「パースの法則」は「当然」である（Ⅳ）。

（01）
１０個の原始的規則、あるいは「定理」を用いて、つぎの連式を証明せよ（Using 10 primitive rules or theorems, prove the following sequent）。
｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ ┤├｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
（ⅰ）
１　　　（１）　｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ　Ａ
　２　　（２）　　（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ　　　　Ａ
　　３　（３）　　（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　Ａ
　　３　（４）～～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　３ＤＮ
　　３　（５）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　４ド・モルガンの法則
　　３　（６）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　　５含意の定義
　　３　（７）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　６∨Ｉ
　　　８（８）　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　８（９）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　８∨Ｉ
　２　　（ア）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　２３７８９∨Ｅ
　２　　（イ）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　　ア含意の定義
１２　　（ウ）　　　　　　　　　　　　Ｐ　１イＭＰＰ
１　　　（エ）　｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ　２ウＣＰ
（ⅱ）
１　　　（１）　　｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ｝→Ｐ　Ａ
１　　　（２）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ｝∨Ｐ　１含意の定義
　３　　（３）　～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨　Ｐ｝　　　Ａ
　３　　（４）　　～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　（５）　　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　４＆Ｅ
　３　　（６）　　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　５ド・モルガンの法則
　３　　（７）　　　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　６含意の定義
　３　　（８）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　４＆Ｅ
　３　　（９）　　　（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ　　　　７８＆Ｉ
　３　　（ア）　　｛（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ　９∨Ｉ
　　イ　（イ）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　Ａ
　　イ　（ウ）　　｛（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ　イ∨Ｉ
１　　　（エ）　　｛（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ　２３アイウ∨Ｅ
１　　　（オ）～～｛（Ｐ→　Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ　エＤＮ
１　　　（カ）～｛～（Ｐ→　Ｑ）∨　Ｐ｝∨Ｐ　オ、ド・モルガンの法則
１　　　（キ）　～｛（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ｝∨Ｐ　カ含意の定義
１　　　（ク）　　｛（Ｐ→　Ｑ）→　Ｐ｝→Ｐ　キ含意の定義
ｃｆ.
「含意の定義、ド・モルガンの法則」は、「定理（theorem）」である。
（02）
１０個の原始的規則のみを用いて、つぎの連式を証明せよ（Using only 10 primitive rules, prove the following sequent）。
｛（Ｐ→Ｒ）→Ｐ｝→Ｐ ┤├｛（Ｐ＆～Ｒ）∨Ｐ｝→Ｐ
〔解答〕
（ⅰ）
１　　　　　　　　　（１）　｛（Ｐ→　Ｒ）→　Ｐ｝→Ｐ　Ａ
　２　　　　　　　　（２）　　（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ　　　　Ａ
　　３　　　　　　　（３）　　　Ｐ＆～Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　　４　　　　　　（４）　　　Ｐ→　Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　３　　　　　　　（５）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３４　　　　　　（６）　　　　　　Ｒ　　　　　　　　４５ＭＰＰ
　　３　　　　　　　（７）　　　　　～Ｒ　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３４　　　　　　（８）　　　Ｒ＆～Ｒ　　　　　　　　６７＆Ｉ
