｐならば（Ｐであるならば、Ｐである）。
③ Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
④ Ｐならば（Ｐか、または、　Ｐである）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ であって、
これらの「四つ」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
② Ｐならば（Ｐであるならば、Ｐである）。
③ Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
④ Ｐならば（Ｐか、または、　Ｐである）。
に於いて、
② は、「直観的」に「正しく」、
④ も、「直観的」に「正しい」ものの、
③ Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に関しては、「直観的」には、「正しくない」。
然るに、
（14）
（ⅰ）（Ｐでないならば、Ｑである）然るに、
（ⅱ）（Ｐでない。）故に、
（ⅲ）（Ｑである。）
といふ「推論（肯定肯定式）」は、「妥当」であって、
（ⅰ）（Ｐか、または、Ｑである。）然るに、
（ⅱ）（Ｐでない。）故に、
（ⅲ）（Ｑである。）
といふ「推論（選言三段論法）」も、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
③（Ｐでないならば、Ｑである）。
④（Ｐか、または、　Ｑである）。
に於いて、
③＝④ である（含意の定義）。
従って、
（15）により、
（16）
③（Ｐでないならば、Ｑである）。
④（Ｐか、または、　Ｑである）。
に於いて、
③ Ｑ＝Ｐ
④ Ｑ＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③（Ｐでないならば、Ｐである）。
④（Ｐか、または、　Ｐである）。
に於いて、
③＝④ である（含意の定義）。
従って、
（16）により、
（17）
③ Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
④ Ｐならば（Ｐか、または、　Ｐである）。
に於いても、
③＝④ である。
然るに、
（18）
④ Ｐならば（Ｐか、または、　Ｐである）。
といふ「日本語」は、明らかに、「真」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
③ Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
④ Ｐならば（Ｐか、または、　Ｐである）。
に於いても、
③＝④ であって、尚且つ、
④ Ｐならば（Ｐか、または、　Ｐである）。
といふ「日本語」は、明らかに、「真」である。
従って、
（19）により、
（20）
③ Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
④ Ｐならば（Ｐか、または、　Ｐである）。
に於いても、
③＝④ であって、尚且つ、
④ Ｐならば（Ｐか、または、　Ｐである）。
といふ「日本語」が、「真」である以上、
③ Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
といふ「日本語」も、「真」でなければ、ならない。
従って、
（11）（12）（20）により、
（21）
① 　　　～Ｐ∨Ｐ
② Ｐ→（　Ｐ→Ｐ）
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）
④ Ｐ→（　Ｐ∨Ｐ）
といふ「論理式」、すなはち、
① Ｐでないか、または、Ｐである。
② Ｐならば（Ｐであるならば、Ｐである）。
③ Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
④ Ｐならば（Ｐか、または、　Ｐである）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ であって、尚且つ、
これらの「四つ」は、「恒真式（トートロジー）」である。
令和０３年０１月３１日、毛利太。