　　３　　　　　　　（９）　～（Ｐ→　Ｒ）　　　　　　　４８ＲＡＡ
　　３　　　　　　　（ア）　～（Ｐ→　Ｒ）∨　Ｐ　　　　９∨Ｉ
　　　　イ　　　　　（イ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　　イ　　　　　（ウ）　～（Ｐ→　Ｒ）∨　Ｐ　　　　イ∨I
　２　　　　　　　　（エ）　～（Ｐ→　Ｒ）∨　Ｐ　　　　２３アイウ∨Ｅ
　　　　　オ　　　　（オ）　　（Ｐ→　Ｒ）＆～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　　カ　　　（カ）　～（Ｐ→　Ｒ）　　　　　　　Ａ
　　　　　オ　　　　（キ）　　（Ｐ→　Ｒ）　　　　　　　オ＆Ｅ
　　　　　オカ　　　（ク）　～（Ｐ→　Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｒ）　　　　　　　カキ＆Ｉ
　　　　　　カ　　　（ケ）～｛（Ｐ→　Ｒ）＆～Ｐ｝　　　オクＲＡＡ
　　　　　　　コ　　（コ）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　　　オ　　　　（サ）　　　　　　　　　～Ｐ　　　　オ＆Ｅ
　　　　　オ　コ　　（シ）　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　コサ＆Ｉ
　　　　　　　コ　　（ス）～｛（Ｐ→　Ｒ）＆～Ｐ｝　　　オシＲＡＡ
　２　　　　　　　　（セ）～｛（Ｐ→　Ｒ）＆～Ｐ｝　　　エカケコス∨Ｅ
　　　　　　　　ソ　（ソ）　　（Ｐ→　Ｒ）　　　　　　　Ａ
　　　　　　　　　タ（タ）　　　　　　　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　　　　　　　ソタ（チ）　　（Ｐ→　Ｒ）＆～Ｐ　　　　ソタ＆Ｉ
　２　　　　　　ソタ（ツ）～｛（Ｐ→　Ｒ）＆～Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ→　Ｒ）＆～Ｐ｝　　　スチ＆Ｉ
　２　　　　　　ソ　（テ）　　　　　　　　～～Ｐ　　　　タツＲＡＡ
　２　　　　　　ソ　（ト）　　　　　　　　　　Ｐ　　　　テＤＮ
　２　　　　　　　　（ナ）　　（Ｐ→　Ｒ）→　Ｐ　　　　ソトＣＰ
１２　　　　　　　　（ニ）　　　　　　　　　　　　　Ｐ　１ナＭＰＰ
１　　　　　　　　　（ヌ）　｛（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ｝→Ｐ　２ニＣＰ
（ⅱ）
１　　　　　　　（１）　　｛（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ｝→Ｐ　Ａ
　２　　　　　　（２）　　　（Ｐ→　Ｒ）→　Ｐ　　　　Ａ
　　３　　　　　（３）　　～（Ｐ＆～Ｒ）＆～Ｐ　　　　Ａ
　　３　　　　　（４）　　～（Ｐ＆～Ｒ）　　　　　　　Ａ
　　　５　　　　（５）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　６　　　（６）　　　　　　～Ｒ　　　　　　　　Ａ
　　　５６　　　（７）　　　　Ｐ＆～Ｒ　　　　　　　　５６＆Ｉ
　　３５６　　　（８）　　～（Ｐ＆～Ｒ）＆
　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｒ）　　　　　　　４７＆Ｉ
　　３５　　　　（９）　　　　　～～Ｒ　　　　　　　　６８ＲＡＡ
　　３５　　　　（ア）　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　９ＤＮ
　　３　　　　　（イ）　　　　Ｐ→　Ｒ　　　　　　　　５アＣＰ
　２３　　　　　（ウ）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　２イＭＰＰ
　　３　　　　　（エ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　３＆Ｅ
　２３　　　　　（オ）　　　　　　　　Ｐ＆～Ｐ　　　　ウエ＆Ｉ
　２　　　　　　（カ）～｛～（Ｐ＆～Ｒ）＆～Ｐ｝　　　３オＲＡＡ
　　　　　キ　　（キ）　～｛（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ｝　　　Ａ
　　　　　　ク　（ク）　　　（Ｐ＆～Ｒ）　　　　　　　Ａ
　　　　　　ク　（ケ）　　　（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ　　　　ク∨Ｉ
　　　　　キク　（コ）　～｛（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ｝　　　キケ＆Ｉ
　　　　　キ　　（サ）　　～（Ｐ＆～Ｒ）　　　　　　　クコＲＡＡ
　　　　　　　シ（シ）　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　　　　　シ（ス）　　　（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ　　　　シ∨Ｉ
　　　　　キ　シ（セ）　～｛（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　　｛（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ｝　　　キス＆I
　　　　　キ　　（ソ）　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　シセＲＡＡ
　　　　　キ　　（タ）　　～（Ｐ＆～Ｒ）＆～Ｐ　　　　サソ＆Ｉ
　２　　　キ　　（チ）～｛～（Ｐ＆～Ｒ）＆～Ｐ｝＆
　　　　　　　　　　　　｛～（Ｐ＆～Ｒ）＆～Ｐ｝　　　カタ＆Ｉ
　２　　　　　　（ツ）～～｛（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ｝　　　キチＲＡＡ
　２　　　　　　（テ）　　｛（Ｐ＆～Ｒ）∨　Ｐ｝　　　ツＤＮ
１２　　　　　　（ト）　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　１テＭＰＰ
１　　　　　　　（ナ）　　｛（Ｐ→　Ｒ）→　Ｐ｝→Ｐ　２トＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ→　Ｒ）→Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ＆～Ｒ）∨Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（04）
命題計算では、パースの法則は ｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる（ウィキペディア）。
従って、
（03）（04）により、
（05）
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ→　Ｒ）→Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ＆～Ｒ）∨Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
① は、「パースの法則」である。
然るに、
（06）
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ→　Ｒ）→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
① が、「パースの法則」である以上、
② も、「パースの法則」である。
従って、
（06）により、
（07）
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ→　Ｒ）→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
③ Ｒ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
① は、「パースの法則」であって、
② も、「パースの法則」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
① は、「パースの法則」であって、
③ も、「パースの法則」である。
従って、
（08）により、
（09）
「日本語」で言ふと、
①｛（Ｐならば、　Ｑである）ならばＰ｝ならばＰである。
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
③｛（Ｐならば、　Ｑでない）ならばＰ｝ならばＰである。
④｛（Ｐであって、Ｑである）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
① は、「パースの法則」であって、
③ も、「パースの法則」である。
然るに、
（10）
①｛（Ｐならば、Ｑである）ならばＰ｝ならばＰである。
③｛（Ｐならば、Ｑでない）ならばＰ｝ならばＰである。
に於いて、
① は、「パースの法則」であって、
③ も、「パースの法則」である。
といふのであれば、
①｛（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐならば｝Ｐである。
③｛（Ｐならば、Ｑでなくとも、Ｑであっても）、Ｐならば｝Ｐである。
に於いて、
① は、「パースの法則」であって、
③ も、「パースの法則」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①｛（Ｐならば、　Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐならば｝Ｐである。
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
③｛（Ｐならば、　Ｑでなくとも、Ｑであっても）、Ｐならば｝Ｐである。
④｛（Ｐであって、Ｑである）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
① は、「パースの法則」であって、
③ も、「パースの法則」である。
然るに、
（12）
①｛（Ｐならば、　Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐならば｝Ｐである。
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
③｛（Ｐならば、　Ｑでなくとも、Ｑであっても）、Ｐならば｝Ｐである。
④｛（Ｐであって、Ｑである）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
に於いて、
① が、「恒に真」であることは、「当然」であり、
② が、「恒に真」であることは、「当然」であり、
③ が、「恒に真」であることは、「当然」であり、
④ が、「恒に真」であることは、「当然」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
「記号」で書くと、
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
③｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
④｛（Ｐ＆　Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
① は、「パースの法則」であって、
③ も、「パースの法則」であって、
① が、「恒に真」であることは、「当然」であり、
② が、「恒に真」であることは、「当然」であり、
③ が、「恒に真」であることは、「当然」であり、
④ が、「恒に真」であることは、「当然」である。
従って、
（13）により、
（14）
①｛（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ≡｛（Ｐならば、Ｑである）ならばＰ｝ならばＰである。
③｛（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ≡｛（Ｐならば、Ｑでない）ならばＰ｝ならばＰである。
である所の、「パースの法則」が「恒真式（トートロジー）」であることは、「当然」である。
令和０３年０１月２８日、毛利太。